数列的概念与简单表示法

1、数列的概念与简单表示法21数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法学习导航学习导航对任意数列an，其每一项与序号都有对应关系，见下表：若an1an0恒成立，则数列an是常数列提示：相同点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；因此数列也可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的函数_，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1,2,3，)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，.a5a4(241)9716.名师解题 数列单调性的判定问题若a

2、n1an0恒成立，则数列an是递增数列；可根据某项的序号，直接用代入法求出该项数列的概念与简单表示法1数列及其有关概念、表示不同点：(1)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；可根据某项的序号，直接用代入法求出该项新知初探思维启动新知初探思维启动1数列及其有关概念、表示数列及其有关概念、表示首项首项一定顺序一定顺序想一想想一想1.数列中的项与集合的元素有什么区别和联系？数列中的项与集合的元素有什么区别和联系？提示：提示：相同点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是相同点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；确定的，集合中的元

3、素也具有确定性；不同点：不同点：(1)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现素不能重复出现(即互异性即互异性)；(2)有序性有序性:一个数列不仅与构成数列的一个数列不仅与构成数列的“数数”有关，而且与这些有关，而且与这些数的排列次序有关数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序而集合中的元素没有顺序(即无序性即无序性)；(3)数列中的每一项都是数，而集合中的元素除了是数外还可数列中的每一项都是数，而集合中的元素除了是数外还可以是点、物体等以是点、物体等2数列的分类数列的分类有限有限无限无限第第2项项大于大于第第2项项小于小于各项相等各项

4、相等第第2项项大于大于小于小于做一做做一做2.如何判断数列的单调性？如何判断数列的单调性？提示：提示：(1)作差比较法作差比较法若若an1an0恒成立，则数列恒成立，则数列an是递增数列；是递增数列；若若an1an0恒成立，则数列恒成立，则数列an是递减数列；是递减数列；若若an1an0恒成立，则数列恒成立，则数列an是常数列是常数列3数列的通项公式数列的通项公式如果数列如果数列an的第的第n项与项与_之间的关系可以用一个式之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_序号序号n通项公式通项公式做一做做一做4.数列的递推公式数列的递推公式如果已

5、知数列如果已知数列an的第的第1项项(或前几项或前几项)，且从第二项，且从第二项(或某一项或某一项)开始的任一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几项或前几项)(n2，nN*)间间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式列的递推公式做一做做一做5数列与函数的关系数列与函数的关系对任意数列对任意数列an，其每一项与序号都有对应关系，见下表：，其每一项与序号都有对应关系，见下表：因此数列也可以看成是定义域为正整数集因此数列也可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3，n)的函数

6、的函数_，当自变量，当自变量n从小到大依次从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列反过来，对取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列反过来，对于函数于函数yf(x)，如果，如果f(i)(i1,2,3，)有意义，那么就可以得有意义，那么就可以得到一个数列到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，.序号序号1234n项项a1a2a3a4ananf(n)想一想想一想 3.数列是函数吗？数列是函数吗？提示：提示：数列是一个特殊的函数，它的特殊性主要体现在其定数列是一个特殊的函数，它的特殊性主要体现在其定义域是正整数集义域是正整数集典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一数列的有关概念

7、题型一数列的有关概念例例1【答案答案】(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)【名师点评名师点评】判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；，则是递减数列；若满足若满足anan1，则是常数列；若，则是常数列

8、；若an与与an1的大小不确定时的大小不确定时，则是摆动数列，则是摆动数列跟踪训练跟踪训练例例2题型二已知数列的前几项归纳其通项公式题型二已知数列的前几项归纳其通项公式【名师点评名师点评】由前几项归纳通项的一些方法：由前几项归纳通项的一些方法：此类问题主要靠观察此类问题主要靠观察(观察规律观察规律)、比较、比较(比较已知数列比较已知数列)、归纳、归纳、转化、转化(转化为特殊数列转化为特殊数列)、联想、联想(联想常见的数列联想常见的数列)等方法具等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；征

9、；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用可用(1)k或或(1)k1处理处理跟踪训练跟踪训练例例3题型三数列通项公式的应用题型三数列通项公式的应用跟踪训练跟踪训练4已知函数已知函数f(x)2x2x，数列，数列an满足满足f(log2an)2n(nN*)，(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)判断数列判断数列an的增减性的增减性题型四数列递推公式的应用题型四数列递推公式的应用例例

10、4【名师点评名师点评】根据初始值及递推公式写出数列的前几项，根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然后归纳、猜想其通项公式，其中归纳、猜想通项公式是难然后归纳、猜想其通项公式，其中归纳、猜想通项公式是难点，可用根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理点，可用根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理不同的是，在写出前几项时，一般不对前几项化简不同的是，在写出前几项时，一般不对前几项化简(但有时但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，没有定法化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，没有定法)跟踪训练跟踪训练解：解：(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是故该数列的一个通项公式是an(n1)2.1单调性是数列的一个重要性质判断数列的单调性，通常单调性是数列的一个重要性质判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断是运用作差或作商