小学奥数试题集与答案

1、小学奥数试题集与答案小学奥数试题集与答案称球问题专题介绍称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代乂一代人的智力，历久不衰。 下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。经典例题例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品 球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放 到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。例2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平 只称三次（不用祛码），把次品

2、球找出来。解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘 上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次 品必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆乂分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆, 乂可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则 较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次 品找出来。解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、 C、D表示。把A、B

3、两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B,则A、B中都是正品，再称B、Co如B=C,显然D中的那个球是次品； 如B>C,则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如 BVC,仿照B>C的情况也可得出结论。（2）若A>B,则C、D中都是正品，再称B、C,则有B二C,或BVC （B>C不可能， 为什么）如B=C,则次品在A中旦次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得 出结论：如BVC,仿前也可得出结论。（3）若AVB,类似于A>B的情况，可分析得出结论。练习 有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能 找出次品

4、吗第十四讲填符号组算式'个小朋友们,你听过“江南四大才子之一祝枝山的故事吗 他写得一手好字。有一次过年,一个人请祝枝山写了一张条幅：“今 年正好晦气全无财帛进门。”主人一看:“今年正好晦气,全无财帛进 门差一点气昏过去,大骂祝枝山是个大混置。祝枝山不慌不忙, 笑嘻嘻地说:“你听我念:，今年正好,晦气全无,财帛进门。-这是 多么好的好彩。主人一听,马上转怒为喜。古人的断句,体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发 挥类似的作用。二/ 产h，IIK门i典型例题i例11】 在下面4个4中间，添上适当的运算符号+、一、子和（），组成3个不同的算式,使得数都是2。4444=24444=244

5、44=2飞分析由题意，可以在4之间添加运算符号和括号，而题中 没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。解 如果在第1个4后面添十号，后3个4不能得到2；如果第1个4后面是一号，4 2=2,很容易想到：（井）中4 = 2。所以4一（4+4）+4 = 2。如果第1个4后面是x号，4X4=16,由于16+8 = 2。容易想到：4X4+ （4 + 4）=2。如果第1个4后面是号号，4+4 = 1,由于1 + 1=2,容易得到：44 +4+4 = 2。例【2】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但 结果是正确的。请你给小明的算式添上括号:4+2814 2x3 1=4） 分析 根

6、据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除, 再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义 的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运 算的两边。解从左往右看，在两侧试添括号，计算得32,再除以4得8。小明的算式就变为82*3 1=4。如果把括号加在8 2的 两侧，计算结果大于4,只能把括号加在3 1的两侧。很容易得到： 8 2*（3 - 1） =4。正确的算式应为：（4+28）+4 2* （3 - 1） =4例【3】 在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。123456789 =6"5分析由题意，有8个地方要添运算符号，用逐一试验的方法很难找到答案

7、。分析写成的结果，由于60 = 2X30 = 3X20=4X15= 5x12 = 6x10,因此可以把算式中的数分成两个部分，使两个部分的乘积等于60o在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的 数。解 把7口8口9分成一组，在它们之间添加号和减号，可得7+ 8 9 = 6。剩下的1口2口3口4口5口6为一组，添上运算符号，结果要得1。再看较大的数4口5口6,可得4 + 5 6 = 3。于是得到1+2 X3+4 + 5 6 = 10o 所以正确算式为（11+2x34-4x5 6）x （7 + s 9）=60o想一想：如果把6口7口8口9分成一组呢例【4】在下面算式适当的地方添上加号，使等式成

8、立。88888888 = 1000飞 分析 在6个8之间的适当的地方添上加号，运算符号是确 定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近 I。的数是888,再考虑余下的5个8怎样安排就行了。解 88888 + 888 = 1000,余下的5个8可以拿出2个8组成8S,得到888 + 88 + 888= 1000o因为1000 （8s + s88）=24,剩下的888只要再相加就行了，答案是：8 + 8+8 + SS +8ss = 1000。例【5】在下面式子的适当地方添上+、一、x,使等式成立。12345678=13分析这题等号左边的数字较多，而正槌的得数是最小 的自然数1。可

