数学物理方程数学物理第一章

1、1 1绪论绪论 数学物理方程是数学建模的最好例证，从中我们可以学习如何将一个实际问题通过适当的简化和假设，用适当的数学结构来表示，即如何建立一个实际问题的数学模型，然后求解该模型，模型的解能否解释实际问题的现象。也就是说求得的解是否能够描述实际问题，这要通过物理实验来验证。这一过程就是科学研究所需要的或者说必经的过程。我们从所学的三类方程中可以看到数学的抽象性而决定的数学模型应用的广泛性，经典方程的经典解法具有的一般性和普适性。1 1绪论绪论.基基础础和和背背景景理理论论和和实实际际问问题题为为研研究究数数学学物物理理方方程程是是以以物物理理.解方法解方法三种典型物理方程的求三种典型物理方程的

2、求本课程主要内容：介绍本课程主要内容：介绍一、本课程的研究对象一、本课程的研究对象.工具是偏微分方程理论工具是偏微分方程理论研究方法是数学分析，研究方法是数学分析，.理方程理方程偏微分方程称作数学物偏微分方程称作数学物我们把描述物理现象的我们把描述物理现象的什什么么是是偏偏微微分分方方程程？.分方程分方程偏导数的等式称作偏微偏导数的等式称作偏微含有未知多元函数及其含有未知多元函数及其刻刻其其内内部部某某一一点点处处温温度度描描述述某某一一物物体体在在某某一一时时例例),(tzyxu 1 1),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 热传导方程热传导方程0

3、 02 22 22 22 22 22 22 2 zuyuxu 例例称作拉普拉斯方程称作拉普拉斯方程所所满满足足的的方方程程位位移移描描述述弦弦（杆杆）振振动动时时其其例例),(txu 3 32 22 22 22 22 2xuatu 称作振动方程称作振动方程所所满满足足的的方方程程移移描描述述梁梁的的横横振振动动时时其其位位例例),(txu 4 4),(txfxuatu 4 44 42 22 22 2所所满满足足的的方方程程和和位位函函数数数数描描述述静静电电、磁磁场场的的力力函函例例vu 5 5 0 00 0yuxvyvxu.世世纪纪是是其其迅迅速速发发展展时时期期、世世纪纪。偏偏微微分分方方

4、程程诞诞生生于于2 20 01 19 91 18 8源二、数学物理方程的起年年）：首首先先给给出出弦弦振振动动方方程程（法法国国数数学学家家、物物理理学学家家1 17 74 47 72 22 22 22 22 2xuatu )()(),(xatxattxu 2 21 1并并给给出出其其解解：研研究究。拉拉等等人人对对弦弦振振动动的的深深入入这这引引起起伯伯努努利利家家族族、欧欧.斯斯方方程程出出色色工工作作，称称作作拉拉普普拉拉拉拉普普拉拉斯斯的的现现位位势势方方程程！后后来来因因为为年年欧欧拉拉在在论论文文中中首首次次出出1 17 75 52 20 02 22 22 22 22 22 2 z

5、uyuxu.、三三维维波波动动方方程程和和球球面面波波时时建建立立了了二二维维年年欧欧拉拉在在在在研研究究矩矩形形鼓鼓1 17 75 59 9)(2 22 22 22 22 22 22 22 22 2zuyuxuatu 其数学模型的不断深入方展，作为世纪随着物理科学发展到了19各各类类偏偏微微分分众众多多数数学学家家系系统统地地研研究究荣荣起起来来的的偏偏微微分分方方程程，空空前前繁繁.世世纪纪偏偏微微分分方方程程的的内内容容进进行行的的，所所以以联联系系着着相相应应的的物物理理模模型型究究方方法法大大多多都都性性和和求求解解方方法法。这这些些研研方方程程古古典典解解的的存存在在唯唯一一1 1

