第九章 连分式new

1、 但有理分式 却能很好地反映函数在x附近无界，并且也保证了当x时趋于某个定值A。而且，用有理分式逼近一个函数，或者用有理分式作为工具构造算法，其效果（如精度与计算工作量）有时要比用多项式好。xBAx 在某些场合下，用多项式作为工具就不一定合适。例如，某个函数在x附近无界，或者当x时趋于某个定值，此时如果用多项式来逼近这个函数，其效果不会很理想。这是因为多项式不可能反映函数的这些性质。第9章 连分式及其新计算法 9.1 连分式 9.1.1 连分式的基本概念 现在，如果将式(9.1.1)的右端代入右端中的y，并且连续做下去，就可以得到如下的式子：由此可以看出，函数 不仅可以展开成幂级数，还可以展开

2、成如下连分式： x1在式(9.1.2)中，如果取x1，则有 由上面的例子可以看出，一个函数或常数除了可以用幂级数表示外，还可以用连分式表示。下面给连分式下一个一般的定义。 定义9.1 表达式 称为连分式。其中 称为连分式(9.1.3)的第k节，ak1与bk称为连分式第k节的两个项。a0，a1，a2，称为连分式的部分分子；b0称为连分式的常数项，b1，b2，称为连分式的部分分母。k1kba 对于有限连分式来说，其值是通过对各项的有限次运算而得到。如果有限连分式的部分分子和部分分母的各项（包括常数项b0）均为实数，则有限连分式的值也为实数；如果有限连分式中的各项为有理数，则其连分式值也为有理数。

3、对于无限连分式来说，与无穷级数的情形相似，在其收敛性未得到证实之前，不能随意认为它代表某个数值，它只是一种数学形式的记号而已。当然，无限连分式的收敛性问题也是值得研究的，这里不作详细的讨论。9.1.2 连分式的主要性质 定理9.1 （渐近分式关系）设 P11，P0b0 PkbkPk1ak1Pk2，k1 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k1则 定理9.2 （相邻渐近分式之间的关系）定理9.3 连分式(9.1.3)可以变换成等价的级数形式 其中 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k19.2 函数连分式 9.2.1 函数连分式的基本概念 与连分式的定义相似，函数连分式的定义如下

4、。定义9.2 设表达式(9.2.1) 如果表达式 中的各结点xk(k0，1，)与x均属于区间a，b，则称 为定义在区间a，b上的一维函数连分式。)x()x(其中 称为函数连分式(9.2.1)的第k节，xxk1与bk称为函数连分式第k节的两个项。xx0，xx1，xx2，称为函数连分式的部分分子，并且为变数；b0称为连分式的常数项，b1，b2，称为连分式的部分分母，通常为实常数。k1kbxx9.2.2 函数连分式的主要性质 对于函数连分式，同样有渐近分式关系以及相邻两渐近分式之间的关系。并且与一般连分式一样，也可以将函数连分式变换成级数，以及将函数连分式变换成偶数节或奇数节渐近分式的级数。9.2.

5、3 函数连分式的计算9.3 变换级数为连分式 定理9.7 设幂级数为 P(x)a0a1xa2x2anxn (9.3.1)则可以将式(9.3.1)变换成等值的连分式，即 P(x)a0a1xa2x2anxn9.4 连分式插值法 9.4.1 连分式插值的基本概念 9.4.2 连分式插值函数的构造 9.5 方程求根的连分式解法 一般来说，对于非线性方程 f(x)0 (9.5.1) 假设已经得到了前n次迭代值x0，x1，xn1,并且计算出非线性方程(9.5.1)左端函数f(x)在这n个迭代值点上的函数值ykf(xk)(k0，1，n1)。现在要求确定一个函数关系，根据n个已知数据点(xk，yk)(k0，1

6、，n1)来确定第n次迭代值xn，即 xnF(y0，y1，yn1)并且使迭代次数尽量的少。这个函数F可以取连分式函数。 求解非线性方程(9.5.1)的步骤如下 取三个初值x0，x1和x2，并分别计算出 y0f(x0)，y1f(x1)，y2f(x2)然后根据三个数据点(y0，x0)，(y1，x1)，(y2，x2)确定函数连分式中的参数b0，b1，b2。 对于k3，4，作如下迭代： (1) 计算新的迭代值，即(2) 计算非线性方程(9.5.1)左端函数f(x)在xk点的函数值，即 ykf(xk)此时，如果|yk|，则迭代结束，xk即为方程根的近似值。(3) 根据新的数据点(yk，xk)，用递推计算公

7、式 递推计算出一个新的bk，使连分式插值函数再增加一节，即 然后转(1)继续迭代。上述过程一直做到|yk|为止。 9.6 一维积分的连分式解法 如果用通常的近似积分法（如变步长求积法），为了要得到较精确的积分值，就必须将积分区间a，b分得很细，步长h要足够的小。但由此带来的问题是项数增加，将导致严重的误差积累。为了解决这个问题，在逐步分割积分区间的过程中，首先由式(9.6.2)（即变步长梯形求积法）算出积分近似值序列sk(k0，1，j)。然后根据这个积分近似值序列（它们对应的步长序列为hk ，k0，1，j），确定出参数b0，b1，bj，构造出函数连分式(9.6.3)。此后再由式(9.6.5)算出进一步的积分近似值S(j)。k2ab 在以上过程中，可以将式(9.6.5)看成是对近似积分值序列sk(k0，1，j)的校正。利用变步长梯形法则计算得到的第j次近似值sj可能不满足精度要求，而通过式(9.6.5)校正后得到的近似值S(j)将会比sj更接近积分的准确值。这就避免了由于步长过小而引起的积累误差的增加，同时，在保证精度要求的前提下，这种方法也减少了计算工作量，即它的收敛速度比通常的近似积分法要快得多。用连分式方法计算一维积分的基本步骤如下