9、以考虑在等号左边最后一个数字8前面添“一”号， 这时等1234567 8 = 1；再考虑式应为1234567 = 9；可考虑在7前面添十号，等式应为1 23456+7 = 9；用刖面的方法，只耍让1 2 3 4 5 6 = 2,考虑1 2 3 4 56 = 2；这时让1 2 3 4 5 = 8就行了，考 虑 I 2 3 5+5 = 8 o 则只需 1 2 3 4 = 3 即可，1 +2x3 -4 = 3 o解 1+2x34+5 6+7 8= 1小结根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验 法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方

10、法, 找到答案，如例】、例2；如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验，如例3。凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出 一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排, 即增加或减少，使等式成立7 弗例依例夕,最短路线在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题:比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线：旅行者希望寻求最佳 旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习 的“最短路线问题工典型例题例 假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如 下图lo现在要在公路上修建一个公

11、共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方W如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公 路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最 近的点，但是乙村到C点就较远了。反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点 是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。 因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的 人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验: 两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这 条直线与公路AB交点P,就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）o用直线把

12、甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧, 所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。例一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示 各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。 问：走什么样的路线最合理全程要走多少千米£选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问 题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必 须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所 有街道而又不走重复的路是不可能的

13、。要使邮递员从邮局出发，仍回 到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重 复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有 不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路线。图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为:(a) 3x4=12 (千米)(b) 3x2 + 2x2=10 (千米)(c) 2X4=8 (千米)(d) 3x2 + 4x2=14 (千米)当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找 出最合理的路线了。邮递员应按图4 (c)所示的路线走，这条路重复的路程最 短，所

14、以最合理。全程为：(l + 2 + 4 + 2+l) X2 + 3X6 + 2X4 =2o + 184-8=46 （千米）例图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线 f北小明家/2s.八学校叁 为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各 处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上 “1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好 是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，

15、则有3条路线，又 正好是两个对角上标的数1+2的和。标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种 不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。学校图7不应该走“回头路2要按照一定的逻知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算小结式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生 想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的 算式成为正确的算式，你感兴趣吗例1】移动一根小棒，使下面的等式成立。分析：左边结果2，右边是1,所以通过火柴棒的移动，使左边变小，右边变大。我们试着把“ + ”变为“一”，多出的这根火柴棒使 “1”变成“7”，

16、等式成立。也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边，使等式成立。例2移动一根小棒，使下面的等式成立。足一旧=E分析：只能移动】根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加 减号，使左边变成得数，右边变成算式。我们试着把“二”变为“一”, 多出的这根火柴棒使“一”变成“二"，等式成立。例3你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗4+Nf=X分析：等式右边结果是8,可使左边变成9-1或7+L 9-1算式难以 出现9,可选择7+1,这样经移动算式变为：快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。谁的年龄最小呢当每个小朋友报出自己的年龄后,老板发现,其中有10岁的, 也彳i9岁、

17、8岁、7岁、6岁的,最小的是5岁。但是，岁的小朋友 有4位。按照这4位小朋友生R的先后,还能找到一个最小的,因此 老板要他们各自报出自己的生日。结果如下:小雨 2月8 H豆豆，月？R苗苗 8月16日W 12月96把这A位小客人的生日一比,很容易知道，慧慧是2s位小朋友 当中最小的。慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成728份,让大家和 她一,起品尝。也许有的同学会问:“如果这A个小朋友中有两个生R是同一天,那 怎么办呢:是不是谁生R的数字大就是谁大呢哪些是通过比数字的大小 得到最大最小数通过下面的一些例题与方法,我伍照会得到这方面 的知识。h g q 一f典型例题例用2, 4, 6, 8

