第二章随机变量及其分布

1、1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节 随机变量与分布函数随机变量与分布函数第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量第三节第三节 连续型连续型随机变量随机变量退出退出22.1 2.1 随机变量随机变量random variablerandom variable1.1.定义定义2. 2. 分类分类引入引入,)(X 设设E E为随机试验，它的样本空间为为随机试验，它的样本空间为 ，如果，如果对于每一个对于每一个 均有实数均有实数 与之对应，则称与之对应，则称这个定义在这个定义在 上的实单值函数上的实单值函数 为随机变为随机变

2、量，简记为量，简记为 . .)(XX非离散型非离散型离散型离散型连续型连续型奇异型奇异型随机变量随机变量3E E1 1：掷一颗质地均匀的骰子，观察出现的点数：掷一颗质地均匀的骰子，观察出现的点数: : 出现出现1 1点点 出现出现2 2点点 出现出现3 3点点 出现出现4 4点点 出现出现5 5点点 出现出现6 6点点X 1 2 3 4 5 6X出现的点数出现的点数（）：）：“出现出现2 2点点”= X=2“出现的点数不小于出现的点数不小于3 3”=X 3返回返回返回本章目录返回本章目录E2：在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, ,观观察摸出球的颜色察摸出球的

3、颜色. .S=红色、白色红色、白色 .,0, 1)(白色红色eeeX3.随机变量表示随机事件随机变量表示随机事件 随机变量随机变量X是从是从样本空间样本空间到实轴的单值函数到实轴的单值函数不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。对一切实数集合对一切实数集合B， 表示表示BXBX)(|其概率记为其概率记为BXP若对任一实数集合若对任一实数集合B，知道概率，知道概率 ，那，那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。定了。)(BXP5 bXa aX xXxX设随机变量设随机变量 X, ,Rbax 则有随机事件则有随

4、机事件 aXbX ( ) ) )(|xXxX aXaXxX xX 6随机变量随机变量XxP( X x)xP( X x)R0, 1F(x) = xP( X x)7二二. 分布函数分布函数X)()()(xxXPxF1.1.定义定义 设设 是一个随机变量是一个随机变量, ,称函数称函数 为随机变量为随机变量 的的分布函数分布函数. .X注：注：1.分布函数是定义在实数域上的普通函数；分布函数是定义在实数域上的普通函数； 2.任何随机变量都有分布函数。通常，若任何随机变量都有分布函数。通常，若X的分布的分布函数是函数是F(x)，则称，则称X服从分布函数服从分布函数F(x)，记为，记为XF(x)。 3.

5、直观上，直观上，F（x）在点在点x处的函数值反映的是随机处的函数值反映的是随机变量变量X落在区间落在区间 上的概率。上的概率。,(xx8. .性质性质: :21xx)()(21xFxF(4) F(x)是右连续的是右连续的:)()(lim00 xFxFxx即对于任意的即对于任意的,0Rx ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx(3)(2)1)(0 xF(1) 单调不减性单调不减性：可记为可记为F(x)=F(x+0)93.利用分布函数求事件的概率)(aXP)(bXaP)(aF)()(aFbF)(aXP)0(aF其他可由这几个基本公式得出，见书其他可由这几个基本公式得出，见书.)(

6、)(aXbXP)()(aXPbXP)(xXP)0()(xFxF10例例1 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,arctan)(xBAxF求求：（：（1）常数常数A及及B的值；的值；).20( XP（2）11例例2 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,2, 120,sin0,0)(xxxAxxF求常数求常数A的值及的值及).6|(|XP12例例3 下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是：下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是：211)(.xxFAxxFBarctan2143)(.0,10, 0)(.xxxxxFC1arctan2)(.xxFD13返回返回本章本章目录目

7、录142.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量random variablerandom variable（2）性质）性质 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp2 2、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布（1）定义）定义1.1.定义：定义：只可能取有限个或可列个值的随机变量只可能取有限个或可列个值的随机变量. ., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkk

8、k （或分布列）（或分布列）离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21例例1 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为X123Pa27aaa 2求参数求参数a.例例2 盒中有盒中有5球，球，3红，红，2白，现任取白，现任取3球，球，设设 X：“取到的白球数取到的白球数”，求，求X 的分布列。的分布列。离散型随机变量的分布列完全决定了它的概率分布。离散型随机变量的分布列完全决定了它的概率分布。X取各种值的概率都可由分布列通过计算得到：取各种值的概率都可由分布列通过计算得到：)()(BxiixXPBXP例例3 设随机

9、变量设随机变量X的分布列为的分布列为.5 ,4, 3 ,2, 1,15)(kkkXP求（求（1）)2521( XP) 3()2(XP由离散型随机变量的分布列可求出其分布函数：由离散型随机变量的分布列可求出其分布函数：xxiixXPxXPxFx)()()(,例例3 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为.5 ,4, 3 ,2, 1,15)(kkkXP求求X的分布函数。的分布函数。12345xxxxxX的分布函数为的分布函数为5, 1, 54,32, 43,52, 32,51, 21,151, 1, 0)(xxxxxxxF123451515152321例例4 已知已知 X 的分布函数，求的分布

10、函数，求 X 的分布列。的分布列。3,131,8.011,4.01,0)(xxxxxF xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数)0()()()(1 kkkkkkxFxFxFxFxXPp离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系分布律分布律22random variablerandom variable3.3.几种常用离散型随机变量的概率分布几种常用离散型随机变量的概率分布（1 1）两点分布）两点分布 X 0 1 P 1-p p若随机变量若随机变量 X 的概率分布为的概率分布为：则称则称 X 服从两点分布服从两点分布。2.2 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随