6、9 9.也称为数学物理方程也称为数学物理方程。究究热热烈烈局局面面的的第第一一人人是是世世纪纪打打开开偏偏微微分分方方程程研研Fourier1 19 9当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。,2 22 22 2xuatu .格格性性而而遭遭到到质质疑疑却却在在理理论论上上因因为为缺缺乏乏严严“形形式式”风风气气进进行行的的世世纪纪数数学学物物理理界界流流行行的的量量法法！他他的的研研究究是是沿沿用用并并创创立立了了所所谓谓的的分分离离变变1 18 8Fourie

7、r用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼.这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容）达达朗朗贝贝尔尔的的弦弦振振动动方方程程(2 22 22 22 22 2xuatu 的位势方程）（laplacezuyuxu0222222的的热热传传导导方方程程）（Fourierxuatu2 22 22 2 18世纪著名数学家、物理学家达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707

8、-1783）弦振动的研究先驱弦振动的研究先驱球球面面波波研研究究先先驱驱欧欧拉拉 - -数学物理方程中的著名数学家物理学家位势方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827） 傅立叶（法1768-1830）-热传导方程的研究先驱 柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）二、二、 关于偏微分方程的基本概念关于偏微分方程的基本概念.高高阶阶数数未未知知函函数数的的偏偏导导数数的的最最包包含含在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.1.方程的阶方程的阶二二阶阶偏偏微微分分方方程程 2 22 22 22 22 2xuatu 四四阶阶偏偏微微分分方方程程 4 44 42 22 22 2xuatu

9、 一一阶阶偏偏微微分分方方程程组组 0 00 0yuxvyvxu.是是线线性性的的未未知知函函数数和和其其偏偏导导数数都都出出现现在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.2 线性微分方程线性微分方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 2 22 22 22 22 2xuatu 线性的线性的 否否则则成成为为非非线线性性的的，如如0 0 xuxttuu 一一阶阶非非线线性性1.3半半 线性微分方程、拟线性方程线性微分方程、拟线性方程称作半线性的；称作半线性的；阶偏导数阶偏导数不含有未知函数及其低不含有未知函数及其低其系数其系数偏导数都是线性的，而偏导数都

10、是线性的，而偏分方程中所有最高阶偏分方程中所有最高阶,.称称作作拟拟线线性性的的数数及及其其低低阶阶偏偏导导数数，则则如如果果其其系系数数含含有有未未知知函函半线性偏微分方程半线性偏微分方程 0 03 33 3 xuxucutu组组拟线性一阶偏微分方程拟线性一阶偏微分方程 0 00 02 2xuucxvvtvxvuxuvtu本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式),(),(),(),(yxfuyxcyuyxbxuyxa0),(),(),(),(),(),(2),(22222yxGuyxFyuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyxA一阶线性偏

11、微分方程的一般表达形式一阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式1.4非齐次、齐次偏微分方程非齐次、齐次偏微分方程在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。齐次方程。),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 分分方方程程非非齐齐次次二二阶阶三三维维线线性性微微)(2 22 22 22 22 22 22 2yuxuatu

12、 。对象所展布的空间维数对象所展布的空间维数维数是指所研究的物理维数是指所研究的物理方程方程齐次二阶二维线性微分齐次二阶二维线性微分1.5偏微分方程的古典解偏微分方程的古典解m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶连续偏导数阶连续偏导数的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。F非齐次项1.6偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的解有无穷多个偏微分方程的解有无穷多个而每个解都表示一特定的运动过程，而每个解都表示一特定的运动过程，为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，

13、必须考虑研究为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程的定解问

14、题并不一定都有解。因此定解问题提的一偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。定要适当。 fufuatufuatu2 22 22 22 2.种方程的解法种方程的解法本课程主要研究下面三本课程主要研究下面三三、数学物理方程的研究方法三、数学物理方程的研究方法在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严

15、格论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！在数学物理方程中，在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困

16、难。困难。正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。这是本课程中应该注意的。四、数学物理方程的基本内容和要求四、数学物理方程的基本内容和要求本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍

17、！前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！目的：目的： 使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结方程定解问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练。这也是目前数学建模所需要的能力。果的初步训练。这也是目前数学建模所需要的能力。数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一门综合性比较强的学科

