D2.7 矩阵的秩

1、定义2.10 对矩阵施行的以下三种变换 （1）互换矩阵的某两行（列） （2）用一非零数乘与矩阵的某一行（列） （3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍 加到另一行（列）对应元素上。 均称为矩阵的初等变换。初等行变换初等列变换2.7 矩阵的秩2.7 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念 min, ,km n 2k中，任取中，任取 行行 列列Akknm 在在矩阵矩阵位于这些行与列交叉处的位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在个元素，依照它们在A中的位置次序不变而得的中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 的一个的一个k定义定义Ak阶子式阶子式. .nm 矩阵共有

2、矩阵共有 个个 阶子式阶子式. .kkmnC Ck1最低阶为最低阶为 阶，阶，最高阶为最高阶为 阶阶. .min, m n例例：矩阵：矩阵139301342396A 取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，126231 二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .A易见易见设设A为一个为一个m n矩阵矩阵, , 当当A=O时时, , 它的任何子式都它的任何子式都为零为零; ; 当当A O时时, , 它至少有一个元素不为零它至少有一个元素不为零, , 即它即它至少有

3、一个一阶子式不为零至少有一个一阶子式不为零. . 这时再考察二阶子式这时再考察二阶子式, ,如果如果A中有二阶子式不为零中有二阶子式不为零, , 则往下考察三阶子式则往下考察三阶子式, , 依此类推依此类推, , 最后必达到最后必达到A中有中有r阶子式不为零阶子式不为零, , 而再而再没有比没有比r更高阶的不为零的子式更高阶的不为零的子式. . 这个不为零的子式这个不为零的子式的最高阶数的最高阶数r, 反映了矩阵反映了矩阵A内在的重要特性内在的重要特性, , 在矩阵在矩阵的理论与应用中都有重要意义的理论与应用中都有重要意义. .123001212460A121001 A中有二阶子式中有二阶子式

4、但它的任何三阶子式皆为零但它的任何三阶子式皆为零, , 即不为零的子式即不为零的子式最高阶数最高阶数r=2.例如例如2 2、矩阵的秩、矩阵的秩定义定义设设A为为mn矩阵，如果存在矩阵，如果存在A的的r阶子式不为零，阶子式不为零，而任何而任何r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则阶子式（如果存在的话）都为零，则称数称数r为矩阵为矩阵A的的秩，记为，记为r(A)或或R(A).规定，零矩阵的秩为零规定，零矩阵的秩为零.性质性质1 1）若矩阵）若矩阵A中有某个中有某个s阶子式不为零，则阶子式不为零，则r(A)不小于不小于s；3）A为为mn矩阵，则矩阵，则,min)(0nmAr2 2）若矩阵若矩阵A中所

5、有的中所有的t阶子式全为零，则阶子式全为零，则r(A)小于小于t；4）).0()()(),()(kArkArArArT定义定义 当当,min)(nmAr时，称矩阵时，称矩阵A为为满秩矩阵满秩矩阵，否则称为否则称为降秩矩阵降秩矩阵.nmnmAr,min)(行满秩矩阵行满秩矩阵列满秩矩阵列满秩矩阵如如010030105431A注：注：若若n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为A为为满秩满秩.A,B,C都是满秩矩阵都是满秩矩阵12300101( )3;0010Ar A1201( )2;00Br B112011( )3002Cr C定理定理 矩阵经初等变换后矩阵经初等变换后, , 其秩不变其

6、秩不变. 证证: : 仅考察经一次初等变换的情形仅考察经一次初等变换的情形. .设矩阵设矩阵 经初等变换变为经初等变换变为 , , 且且 当对当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时换时, ,矩阵矩阵B中任何中任何 阶子式等于某一非零数阶子式等于某一非零数c与与A的某的某个个阶子式的乘积阶子式的乘积, , 其中其中c= 1或其它非零数或其它非零数. . 因为因为A的的任何任何 阶子式皆为零阶子式皆为零, , 因此因此B的任何的任何 阶子式也阶子式也都为零都为零. .m nAm nB12( ), ( )r Ar r Ar11r 11r 11r 11r

