第二章(3)平面

1、3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.4.1 平面的表示法平面的表示法用几何元素表示平面用几何元素表示平面baacbc不共线的三点不共线的三点baacbc一直线和线外一点一直线和线外一点baacbc相交两直线相交两直线aabcbc任意平面图形任意平面图形abcabcdd平行两直线平行两直线用迹线表示平面用迹线表示平面 平面与投影面的交线称为平面的迹线平面与投影面的交线称为平面的迹线PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性积聚性积聚性类似性类似性投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形

2、现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面( ( V)V) 铅垂面铅垂面( ( H)H) 侧垂面侧垂面( (

3、W)W) 正平面正平面(V)(V) 水平面水平面(H)(H) 侧平面侧平面(W)(W)3.4.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性（一）一般位置平面（一）一般位置平面abccabbaaabbccbacABC投影特性：投影特性： 三投影均具有三投影均具有类似性，且不反映类似性，且不反映 、 、 的真实角度。的真实角度。 投影图上的一个封闭图形通常表示空间一个面的投影投影图上的一个封闭图形通常表示空间一个面的投影侧垂面侧垂面V VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面铅垂面铅垂面（二）投影面垂直面（二）投影面垂直面PPH1铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： （1）水平投影积聚为斜直线

4、，）水平投影积聚为斜直线，另外两投影具有另外两投影具有类似性类似性；图形特性图形特性 （2）水平投影反映）水平投影反映 、 角的真实大小角的真实大小。 度量特性度量特性ABCacbabab ba b ccc铅垂面迹线表示法铅垂面迹线表示法: : 对特殊位置平面不画无积聚性的迹线，对特殊位置平面不画无积聚性的迹线， 用两段短的粗实线表示有积聚性的迹线的位置，中间用细实线相用两段短的粗实线表示有积聚性的迹线的位置，中间用细实线相 连，并标上相应的符号。连，并标上相应的符号。PHPPHQQV 2正垂面正垂面 AcCabBb ababaccc投影特性：投影特性： (1) 正面投影积聚为斜直线，正面投影

5、积聚为斜直线，另外两投影具有另外两投影具有类似性类似性；图形特性图形特性 (2) 正面投影反映正面投影反映、 角角的真实大小的真实大小 。 度量特性度量特性正垂面的迹线表示法正垂面的迹线表示法 QQVQVSWS 3侧垂面侧垂面CabABcb ababaccc投影特性：投影特性： (1) 侧面投影积聚为斜直线，侧面投影积聚为斜直线，另外两投影具有另外两投影具有类似性类似性；图形特性图形特性 (2)侧面投影反映侧面投影反映、 角的真实大小角的真实大小。 度量特性度量特性侧垂面的迹线表示法侧垂面的迹线表示法VWSwSZXOYSwY投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 在它垂直的投影面上的投影

6、积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。一线两形，不反映实形一线两形，不反映实形X XY YZ ZH HV VW W侧平面侧平面正平面正平面水平面水平面（三）投影面平行面（三）投影面平行面1水平面水平面CABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： (1) 正面投影和侧面投影积聚为直线，且正面投影和侧面投影积聚为直线，且OZ轴；轴； (2) 水平投影反映水平投影反映 ABC实形。实形。水平面

7、上的点水平面上的点Z Z坐标相等坐标相等2正平面正平面Y坐标相等坐标相等cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性： (1) 水平投影和侧面投影积聚为直线，且水平投影和侧面投影积聚为直线，且OY轴；轴； (2) 正面投影反映正面投影反映 ABC实形。实形。3侧平面侧平面X坐标相等坐标相等abbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性： (1) 正面投影和水平投影积聚为直线，且正面投影和水平投影积聚为直线，且OX轴；轴； (2) 侧面投影反映侧面投影反映 ABC实形。实形。投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的

8、投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。两线一形，反映实形，线平行于轴。两线一形，反映实形，线平行于轴。a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为5050，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。50Z ZX XO OY YH HY YW W3.4.3 平面内的点和直线平面内的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置

9、平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线三、属于平面的投影面平行线利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。完成多边形的投影。一、一般位置平面上取点和直线一、一般位置平面上取点和直线 点在平面上的几何条件（必要条件）：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件（必要条件）：点在平面内的某一直线上。即点在平面内的某一直线上则必在此平面上。即点在平面内的某一直线上则必在

10、此平面上。EDddee 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：例：已知已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。 面上取点的方法：面上取点的方法：d d通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取首先面上取线线kabca b c X Xk 平面上取点：平面上取点：直线在平面上的几何条件（必要条件）：直线在平面上的几何条件（必要条件）： 通过平面上的两点；通过平面上的两点； 或或通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。通过平面上的一点且平行

11、于平面上的一条直线。EDFddeeff 在平面上取线在平面上取线例题例题1 试判断点试判断点D是否属于是否属于 ABC平面。平面。ddee否否例例2 2 已知已知ABCDABCD给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点M M是否属于是否属于该平面。该平面。tsabcdmabcdmts答案：否答案：否例题例题1 已知点已知点D、E两点在两点在 ABC上，试求其另一投影。上，试求其另一投影。例题例题2 试完成四边形试完成四边形ABCD的水平投影。的水平投影。babaeffe二、特殊位置平面上取点和直线二、特殊位置平面上取点和直线P属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线PVPH平面上投影面

12、平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的既在平面上又平行于投影面的直线。直线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。与所属平面保持从属关系。 在一个平面上对在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。投影面分别有三组投影面平行线。 三、三、 属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线例例1： 在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例题例题

13、2 已知点已知点E 在在 ABC平面上，且点平面上，且点E距离距离V 面面10，距离，距离H面面15 ，试求点，试求点E的投影。的投影。mnmnrsrs1015eebckada d b c k b 例题例题3 3 已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X基基 本本 要要 求求1 1、掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的、掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的 迹线表示法；迹线表示法；2 2、熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法；、熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图

14、方法；3 3、掌握平面上取点和直线的几何条件和作图方法；、掌握平面上取点和直线的几何条件和作图方法；4 4、掌握平面内投影面的平行线的投影特性和作图方法；、掌握平面内投影面的平行线的投影特性和作图方法；作业：作业：P7例题例题2 已知已知 ABC 给定一平面，试过点给定一平面，试过点 C 作属于该平作属于该平面的正平线，过点面的正平线，过点 A 作属于该平面作属于该平面 的水平线。的水平线。mnnm（2 2）作正垂面）作正垂面（ 1 1）作正平面）作正平面（3 3）作铅垂面）作铅垂面abcdacdb例例4 4 过点过点A A、B B分分别作正平面、正垂别作正平面、正垂面，过面，过CDCD作铅垂

15、作铅垂面面 。2.4.4 过点、直线作平面过点、直线作平面1个个无数解！无数解！abbaSbaabAB2.4.4 过点、直线作平面过点、直线作平面（二）过一般位置直线总可作投影面的垂直面（二）过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线过一般位置直线AB作铅垂面作铅垂面PH过一般位置直线过一般位置直线AB作作正垂面正垂面SVPPHSVABmn(n)(m)2.过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法几何元素表示法)铅垂面铅垂面正垂面正垂面（二）过特殊位置直线作平面（二）过特殊位置直线作平面1.过正垂线作平面过正垂线作平面 (迹线表示法迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题）给题（c）作侧平面）作侧平面 （1个）个）（ b）作水平面）作水平面 （1个）个）（d）作正垂面）作正垂面 （无穷多个）（无穷多个）2. 过正平线作平面过正平线作平面PHSHgg（a ）给题给题（c）作正垂面作正垂面（1个）个）（ b）作正平面作正平面（