18、这4个数字组成一个最大的四位数。分析用这&个数字组成A位数有很多个,但最大的只有一个。要使组成的四位数最大,应当遵循一条原则:用较大的数占较高的数 位。解 用2, 4, 6, 8组成的最大的四位数是8642。例 从十位数80中划去5个数字，斓下的5个数 字（先后顺序不改变）组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数 是多少分析 在'。个数字中划去、个数字，还剩5个数字组成五位数。要使这个五位数最小,应当用最小的数去占最高位（万位），第？小的占千位.但是，I。个数字中最小的?不能放在万位上（想一想，为修）.这样,万位上的数只能在剩下的第2小的数中选,应选6。万位确定 后,干位在剩下

19、的数中选最小的2。而题目中要求剩下的5个数字的先后顺序不改变,所以,百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字9, S,解 划去4个7和万位上的6。剩下的数组成的最小五位数是62980o例 钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出2枚，取出的5枚硬币仅有2种面值，并且甲取出 的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出 的钱数的总和最多是多少分分析 因为乙只取2枚硬币,而2枚硬币的钱数最多是2=。（分工 而甲取出的3枚硬币的和比乙取出的?枚硬币的和少3分。因此,最多只有1。-3=7 （分）。两者合起来就是取出的钱数的总和 的最大值。解 10+ 7=17

20、（分）例 一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不 知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁分析 开第1 把锁,从最坏的情况考虑,试了 3把钥匙还未成功, 则第4把不用再试了,他一定能打开这把锁。同样的道理,开第2把 锁最多试2次,开第3把锁最多试'次,最后剩下的一把钥匙一定能 打开剩下的第4把锁,不用再试。解 最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为3+2 + 1=6 （次）。例把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。 X这个最大得数是多少分析 要使得数最大,被减数（四位数）应当尽可能大,减数（口 X口）应当尽可能小。由例3的原则,可

21、知被减数为S765。下 而要做的是把I、2、3、Q分别填入口 的&个TO ”中,使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说, 它们的十位数都要尽可能小。因为12*34=408 fftj 14x23=322/ 13*24=312 （最小）解 8765-13x24=8453小朋友们,回到我们开头提的故事,那么我们发现,不是所有的 比较大小都只看数字,而是同时要考虑其他因素，慧慧生R数字大, 证明她出生晚,所以她最小,同样的理由,如果这A位小朋友在同一 天生H,那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。二威3小结用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位

22、；要使组成的数最小，应当 用较小的数占较高的数位。其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥 匙配对”的问题。有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。w第五讲算式迷小朋友们你猜过算式迷吗算式迷是由一些数字与算式构成 的。R本人形象地称之为“虫食算”,即算式中一些数字被虫子咬去 了。要想猜出算式迷,也得先分析这些数字和算式构成的“谜而, 再遍一些推理方法找到，谜底%典型例题例【】将数字0、1、3、4、5、6填入下面的 丙；使等式成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。分

23、析 先看口、口=口，乘积是个两位数，个位数是2,所给的数字。，1, 3, 4, 6中只有3x4的个位数是2,前面几个 可赠出来,3X4=12,余下的。，5, 6要组成一个两位数除以一个一位数，商是12的除法算式，只能 是 60-r5o解国父国=02 =芭什3例【2】 将数字19分别填在下面9个方格中，使算式成立。(1)(2)X(3)分析算式（I）、（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3） 是乘法算式，要考虑数字19中，哪两个数字的积等于另一个数字， 所以先从乘法算式填起。1. 乘法算式（3）中可以先填成2*3=6,余下的数字再分别填入（1）、（2）中。1+4 = 5,剩下的7, 8, 9

24、不能组成（2）式。1 + 7 = 8,乘下的 4, 5, 9 能组成 9 5=4,或 9-4=5。1+8 = 9,剩下的 1, 7, 8 能组成 87 = 1,或 8 1=7。2. 乘法算式（3）也可以填成2x4 = 8,那么：1+5=6,剩下的3, 7, 9不能组成（2）式。1+6 = 7,剩下的3, 5, 9不能组成（2）式。3 + 6 = 9,剩下的I, 5, 7不能组成（2）式。所以，此题答案是:例【3】 把数字I9填在方格里，使等式成立，每个数字只分析一位数组成除法算式商相等的情况：4+2 = 6+3, 6+2= 9+3, 8+2 =4+1,所以可先填写等式中的前4个数。如果先填4+