7、 当对当对A施以第施以第i行乘行乘l后加于第后加于第j行的变换时行的变换时, , 矩矩阵阵B的任意一个的任意一个r1+1阶子式阶子式|B1|, 如果它不含如果它不含B的第的第j行或既含行或既含B的第的第i行又含第行又含第j行行, , 则它即等则它即等于于A的一个的一个r1+1阶子式阶子式; ; 如果如果|B1|含含B的第的第j行行但不含第但不含第i行时行时, , 则则|B1|=|A1| l|A2|, 其中其中A1,A2是是A中的两个中的两个r1+1阶子式阶子式. . 由由A的任何的任何r1+1阶阶子式均为零子式均为零, , 可知可知B的每一个的每一个r1+1阶子式也全阶子式也全为零为零. .由

8、以上分析可知由以上分析可知, , 对对A施行一次初等行变换后施行一次初等行变换后得得B B时时, , 有有r2r1+1 即即r2 r1. .A经某种初等变换得经某种初等变换得B, B也可以经相应的初等也可以经相应的初等变换得变换得A, 因此又有因此又有r1 r2. 故得故得r1=r2.显然上述结论对初等列变换亦成立显然上述结论对初等列变换亦成立. .故对故对A每施以一次初等变换所得矩阵的秩与每施以一次初等变换所得矩阵的秩与A的秩相同的秩相同, , 因而对因而对A A施以有限次初等变换后所施以有限次初等变换后所得矩阵的秩仍然等于得矩阵的秩仍然等于A的秩的秩. .矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的阶

9、数最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行行阶梯形矩阵非零行的行数数行最简形矩阵非零行的行行最简形矩阵非零行的行数数标准形矩阵中单位矩阵的阶标准形矩阵中单位矩阵的阶数数=用初等变换求矩阵的秩的方法：用初等变换求矩阵的秩的方法：对对A作一系列初等行变换，将作一系列初等行变换，将A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵111211222200000000000rnrnrrrnbbbbbbbAbb初等行变换阶梯形矩阵中非零行的行数即阶梯形矩阵中非零行的行数即A为的秩为的秩 例例2 求矩阵求矩阵10112213161122511101A的秩的秩.例例1 1 求矩阵求矩阵 的秩的秩. .131221233211

10、1435A11120110 ,210121001AB 例例3设设求求例例4设设A为为n阶非奇异矩阵，阶非奇异矩阵，B为为nm阶矩阵，阶矩阵，证明：证明：r(AB)=r(B).已知已知r(AB)=2本章内容提要本章内容提要基本内容基本内容矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的等价矩阵的等价 初等矩阵初等矩阵 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的概念矩阵的概念 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 矩阵的乘法矩阵的乘法 方阵的幂方阵的幂 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式 矩阵的转置矩阵的转置分块矩阵及其运算分块矩阵及其运算逆矩阵的概念和性质逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分矩阵可逆的充分必要条件必要条件 伴随矩阵伴随矩阵

11、学习要求学习要求1 1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、数量理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、数量 矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对 称矩阵的定义和性质称矩阵的定义和性质 . .2 2掌握矩阵的线性运算、乘法，以及它们的运算规律，掌握矩阵的线性运算、乘法，以及它们的运算规律， 掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵乘积掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵乘积 的行列式的性质的行列式的性质. . 3 3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用会用 伴随矩阵求逆矩阵伴随矩阵求逆矩阵. .4 4了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念， 理解矩阵的秩的概念，会用初等变换求矩阵的逆和秩理解矩阵的秩的概念，会用初等变换求矩阵的逆和秩. .5 5了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则法则. .关于矩阵可逆的几个等价条件关于矩阵可逆的几个等价条件1 n阶矩阵阶矩阵A可逆可逆( (非奇异非奇异) ) ；2 A的行列式不为零，即的行列式不为零，即 ; ;( )r A