18、；它以解决实际问题为唯一目标，是一门综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用物理学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复广泛应用物理学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复变函数、积分变换等。变函数、积分变换等。 fufuatufuatu2 22 22 22 21.9数学物理方程课程所需要的基础数学物理方程课程所需要的基础五、数学物理方程参考书五、数学物理方程参考书1 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 南京工学院数学教研组南京工学院数学教研组 高等教育出版社高等教育出版社 1982年年2数学物理方程数学物理方程 欧维义欧维义 吉林科技出版社吉林科技出版社 198

19、5年年的的基基本本概概念念针针对对下下列列方方程程复复习习所所学学0 02 21 14 44 42 22 24 44 44 4 yuyxuxu)(次次？阶阶数数？、非非线线性性的的？齐齐次次非非齐齐回回答答下下列列方方程程是是线线性性的的四阶线性齐次四阶线性齐次0 02 2 xuxyxuu)(一阶非线性，拟线性的一阶非线性，拟线性的0 03 32 22 22 2 yuxxu)(二阶线性齐次的二阶线性齐次的xyuyxuxusin)( 2 22 22 22 22 22 24 4二阶线性非齐次的二阶线性非齐次的0 02 25 52 23 32 22 2 uyxuxuln)(三阶非线性三阶非线性2 2

20、方程及定解问题的物理推导方程及定解问题的物理推导AOl,弦弦，两两端端被被固固定定在在一一根根拉拉紧紧的的均均匀匀柔柔软软细细设设有有长长为为，方向的微小横向振动时方向的微小横向振动时垂直于垂直于当它在平衡位置附近作当它在平衡位置附近作OA2.1、弦振动方程、弦振动方程作用作用向上的力向上的力受到垂直于受到垂直于两点，且在单位长度上两点，且在单位长度上FOA问题分析与假设问题分析与假设. 2 21 12 2 .沿沿平面上，而且弦上的点平面上，而且弦上的点指全部运动出现在一个指全部运动出现在一个横向横向:；是常数是常数匀就可以设线密度处处匀就可以设线密度处处细弦：可以看成线；均细弦：可以看成线；

21、均 2.1.1、物理模型、物理模型.求求弦弦上上各各点点运运动动规规律律线倾角很小；线倾角很小；度及弦在任何位置处切度及弦在任何位置处切微小：可以看成振动幅微小：可以看成振动幅.运动运动垂直于平衡位置的方向垂直于平衡位置的方向OAxuF如下图建立坐标系如下图建立坐标系点为坐标原点点为坐标原点轴设为平衡位置，轴设为平衡位置，.Oox数学模型建立数学模型建立3 31 12 2 .PQ段段利利用用微微元元法法：取取弦弦上上一一PxQxx PQFpT QT x .),(轴轴方方向向的的位位移移时时刻刻沿沿垂垂直直于于点点处处表表示示弦弦上上xtxtxu有伸长！那么就有有伸长！那么就有可以认为弦在震荡中

22、没可以认为弦在震荡中没由于振动是微小的，故由于振动是微小的，故xPQ 无关！无关！时间时间，即它与位置，即它与位置常数常数弦所受的张力大小恒为弦所受的张力大小恒为txT数学模型建立数学模型建立3 31 12 2 .PQFpT QT x .),(轴轴方方向向的的位位移移时时刻刻沿沿垂垂直直于于点点处处表表示示弦弦上上xtxtxuxPQ ，常常数数弦弦所所受受的的张张力力大大小小恒恒为为T！方向沿着弦的切线方向方向沿着弦的切线方向弦是柔软的，所受张力弦是柔软的，所受张力轴方向所受的力有轴方向所受的力有u;)(方向向上方向向上外力外力xF 1 1;,sin)(方向向下方向向下分力分力点张力点张力 T