25、2 = 6+3,剩下q.5, 7,.皆组成一个三位数除以一个两位数，商是23即 X2 =,所得的积的个位一定是个双数，只 能填8。试验可知：79x2 = 158。如果先填8+2 =4+1,剩下的3,5, 6, 7, 9不能组成一个三位数除以一个两位数、商是4的除以算式，所以等式中的前4个数不能填8+2 = 4+1。我们可以填4+2 = 64 2 6 3 1 5 8 7 9（第二种情况）例【4】 用数字。9组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出3个数字，请把这个算式补充完整。eoee分析 观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的 首位数字为1。因为算式中8已出现，故第一个加数的

26、百位数字为9 或7o如果第】个加数的百位数字为9,则和的百位数为1或2,而这时I,2都已用过，所以第1个加数的百位数不是9。如果第1个加数的百位数字为7,则和的百位数字必须为0,且十位必向百位进一，此时1,。，4, 2, 8都己用过，还剩下9, 6, 5, 3,这里只有一个双数，如果放在第2个加数或者和的个位，那么和或者第2个加数的个位也必须是双数，这样显然不可能，所以6只能放在十位上，这样和的十位就是5,余下的分别填9和3。例【5】 在下面算式的内填入一个合适的数字，使算式成 立。o（）-5 091上9 3分析 由于（12）-9=3,所以被减数的个位数字为2；再看十 位，由于9一（0）=9,

27、所以减数的十位数字为0；再看百位，由于 9-0=（9）,所以差的百位数字为9；最后看千位，由于（7）-5- 1 = 1，所以被减数的千位数字为7。o oA-5 oAd ""1上9 3在做算式迷这类题时，首先要观察题目中的算式，看看它含有哪几种运算，要填的数是几位数，要填的数字 是否规定好了，还是可以任意填。其次是要熟练运用加减之间、乘除 之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数字，而且每一步要 把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填完 之后要检验一下，看看答案是否正确。第五讲有趣的算式算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式 子中，使一些

28、数字数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法 则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整，研究和解 决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维 能力。基本常识1. 首位数字不为0。2. 两个数字相加，最大进位为1,三个数字相加最大进位为2。3. 两个数字相乘，最大进位为8。4. 相同字母文字代表相同的数字，不同的字母文字代表不同的 数字。在下面算式的口里填上合适的数字，使算式成立:工寸J可以这样想:为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。第一步，由A4BX6的个位数为0可知，B=5o第二步，由A45X6 = 1DEO可知，A只能为2或3。但A为3时，345X6 = 2070,不

29、可能等于1DE0,不合题意，故A=2。第三步，由245XC=UE5可知，乘数十位上的C是小于5的奇数，即C只可能是1或3。当C取1时，245乂16<8口口口，不合题意，所以C不能取1,只能取3,故C=3。这样，就可以填上所有的空格。H 例 2： 4根据下式写出除法算式（）（）=（）. 9 口） 上拿；可以这样想:我可以先 式上，如下: 们 给竖编号码回叵9 ESQ面向画画回画一回囹囹叵回回呼 囱 Q9 9 （4）从（3）连续移下两位可得出商的十位一定是0,从商的个位9 和除 相乘，仍是三位 可得出除 的最高位一定是1。从（1）数 积数数减（2）差等于9,除数的十位一定是1, 11口乂9的

30、积是三位数 只有0和1两种可能，而如果是0,余数不会是一位数9,所以 除 位1。其它各位上数字迎刃而解。数个选拍脑袋提醒:“解谜”的准则：“先推后试。初学者往往急于求 成，拿到题就试解，结果欲速而不达。所以“先推” 是要认真分析题目，在口、*类竖式谜中往往提供几 个已知数字，这些数字就是推理的基础，另外算式中 某行的口或*的个数也是重要的推理依据。第五在线作业讲1.在内填上适当的数使算式成立。 8. +型3 2 8答案:4 8 5V+631 2 88 1答案:在方上适算式成立答案4.在方框内填上数字19,使等式成立，不能重复。小|_X+r -=成等式J每个数字只能用一答案:第一讲年龄问题知识要