11、机变量及其分布10 , 1 , 0,)1 (1pkpppkkk或23random variablerandom variable（2 2）二项分布）二项分布若随机变量若随机变量 X X 的概率分布为的概率分布为：nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1()( 则称则称 X 服从参数为服从参数为n, p 的的二项分布二项分布,记为记为 X B(n, p)2.2 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布3.3.几种常用离散型随机变量的概率分布几种常用离散型随机变量的概率分布24例例1 设随机变量设随机变量), 2(pBX)., 3(pBY,95) 1(XP若?) 1(YP则p)B

12、(n,X，k=(n+1)p称为最可能成功次数。称为最可能成功次数。25.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( BX则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400kkkCkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例2 226random variablerandom variable（3 3） 泊松

13、泊松( (PossionPossion) )分布分布若随机变量若随机变量 X 的概率分布为的概率分布为), 2 , 1 , 0(!)( kekkXPk 则称则称 X 服从参数为服从参数为的的 Possion分布分布, , 记为记为 XP ().2.2 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布27例例1 1 某商店出售某种商品。根据以往的销售记录，某商店出售某种商品。根据以往的销售记录，此商品的月销售量服从参数为此商品的月销售量服从参数为9 9的泊松分布。为了的泊松分布。为了以以95%95%以上的概率保证不脱销，问在月底应库存多以上的概率保证不脱销，问在月底应库存多少件这样的商品（设

14、只在月底进货）？少件这样的商品（设只在月底进货）？28泊松定理泊松定理knkknppC )1 (ekk!若若 X B(n, p), 则当则当n充分大而充分大而 p充分小时充分小时, X 近似服从参数为近似服从参数为 的的 Possion分布分布. 即即二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似一般情况下，当一般情况下，当p0.1p0). f (x) o分布函数分布函数其它,00,1)(xexFx47例例2 设打一次电话所用的时间设打一次电话所用的时间X（单位：分钟）服从（单位：分钟）服从参数为参数为0.1的指数分布。若有一人刚好在你前面走进的指数分布。若有一人刚好在你前面走进电话亭，求你等待的时间在

15、电话亭，求你等待的时间在5分钟到一刻钟之间的概分钟到一刻钟之间的概率。率。 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景48random variablerandom variable（3 3）正态分布）正态分布RxexfXx,)(222)(21若则称X 服从参数为,2 的正态分布（高斯分布）, 其中0，是任意实数，X N (,2)记为图示图示2.3 2.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布3. 常用的连续型随

16、机变量的密度常用的连续型随机变量的密度;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ;0)(,)3(xfx时当;)4(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;轴为渐近线曲线以 x;,)(,)5(轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxf.,)(,)6(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定xf).1, 0(N记为记为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 4.标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示

17、为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt)()()1(xx 标准正态的性质标准正态的性质)(x下一页下一页52x0 x-x)( x )( x )( x 1)()( xxXN (0,1)(x 5 . 0)0(, 1)0(2)2( )(1)()3(xx 性质：性质：),(2NX若若XYN(0,1) （1）若）若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab正态分布的计算正态分布的计算（2）xxFX)(的分布函数例例1 设设 ，且，且 ，则，则), 2(2NX3 . 0)42( XP )0(, XP例例2 设测量的随机误差设测量的随机误差 ，求在

18、，求在60次次独立重复测量中，至少有独立重复测量中，至少有2次测量误差的绝对值大次测量误差的绝对值大于于19.6的概率，并用泊松分布求此概率的近似值。的概率，并用泊松分布求此概率的近似值。)10, 0(2NX例例3 设设 ，且，且 ),(2NX, 8 . 0)(kXkP试查表确定试查表确定k的值。的值。55思考题：思考题：（出行路线选择问题）某人从南郊前往北（出行路线选择问题）某人从南郊前往北郊火车站，有两条路可走。第一条路穿过市中心，郊火车站，有两条路可走。第一条路穿过市中心，路程较短，但交通拥挤，所需时间（以分钟计）服路程较短，但交通拥挤，所需时间（以分钟计）服从正态分布从正态分布 ；第二

19、条路沿环城公路走，；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布布 。试问：。试问：（1 1）假如有）假如有50min50min可用，应走哪条路？可用，应走哪条路？（2 2）若只有）若只有40min40min可用，又应该走哪条路线？可用，又应该走哪条路线？)80,35(N)20,40(N56返回本章目录返回本章目录一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的

20、中有值相同的中有值相同的若若kkpxg例例Xkp21014.01.03.02.0求求Y=(X-1)2 的分布列的分布列582.4 2.4 随机变量的分布函数随机变量的分布函数Distribution functionDistribution function二二. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布(难点难点)1.1.分布函数法分布函数法 （1 1）从新随机变量的分布函数的定义出发，）从新随机变量的分布函数的定义出发，求出新旧随机变量分布函数间的关系求出新旧随机变量分布函数间的关系. .)()(yXgPyYPyFY ),(,d)()( xxxfyxgX （2 2）对）对 求导数，

21、得到新随机变量的求导数，得到新随机变量的密度函数密度函数. .)(yFY59X2XY 的分布函数与分布密度的分布函数与分布密度. .例例1 1 设随机变量设随机变量 服从（服从（-1,1-1,1）上的均匀分布，求）上的均匀分布，求60)(xfXX)(XgY 2.公式法公式法定理定理2.22.2 设设 , y=g (x) 为单调可导函数为单调可导函数, x=h(y) 为为 y=g (x) 的反函数的反函数, 则则 的概率密度为的概率密度为:其中其中 是是 y = g (x) 的值域的值域。其它0| )(|)()(yyhyhfyfXY),(注：区间注：区间 的确定：若的确定：若X的密度函数的密度函数f(x)仅在某区间仅在某区间(a,b)内非零，则只需设内非零，则只需设y = g (x)