与矩形相关的折叠问题解答方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上与矩形相关的折叠问题 金山初级中学 庄士忠 将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。一、求角度ABECDFG例1、如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点已知，那么 解析：根据矩形的性质ADBC，有EFG=FEC=58°，再由折叠可知，FEC=CEF=58°，由此

2、得BEG=64°例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则CBD的度数为( )(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即ABC=A/BC,EBD=E/BD。二、求线段长度ABCDEF例3、如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于 （ ）（A）（B）（C）（D） 解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在RtADE中AD=6，DE=3由勾股定理

3、，得AD=，设EF=x，则FC=，在RtEFC中由勾股定理求得x=,则EF=，在RtAEF中，由勾股定理得AF=。故选A。分析：在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决。三、求图形面积图1-1例4、如图，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）ABCD解析：折叠后重合部分为直角三角形，其面积为，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 两个重合部分三角形的面积，即20×22×236（）。故选B。分析：可以用动操作加强感性认识，注意重叠部分的计算方法。四、说明数量及位置关系A

4、BCDEF例5、如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，连结证明：（1）（2）分析：（1）欲证明BF=DF ，只需证FBD=FDB；（2）欲证明，则需证。由折叠可知DC=ED= AB， BC=BE= AD，又因为AE=AE，得AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180°-AFE），而DBE=（180°-BFD）因此。解：（1）由折叠可知，FBD=CBD因为ADBC，所以FDB=CBD所以FBD=FDB（2）因为四边形ABCD是矩形 所以AB=DC，AD=BC由折叠可知 DC=ED= AB， BC=BE= AD又因为AE=AE 所以AEBEAD，所以AE

5、B=EAD，所以AEB=（180°-AFE），而DBE=（180°-BFD），AFE=BFD所以 所以AEBD五、判断图形形状OACBED例6、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。（1）由折叠可得BCDBED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是 。分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰OB

6、D。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到OBD=CBD，由于在矩形中，ADBC，ODB=CBD，经过等量代换OBDODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为ADBC，BCBE，因此在ABO中可以设AOx，则BOOD8x，因为AB6，即可以列勾股定理的等式：AB2AO2BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。例7、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。（1）找出图中全等

7、的三角形，并证明。（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。F132CBAEDF132CBAED（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明EODBOF，则有EDBF，且EDBF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形。例8、如图，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A、B处，线段FB与AD交于点M(1)试判断M

8、EF的形状，并说明你的理由；(2)如图，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C、D处，且使MD经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并说明你的理由；(3)当BFE_度时，四边形MNFE是菱形分析：（1）由折叠可知 MFE=EFB，再由 MEF=EFB得MEF=MFE，所以 ME=MF，因此MEF为等腰三角形；（2）由（1）ME=MF，同理MF=NF，所以ME=NF，再由MENF得四边形MNFE为平行四边形（3）若四边形MNFE是菱形，则ME=EF，由ME=MF得ME=MF=EF，EFM是等边三角形，所以MFE=60°，由折叠知BFE=MFE=60°。解：（1

9、）MEF为等腰三角形理由：因为 ADBCABCEFDABABCEFDABDCMMN所以 MEF=EFB由折叠可知 MFE=EFB所以MEF=MFE所以 ME=MF所以MEF为等腰三角形（2） 四边形MNFE为平行四边形理由：因为ME=MF，同理NF=MF所以 ME=NF 因为MENF所以四边形MNFE为平行四边形（3） 60。说明：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系。六、综合运用例8、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，又，。（2），设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。OxyCBEDPMGlNAF。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，