31、点：小朋友，你知道吗今年你6岁,明年你 几岁妈妈今年30岁,比你大24岁，明年妈妈比你大 几岁呢这些年龄问题在解答时要记住:每过一年，每 人年龄都要长大一岁今年妈妈比你大几岁，再过些年, 妈妈还是比你大几岁.例1夏华今年7岁他比爸爸小28岁去年他比爸爸小多少岁 分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年，夏 华与爸爸同时减去一岁，夏华仍然比爸爸小28岁.例2弟弟今年4岁，哥哥今年12岁，10年后，哥哥比弟弟大几岁 分析：根据题意，今年哥哥12岁，弟弟4岁,那么我们知道哥哥比弟弟大124=8（岁）.10年后,哥哥的岁数是12 + 10=22岁. 10年后,弟弟的岁数是4+10=14

32、岁.因此10年后,哥哥比弟弟大22 14=8岁.例3小青说：“3年后，妈妈比我大25岁.”妈妈问：“5年前，你比妈妈小多少罗.分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁,10年后,哥哥还是比弟弟大8岁.由此我们可以这样想：既然3年后，妈妈比我大25岁，那 么，5年前，妈妈仍然比我大25岁，也就是我比妈妈小25岁.例4小林今年6岁，小红今年10岁，当小林的年龄和小红今年 的年龄一样大时，小红几岁分析：我们知道，小林今年6岁，要想使小林的年龄和小红今年的 年龄一样大，那么小林就要再过4年才能和小红一样大.小林过4 年，小红也要过4年,即长大4岁，那么小红就是10+4=14岁.例5小芳今年5岁，诈后，小

33、芳幼儿园的李老师比小芳大20岁, 李老师今年多少岁分析：我们知道，3年后，小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁，那么 3年前,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5 岁，李老师今年就是20+5=25岁.京第一讲一笔画问题案小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗CT a)如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。*典型例题分析 图（1） 一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可

34、以一笔 画出，且从任何一点出发都可以。通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条 数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由 一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。再看图（I）、（4）,其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可 以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画 成。这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个 数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。例【2】 下面各图能否一笔画成（1）（2）（3）分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个 点都是与两条线相连的偶点。关于图（2）,经过反复试验，也

35、可找到画法：由AT T f ADCo图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两 个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。解图（1）、（2）可以一笔画。这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关 系。如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只 有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出哪些不能一笔画出分析 图（I）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B开始到B结束或到A结束。图（2

36、）有10个奇点，大于2,不能一笔画成。图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。解图（1）的画法见下图。例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成 几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画 出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采 用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶 点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分 都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。解 将图（1）分成图（A）、（B）,贝I图（A）可由ABODAGD一笔画成，图（B）由B

37、C 一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的 个数。一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起 点和终点。三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题, 可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的 方法进行解答。和差倍问题讲义1 .四年级有4个班.不算甲班其余三个班的总人数是131人：不算丁班其余二个刊的总人数是134人：乙、丙两班的总人数比甲、丁 两班的总人数少1人向这四个班共有多少人解答：由不甲班共余三个班的总人数是131人：不算丁班共余三个班的总人数是

38、134人”得到131X31=265.这265人包括1个甲班和1个丁班.以及2个乙班和2个丙的总和,又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人.所以用265-1=261就刚 好是3个乙班和3个丙班之和.261-3=SS.就是说乙、丙两个班的和是SS人,那么.甲、丁两个班的和就是8S-1二S9人.所以.四个 班的和足5/£9=177人.2 .有四个数.其中每三个数的和分别是4546, 49. 52,那么这四个数中最小的个数是多少解答：把4个数全加起来就是每个数都加了 3遍.所以.这四个数的和等于（45767升524-3=6L用总数减去最大的三数之和.就是这四个数中的最小数.W 6