23、TP2 2方向向上；方向向上；分力分力点张力点张力,sin)( TTQ3 3角很小，即角很小，即由于振动是微小的，倾由于振动是微小的，倾 tansin,tansin ),(tantansintxuuuxxx 2 22 21 11 1 ),(sintxxux )(1 1xu),(sintxux 无关！无关！时间时间即它与位置即它与位置tx：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsinxFtxTutxxTuxx ),(),(),(txxxutt ：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsin),(),(),(txxxuxFtxTutxxTuttxx ),(),(

24、),(txxuFxtxutxxuTttxx 具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，并进一步假定并进一步假定),(,txux0 0 ),(txuFTuttxx FuTtxuxxtt ),(fuatxuxxtt 2 2),(单位长度加速度）单位长度加速度）其中：其中：(, FfTa 0 02 2弦的强迫横振动方程则有则有如果没有外力如果没有外力, 0 0 Fxxttuatxu2 2 ),(弦的自由横振动方程fuatxuxxtt 2 2),(xxttuatxu2 2 ),(理意义不同。理意义不同。只是未知函数表示的物只是未知函数表示的物电报方程等电报方程等扰动的传播、扰动的传播、纵振动，管道中气体

25、小纵振动，管道中气体小可以用来描述弹性杆的可以用来描述弹性杆的.现象，而是一类！现象，而是一类！映的是不只是一个物理映的是不只是一个物理因此，同一个方程所反因此，同一个方程所反除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翘翘的的固固定定框框架架上上，将将均均匀匀柔柔软软的的薄薄膜膜张张紧紧2.2、薄膜平衡方程、薄膜平衡方程薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翘翘的的重重力力外外，无无其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.无关无关所说的静态就是和时间所说的静态就是和时间满满足足方方程程的的横横向向位位移移记记作作薄薄膜膜各各点点（),(),(),yxuyxuyxTguuyyxx 一般

26、的称形如一般的称形如),(yxfuuyyxx ，则有，则有如果自身重力可以忽略如果自身重力可以忽略0 0 yyxxuu.方程方程为二维为二维Poisson.(或调和方程）或调和方程）方程方程为二维为二维Laplace 方程方程三维三维方程方程三维三维LapalacePoissonzyxfuuuzzyyxx 0 00 0),(.上各点的横向位移上各点的横向位移一个曲面，求静态薄膜一个曲面，求静态薄膜除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翘翘的的固固定定框框架架上上，将将均均匀匀柔柔软软的的薄薄膜膜张张紧紧2.2、薄膜平衡方程（推导过程）、薄膜平衡方程（推导过程）薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架

27、架的的微微翘翘的的重重力力外外，无无其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.(平衡状态）平衡状态）无关无关所说的静态就是和时间所说的静态就是和时间。的的横横向向位位移移也也就就是是薄薄膜膜各各点点（),(),yxuyx.上各点的横向位移上各点的横向位移一个曲面，求静态薄膜一个曲面，求静态薄膜假设与分析假设与分析.坐坐标标面面；薄薄膜膜所所在在平平面面为为展展平平的的薄薄膜膜厚厚度度可可忽忽略略oxy).,(;yxuoxy薄薄膜膜形形成成的的曲曲面面方方程程为为，薄薄膜膜密密度度面面的的方方向向为为薄薄膜膜的的横横向向垂垂直直于于 ,),QRPSyx的的微微元元，记记作作在在薄薄膜膜上上

28、取取包包含含点点（SPRQoxyQRPSyx 坐坐标标面面的的投投影影区区域域记记作作在在的的微微元元点点（),xx xyuoyyy xQRPSQRSP力力）的两侧薄膜之间有拉）的两侧薄膜之间有拉微元各边缘（空间曲线微元各边缘（空间曲线.T力称作张力密度力称作张力密度沿边缘单位长度上的拉沿边缘单位长度上的拉.是常数是常数张力密度张力密度在薄膜微翘情况下可视在薄膜微翘情况下可视T!处的薄膜切平面内处的薄膜切平面内的张力方向是在的张力方向是在边缘任意点边缘任意点MM的边缘法平面内）的边缘法平面内）且垂直于边缘（即点且垂直于边缘（即点M.方向的合力为零方向的合力为零作用力沿位移作用力沿位移在薄膜平衡

