探旋转相似型的解法

1、 变与不变 多变归一 探旋转相似型的解法大唐镇中 蔡培杰概念提出 旋转和相似是初中数学图形变换的重要内容,两个知识点看似毫无关联,但它们会同时出现在数学综合试题中,对于此类题型我们不妨叫作“旋转相似型”。学生解此类题的困惑 图形在变、旋转角度在变，对应点之间的连线段长在变等等旋转中的变化元素成了解题的“绊脚石”！探寻解决方法寻求变化规律，以不变应万变应用：求对应点连线比值、求对应点连线长应用：求两组对应点连线夹角 求两组对应点连线交点的轨迹应用：求点的运动轨迹长，求运动点的轨迹的解析式旋转相似中的存在双重相似基本图形：如图，如图， AOB COD，且点，且点A、点、点B的对应的对应点分别点分别

2、是点是点C,点点D. 则则可可证证 AOC BOD.?D?B?A?O?C 相似相似旋转型中由对应点连线段及所对旋转型中由对应点连线段及所对旋转角旋转角组成组成的两个三角形也相似。的两个三角形也相似。旋转相似中 存在双重相似的应用例例1、如如图图4，ABC与与DEF均均为等边三角形，为等边三角形，O为为BC、EF的中的中点，则点，则AD：BE的值的值为（为（ ）。）。 变变式：式：旋转相似中对应点连线段的比值不变！旋转相似中对应点连线段的比值不变！可证：可证： AOD BOE?AD：BE=AO：BO23（12分）（分）（2013绍兴）在绍兴）在ABC中，中，CAB=90，ADBC于点于点D，点，

3、点E为为AB的中点，的中点，EC与与AD交于点交于点G，点点F在在BC上上（1）如图）如图1，AC:AB=1:2，EFCB，求证：，求证：EF=CD（2）如图）如图2，AC:AB=1：，EFCE，求，求EF：EG的值的值旋转相似中 存在双重相似的应用H作作EHEH ABAB可可证证HEFHEF AEGAEG EFEF：GE = HEGE = HE：AEAE = HE = HE：BEBE旋转相似中 存在双重相似的应用例例2、已知已知ABC中中，C=90AB=9， ，把把ABC 绕着点绕着点C旋转，使得点旋转，使得点A落在点落在点A，点，点B落落在在点点B若点若点A在边在边AB上，则点上，则点B、

4、B的的距离距离_简析：简析：由题可知由题可知AA,BB是旋转中的对是旋转中的对应点连线段，应点连线段， ACA ， BCB分别为所对旋转角。所以分别为所对旋转角。所以ACABCB，可知可知AA：BB=AC：BC=6：35，所以要所以要先求先求AA的长。的长。求对应点连线段的长求对应点连线段的长=?C旋转相似中的存在两组四点共圆ADCFGM例：如例：如图图， ADC GDF，A、C的对应点分别是的对应点分别是G、F。当当GDF绕点绕点D旋转时旋转时，直线，直线AG、CF交于点交于点M，则则可可证证M、A、D、C四点共圆和四点共圆和M、D、F、G四点共圆。四点共圆。证证 M、A、D、C四点共四点共

5、圆圆：由双重相似可知由双重相似可知 ADG CDF ,? AGD= CFD? AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC? AMC+ ADC=180，得证得证.证证 M、D、F、G四点共四点共圆圆：连连DM，由由MADC四点共圆可知四点共圆可知 DMC= DAC又又 DAC= DGF? DMC= DGF，得证得证.12ADCFGMRtADC Rt GDF， ADC= GDF=90，求求 AMC的的度数度数ADCGFM12旋转相似中 存在两组四点共圆的应用（2015学年上学期期末第学年上学期期末第16题）题） 如图，如图，ABC，EFG均是边长为

6、均是边长为4的的等边三角形，点等边三角形，点D是边是边BC、EF的中点，的中点，直线直线AG、FC相交于点相交于点M当当EFG绕绕点点D旋转时，旋转时，AMC=（ ）线段线段BM长的最大值是（长的最大值是（ ）旋转相似中两个点的运动轨迹有共性 常见常见的，一个图形绕一定点旋转时的，一个图形绕一定点旋转时，则则图像上任一点都在作圆弧运动。图像上任一点都在作圆弧运动。旋转相似中两个点的运动轨迹有共性四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E为BC边上一点，求证：点G一定落在直线CD上。 像这样的点像这样的点E在作直线运动的旋转相似变换中，则其他在作直线运动的旋转相似变换中，则其他的对应点也的对应点也都沿着都沿着各自的一条直线运动。各自的一条直线运动。xy若AB=BC=2，试描述点F