39、4-52=12.3 .在个两位数之间楠入一个数字,就变成个三位数.例如，在72中间插入数字6.就变成了 762.有些两位数中间插入数字后 所得到的三位数用原来两位数的9倍,求出所才这样的两位数.解答，两位数中间插入数字后所得到的三位数足原来两位数的9倍,即这个数的个位乘以9以后的个位还等于蜃来的个位.那么个 位只能是0或5.如果是“显然不行因为20X9=180. 30X9=270所以个位只能是5试验得到，15. 25. 35. 15是满足要求的数.4 .某班买来单价为元的练习本若干.如果将这些练习本只给女生.平均每人可得15本：如果将这些练习本只给男生,平均每 人可得10本.那么.将这些练习本

40、平均分给全班同学.每人应付多少钱解答：这网要求的是“平均分给全班网学.每人应村变少饯”我的可以用设数法来求解.假设班上有2个女生.那么债是一共有3 0个统习本.这30本“只给男生,平均仔人可得10本”.说明男生有3个.那么,分给全部按同学,每人得30J (2”)=6本,因比每 人陶谈付6本练习本的饯即每人要付3元钱.5 .动物园的饲养员给.群猴子分花生,如只分给第一群.则每只猴子可用12粒：如只分给第二群,则每只领子可得15粒：如只分 给第：群.则每只猴子可得20粒那么平均分给三群峡子.每只可得多少施解答，由题意可知花生总数必定是12、15. 20的倍数同上题一样.我们也可以用设数法.假设共有

41、花生12*15*20粒,那么第 群獴子有15*20只.第二群猴于仃12*20只.第三群獗子有12M5只,即共有(15*20H2*20+12*15只接子.12»15*20/ (1S*2O*12* 20*12*15) =3,所以平均分饴三群獗子.每个猴子可得5机注，如果懂得最小公倍数.那么应该设花生总数为60粒，这样.计绛就方便很多.6 . 个整数.M去它被5除后余数的4倍是151,那么隙来整数是多少解符被除数除以除数.余数肯定小于除数.所以.余数只可能足0、1、2. 3、4,那么.原来的整数只能足，134X0, 151*4X1. 151*4X2, 151-4X3. 154+4X4 中的

42、个.经试验.结果是 162. 154*4X2=162.7 .若干名家长(爸爸或妈妈.他们都不是老师)和老师陪同些小学生参加某次数学竞赛.已知冢长和老师共有22人.家长比老 师多.妈妈比爸爸多,女老加比妈妈多2人.至少有1名男老财.那么在这22人中,爸爸有多少人解答，家长比老肺多,所以老师少于22/2=11人即不超过10人:相应的家长就不少于12人.在至少12个家长中.妈妈比爸爸 多,所以妈妈要多于12/2=6人.即不少于；人.因为女老师比妈妈多2人,所以女老师不少于9人.但老肺坡多就10个.并H还至少 (11个男老师.所以老师必定是9个女老师和1个男老师.共10个.那么.在12个家长中.就“7

43、个足妈妈.所以.笛爸仃12-；二5人.3 . 一次数学考试共由*20道咫.规定：答对一题得2分.答错避川1分,未答的也!不计分.考试结束后.小明共得23分.他想知 道自己做错了几道咫.但只记得未答的避的数目是个隅数请你再助小明计算一下,他答错了多少道避解答：20个网如果全部做对的话.总分是20*2=40分.缮淮道应的话就要在40分中扣除2分,而做错一道的话就要扣除卜2=3分(因为在40分中我们假设它是做对的.给了 2分.实际是不但不能给.反而要扪1分).小明得了 23分.比总分少10-23二17分.囚 为没仃做的遨是隅数.段小的隅数是0.如果是。道咫没答的话承么17分豉都是做错被扪的.但1门3