29、状态下，各在薄膜平衡状态下，各u的边缘法平面内）的边缘法平面内）且垂直于边缘（即点且垂直于边缘（即点M水平面所夹角为锐角水平面所夹角为锐角薄膜微元四边上张力与薄膜微元四边上张力与yPSQR 可以看作可以看作薄膜微翘薄膜微翘,xPRQS 方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜边边缘缘uPRQS)(1 1方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜边边缘缘uPSQR)(2 2方向的合力分析：方向的合力分析：薄膜边缘沿薄膜边缘沿u薄薄膜膜所所受受重重力力)(3 3xx xyuoyyy xQRPSQRSP4 4 3 3 2 2 1 1 方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPRQS)(1 1xTTF

30、)sinsin(1 12 21 1 xTTF )tantan(1 12 21 1 xuTuTyyyyy )(xyuTyyyy 同理同理方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPSQR)(2 2yTTF )sinsin(3 34 42 2 yTTF )tantan(3 34 42 2 yuTuTxxxxx )(xyuTxxxx xgyF 3 33 3）重重力力（3 32 21 1FFF xgyxyuTxyuTyyyyxxxx guuTyyxx )(Tguuyyxx 如果忽略重力，有如果忽略重力，有0 0 yyxxuu2.3、热传导方程、热传导方程问题分析与假设问题分析与假设. 2 23 32 2 .

31、与与热流强度热流强度面流进物体的热量面流进物体的热量单位时间内通过单位界单位时间内通过单位界)(表表示示边边界界面面为为域域为为设设导导热热体体在在空空间间所所占占区区),(,tzyxuG 2.3.1、物理模型、物理模型热量守恒定律：热量守恒定律：热传导定律：热传导定律：设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所高温处向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所满足的方程满足的方程.),(导热体为固体导热体为固体处的温度处的温度时刻时刻导热体在导热体在zyxt),

32、(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxut时刻温度时刻温度变到变到时刻的温度时刻的温度物体由物体由这段时间进入（流出）这段时间进入（流出）变到变到恰好等于从恰好等于从所吸收（放出）的热量所吸收（放出）的热量2 21 11 1ttQ.总和总和和热源提供的热量和热源提供的热量物体的热量物体的热量3 32 2QQ成正比。成正比。梯度梯度与温度与温度u),(zyxD,DSG所围成的区域所围成的区域内取由光滑封闭曲面内取由光滑封闭曲面在在dvzyxD的微元的微元内取包含内取包含在在),(温度从温度从，密度密度设物体的比热为设物体的比热为dvzyxzyxC),(),( 所需要热量所需要热量时

33、刻时刻变到变到时刻的时刻的由由),(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxutdvtzyxutzyxucQD ),(),(1 12 21 1 dvtzyxutzyxuc),(),(1 12 2 热量是热量是由于温度改变所需要的由于温度改变所需要的整个整个D 2 21 12 21 1ttDDttdtdvttzyxucdvdtttzyxuc),(),( 2 2QDS的热量的热量进入整个进入整个由曲面由曲面所指那一侧所指那一侧流向流向的曲面微元的曲面微元时刻内通过法向量为时刻内通过法向量为在在ndSndt,dsdtnukdQ 2 21 12 2ttsdtsdnukQ 2 21 12 2t

34、tsdtsdnukQ 2 21 12 2ttDdtvdzukzyukyxukxQ)()()(3 3Q热源提供的热量热源提供的热量.是一个热源是一个热源交换外物体本身就可能交换外物体本身就可能除外界对物体进行热量除外界对物体进行热量量）量）从单位体积内放出的热从单位体积内放出的热设热源强度（单位时间设热源强度（单位时间),(tzyxF 2 21 13 3ttDdvdttzyxFQ),(奥-高公式3 32 21 1QQQ 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()( 2 21 1ttDdtdvtzyxF),( 2 21 1ttDd