44、二53所以不可能.同理2通 越没做也不可能.结果只能是4道题没做.17-2*4=9分=3*3.所以答错3避.9 .某种两品的价格是，每一个1分钱,每五个4分钱.每九个7分饯,小赵的钱至多能买50个,小李的钱至多能买500个.小李 的饯比小赵的钱多多少分钱解答：田“每个1分钱.每五个4分钱,每九个7分钱”我们可以知道.九个7分钱是蚊便宜的.是量多的买法那么,50 + 9=5 5.小赵应该有5X7+1=39分钱：500-9=55-5,小李应该仃55X7+1=359分钱”那么.小学的我要比小赵多3s9-39=350分.10 .某幼儿园的小班人数也少.中班有27人,大班比小班多6人.作书分桔子25箱.

45、每箱不超过60个,不少于50个.桔f总数 的个位数字是九若每人分19个则桔子数不修.现在大班每人比中班每人多分一个中班每人比小班每人多分一个.刚好分完问这 时大班每人分多少桔子小班有多少人.解答：首先总人数不超过27*36=S7人：其次.桔子的个数在25X5WK50和25X60=1500之间：现在大班每人比中班每人多分 一个.中班每人比小班仔人多分一个,刚好分完.我们可以先从总数中先出6个.让大班中的6个人先少交一个.冬和中班一样多.这 样就变成平均都和中班的事一样多.(1250-6) /87>14.所以,每人至少分15个,但至多分18个，再则.桔子总数的个位数字是九 所 以只能是每人1

46、7个或15个：但15个显然不可能.因为任何数乘以15靖个位只能是5就是0.所以每人椅该是17个桔广即大班每人 177ns个.(1250-6) /17=733.总人数院多于73人.74*17=1258.个位不是1 .要使个位为1需加个位为3的1；的倍数.17*9=153.所以.桔子总数为(1258+1531-6=1417个息人数7，H9=83人.小班有(83-27-6) /2=25 人.11 . 个正方体木块放在案子上.仔一面都仃个数.位于对面两个数的和部等于13小张能若到顶面和两个侧面.看到的：个数 和为is：小李能看到顶而和另外两个侧面.石到的三个致的和为2%那么贴着奥r的这面的数是多少解答

47、；把小张和小李不到的数相加.就是定第的四个恻面和两次顶而之和，因为位于对而两个数的和都等于13那么四个例面的数 字和应为13*2=26,由此可知顶面数字为(18+24-26) /2=8,那么贴着家子的这一面的数就是13-8=5.12 .图2-1是一张道路图.A处方一大群孩子.这群孩子向东或向北走,在从A开始的每个路口,都有一半人向北走,另一半人向东 走.如果先后有60个核子到过路口5.何：先后共有多少个假到过路匚C解答:北1/165/321/8175/32通过C点有192/4=41/81/4161/43/161/21/81/21/41/8N东白色正六边形皮子多少块1J161AA1/83/1/8

48、163/3/16163/16总人数=60/ (10/3 二192 人,4 1/43, 1/413.比奏用的足球是由黑、白两色皮子缝制的,其中黑色皮子为正五边畛白色皮皮为正六边形,并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等.缝制的方法是，每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起：每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边绕在一起,另3条边则弓其它白色皮子的边在一起,如果一个足球衣面上共有12块黑色正五边形皮子那么,这个足琼陶彳r黑答112块黑色正五边形皮f共仃12X5=60条,这60条边每条都是臼皮f维介在起的.而对于门皮f来说,每块6条边.其中仃3条边是与黑色皮子的边缝在一起,还中

49、3条边嫩是与其它白色皮子的边筵在一起因此,白皮子的边的总数就是忠皮子的边的总数的2倍,即共力60X2=120 那么.共营120/6=20块白皮子.II. 5个空瓶可以换1粒汽水,某班同学喝了 161瓶汽水,具中有些是用喝剩下来的空瓶换的那么他们至少要买汽水多少瓶解答，这里给出一种思路，我们可以先买161瓶汽水,喝完以后用这161个空瓶去换汽水,能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需要购买的数加、.161个空瓶可以换回161/5=32-1,即32瓶,那么实际上只需要买161-32=129被汽水.检脸，先买129瓶.喝完后用火中的125个空瓶（还留仃1个空战）可以换25样汽水.喝完后用25个空照又可以