35、tdvttzyxuc),( ),()()()(tzyxFzukzyukyxukx 2 21 1ttDdtdvtzyxF),( ttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()(.为常数为常数当导热体材质均匀时，当导热体材质均匀时，k ttzyxuc),( ),()(tzyxFzuyuxuk 2 22 22 22 22 22 2 ctzyxFzuyuxucktu),()( 2 22 22 22 22 22 2三维热传导方程三维热传导方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 ctzyxFtzyxfcka),(),(,

36、 2 2fuatxuxxtt 2 2),(1、弦振动方程、弦振动方程),(txfxuatu 2 22 22 22、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程),(yxfyuxu 2 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 2),(zyxfzuyuxu 2 22 22 22 22 22 2算子称作Lapl

37、acezyx 222222),(),(txfuatxutt 2 21、弦振动方程、弦振动方程),(txfuaut 2 22、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程),(yxfu ),(tyxfuautt 2 2),(tzyxfuautt 2 2),(tzyxfuaut 2 2),(tyxfuaut 2 2),(zyxfu 0 0 u方程方程Laplace算子称作引入Laplacezyx 2222222.4、定解条件和定解问题、定解条件和定解问题.称为定解条件称为定解条件初始条件、边界条件统初始条件、边界条件统定解条件定解条件初始条件：初始条件：.的状态的状态边界上各点在任意时刻边界上各点

38、在任意时刻是描述物体运动过程中是描述物体运动过程中三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷本身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个解，每个解都表示一个特定的运动。为此我们要对方程附加多个解，每个解都表示一个特定的运动。为此我们要对方程附加一定的条件来刻画所研究物体的运动过程。一定的条件来刻画所研究物体的运动过程。.边边值值条条件件为为两两大大类类：初初始始条条件件、这这种种附附加加条条件件通通常常被被分分介质内部及边界上介质内部及边界上程在开始时刻

39、程在开始时刻初始条件是描述运动过初始条件是描述运动过)(0 0 t.任意一点的状态任意一点的状态边界条件：边界条件：.解问题解问题应的定解条件就构成定应的定解条件就构成定偏微分方程联同他们相偏微分方程联同他们相2.4.1、三类典型方程的初始条件、三类典型方程的初始条件（1）、一维弦振动方程的初始条件）、一维弦振动方程的初始条件弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度lxxtuxutt 0 00 00 0 ),(),( lxxxuxxut 0 00 00 0 ),(),(),(),( 或者表示成或者表示成（2）、三维热传导方程的初始条件）、三维热传

40、导方程的初始条件Dx,y,zzyxut ) (),( 0 0Dx,y,zzyxzyxu ) (),(),( 0 0（3）、）、Poisson、Laplace方程无初始条件方程无初始条件定常状态，因此定常状态，因此描述的是和时间无关的描述的是和时间无关的，LaplacePoisson不提初始条件！不提初始条件！2.4.2、三类典型方程的边值条件、三类典型方程的边值条件1 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：0 00 00 00 0 tuulxx., ttlutu 0 00 00 0 ,),(),(（

41、2) 2)自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直线轴的直线自由滑动，从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零自由滑动，从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零. .端为例：端为例：以以0 0 x（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）.变变满满足足胡胡克克定定律律支支承承上上，弹弹性性支支承承的的应应即即弦弦的的一一端端固固定定在在弹弹性性lxlxxxxxkuuTkuuT ,0 00 0边界条件的形式比初始条件要多样些边界条件的形式比初始条件要多样些. .定，这时有定，这时有）即弦的两个端点被固）即

42、弦的两个端点被固固定端（第一边值条件固定端（第一边值条件)(1 1 ,tansin0 00 0 xxuTTT 0 00 0 xxu承承在在端端点点的的值值表表示示弹弹性性支支，则则如如弹弹性性支支承承原原来来位位置置为为uu0 0 .在该点的伸缩长度在该点的伸缩长度0 0, lxxxxuuuu)()( 0 01 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件.,0 00 00 00 0 tuulxx .,),(),(0 00 00 0 ttlutu （2 2）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直轴的直线自由滑动线自由滑动

43、. .（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）.)(定定）即弦的两个端点被固）即弦的两个端点被固固定端（第一边值条件固定端（第一边值条件1 10 00 0 xxu0 0, lxxxxuuuu)()( 0 00 0 lxxuTk .的的函函数数值值知知函函数数在在端端点点（边边界界）第第一一边边值值条条件件即即已已知知未未.的的偏偏导导数数值值知知函函数数在在端端点点（边边界界）第第二二边边值值条条件件即即已已知知未未.)(性性组组合合的的函函数数与与偏偏导导数数值值的的线线边边界界即即已已知知未未知知函函数数在在端端点点0 0, lxxxxkuTukuTu)()(0 02

44、 2、三维热传导方程的边界条件、三维热传导方程的边界条件Szyxtzyxus ),(),( （2 2）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的热量已知，由入的热量已知，由FourierFourier热传导定律：热传导定律：.SD的边界曲面为的边界曲面为导热体导热体Szyxtzyxnuks ),(),( .值值知知函函数数在在边边界界的的偏偏导导数数第第二二边边值值条条件件即即已已知知未未.)(度度上各点在任意时刻的温上各点在任意时刻的温知边界曲面知边界曲面第一类边界条件：即已第一类边界条件：即已S1 1.数数值值未未知知函函

45、数数在在边边界界上上的的函函第第一一边边界界条条件件就就是是已已知知则则有有如如果果边边界界面面绝绝热热，即即,),(0 0 tzyx Szyxnus ),(, 0 0,)(1 13 3u记记作作不不变变过过程程中中，外外界界温温度度保保持持第第三三类类边边界界条条件件：导导热热：由热传导定律由热传导定律生热交换生热交换且通过边界面与物体发且通过边界面与物体发,)(1 1uuHkussn kHhhuhuuHukuHusnsn ,)()(1 11 1Newton热传导定律在单位时间内，从物体表面单位面积中流向介质的热量同物体外表面的温度与介质在表面处的温度之差成正比.性性组组合合函函数数值值与与

46、偏偏导导数数值值的的线线未未知知函函数数在在边边界界的的第第三三类类边边界界条条件件即即已已知知定定解解问问题题法法！型型方方程程的的定定解解问问题题的的解解本本课课程程主主要要介介绍绍三三类类典典.初初值值问问题题条条件件的的定定解解问问题题，称称作作只只有有初初值值条条件件没没有有边边界界.解问题解问题应的定解条件就构成定应的定解条件就构成定偏微分方程联同他们相偏微分方程联同他们相Cauchy问题.边边值值问问题题条条件件的的定定解解问问题题，称称作作只只有有边边界界条条件件没没有有初初值值.题题联联立立，称称作作第第一一边边值值问问若若方方程程与与第第一一边边值值条条件件.问问题题同同样

47、样有有第第二二、第第三三边边值值.混混合合问问题题条条件件的的定定解解问问题题，称称作作既既有有边边界界条条件件又又有有初初值值也称初边值问题定定解解问问题题的的解解法法的的特特点点（1 1）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；（2 2）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上适当条件严格论证所求形式解确是解！适当条件严格论证所求形式解确是解！（3 3）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠加原

48、理利用叠加原理. .所说的形式解就是先假定所有的已知函数未知函数具有很好的性质，也就是需要什么条件就具有什么条件。一、热传导方程1、第一边界问题(1.3) ),( ),( (1.2) 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut2、第二边界问题(1.3) ),( ),( )(1.2 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfuatut (1.3) ),( ),( )2(1. 0,),( ),()(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnuk

49、utzyxx,y,z,tfuatut3、第三边界问题二、波动方程 (1.6) ),( ),( ),( (1.5) 0,),( ),(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut第一边界问题第二边界问题(1.6) ),( ),( , ),( )(1.5 0,),( ),(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfatut (1.6) ),( ),( , ),( )5(1. 0,),( ),()(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyx

50、tzyxnukutzyxx,y,z,tfuatut第三边界问题三、位势方程(1.8) 0 ),( (1.7) 0,),( )( 222222tzyxu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu1、第一边界问题)(1.8 0,),( , ),()( (1.7) 0,),( )( 222222tzyxzyxnuku tzyxx,y,z,tfzuyuxuu2、第二边界问题1、第三边界问题)(1.8 0, ),( , ),( (1.7) 0),( )( 222222tzyxzyxnu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu3 3两个重要定律一、杜阿梅尔原理（以一维弦振动为例）是是下下面面初初值值问问题题

51、的的解解设设两两次次连连续续可可微微函函数数),( txww (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2则则(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(为为)(3.2 , 0, 0)0 ,( )(3.1 0, ),(022222xtuxutxtxfxuatut.的解的解.),(),(条条件件即即可可满满足足偏偏微微分分方方程程和和定定解解只只需需证证明明 dtxwtxut 0 0下面一个结论：下面一个结论：证明之前，我们先证明证明之前，我们先证明 dttxwttxwdtxwtttxutt 0 00 01 1),(),()

52、,(),()( 则有则有如果如果证明证明, dtxwtxut 0 0),(),(: dxtxwdtxwxxtxutt 0 00 02 2),(),(),()( ),(),(),(),( dtxwdttxwtttxuttxuttt 0 00 01 1 tttttdtxwdttxwdttxwt0 00 01 1 ),(),(),( dttxwtdttxwttxwtttt ),(),(),(1 10 0tttttxwtdtttxwt ),(),(2 20 01 11 1 ),(),(),(ttxwdttxwttxut 0 0拉格朗日中值定理积分中值定理0 01 10 01 10 02 21 1 t令

53、令, dtxwtxut0 0),(),( .),(),(是定解问题的解是定解问题的解证明证明 dtxwtxut 0 0 dtxwtttxut 0 0),(),( dtxwttxwtt 0 0),(),( dtxwtt0 0),( dtxwttttxut 0 02 22 2),(),(0 00 00 00 0 dttxwttxut),(),(,),(),(0 00 00 00 0 dtxwxu dtxwttttxwt 0 02 22 2),(),( (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 dtxwxatxft 0 02 2

54、2 22 2),(),(2 22 22 22 22 2xuatxftu ),( )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(0 0 ),(ttxw (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(方方程程定定解解问问题题的的解解：如如果果要要求求下下面面非非齐齐次次杜杜阿阿梅梅尔尔原原理理告告诉诉我我们们

55、),( txw定定解解问问题题的的解解只只须须求求解解下下面面齐齐次次方方程程进进行行积积分分即即可可：然然后后对对解解),( txw(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(满满足足下下面面方方程程：可可以以证证明明 dtxwtxv),(),( dxftvxvtxvatvt),(,),(0 02 22 22 22 22 2 dxxfdxxx),(),( 受受到到外外力力，弦弦段段在在时时刻刻 ）载载荷荷密密度度),(),(txftxF dxdxfddxxf),(),),(产生冲量产生冲量在时段（在时段（外力外力 :获得速度增量获得速度增量冲量作用于弦段，使其冲量作用于弦段，使其 dxfdxdxdxf),(),( 质质量量冲冲量量加速度加速度 ),(),(txftxF Ta 2 2解解释释其其物物理理意意义义：围围杜杜阿阿梅梅尔尔原原理理的的适适用用范范高高维维问问题题；不不仅仅一一维维成成立立，也也适适用用)(1 1题题；不不适适用用于于与与时时间间无无关关问问适适用用于于热热传传导导问问题题，但但不不仅仅适适用用波波动动问问题题，也也)(2 2适适用用于于混混合合问问题题；不不仅仅适适用用初初值值问问题题，也也)(3 3。有有界界的的，该该原原理理都都适适用用间间变变量量是是有有界界，还