50、涣5瓶汽水,再喝完后用5个空瓶还可以换1粮汽水.被后用这个蹙瓶和开始身下的4个空瓶去再换一瓶汽水.这样总共喝了: 129+2577-1=161瓶汽水.15.现有.堆平果.其中第一堆革果个数比第二堆多,第二堆蕈果个数比第三堆多.如果从每堆单果中各取出,个.那么在剩下的苹果中.第一堆个数是第二堆的三倍.如果从每堆一果中各取出同样多个使得第一堆还剩34个.则第二堆所剩下的苹果数是第.堆的2倍.堆苹果数之和的坡大值是多少解答:第一堆第二堆第三堆先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二堆的3倍如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个， 则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”，第三堆最少 剩一个，那

51、么第三堆的每一份就是(34-2) /2=16个，即 三堆分别有：16*3+1=49、16+1 = 17和16个，总数 49+17+16=82个；如果第三堆剩2个,那么第一堆的每一份为(34-4) /2=15,各堆分别为15*3+1=4615+1=16和14个，总数减少。显然，第三堆留下的越多,第一堆的每一份就越少，总数越少。所以，原来三堆苹 果数之和的最大值是82个。还原与年龄讲义巢数加16.娓以6除以6其结果等于6,则这个数是多少两个两位数相加.其中一个加数是73(6X6+6) -r6-6=1.这个数是 1个加数不知道,只知道另一个加数的十位数字增加5,个位数不增加1.那么求得的 和的后两位

52、数字是72.向另个加数原来足多少解答和的后两位数字足72.说明另个加数是99卜位数字增加5个位数字增加1 .那么原来的加数是99-51=48.仃陆26块.兄弟.：人争着去挑.弟弟抢在前面.刚摆好砖.哥哥赶到了.H：!寸弟弟挑的太多,就抢过一华.弟弟不行 哥哥那儿抢走一半.哥哥不服.笫弟只好给哥哥5块.这时那哥比笫弟多挑2块.那最初走笫准备挑多少块先看最后兄弟俩各挑几块，野野比弟笫多挑2块,这是个和差问题.哥哥挑的块数=(26-21+2=14块.笫弟=26-14=12块:然后再还原，身对还给笫第5块，哥哥=14-5=9块,第笫=12+5=17块:第笫把抢走的一半还给哥哥，哥哥=9-9=18块.弟

53、弟=1；-9=3 块：哥哥把抢走的一半还给弟弟，笫弟原来是8+8=16块.4 .甲、乙、丙二.人钱数各不相同.甲破多他享出些钱给乙和丙.使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果乙的钱被多：接着 乙拿出一些钱给甲和丙.使甲和丙的钱数都比快来增加了两倍,结果丙的钱被多：最后丙余出一些钱给甲和乙.使甲和乙的钱数都比原 来增加了两倍,结果三人钱数一样多了.如果他们三人共有81元.那么三人原来的钱分别是多少元解答；三人蚣后样多,那么每人都足51+3=2；元：还圾甲和乙把钱还给丙，每人增加2倍.就是原来的3倍.那么甲和乙都是27/3=9元,丙是27-2*2*9=63元甲和内把钱还冷乙，甲=9, 3=3元.丙

54、*3 3=21元.乙二9-2*3*2*21=57元：乙和丙把钱还给甲，乙=57/3=19元,丙=21/3=7元.甲=3,2拿19*2*7=55元.所以.三人原来的钱分别足55、19和7元.5 .甲、乙、丙:.人各有粮豆若干粒.甲从乙处取来些糖豆.使自己的糖豆增加了一倍：乙按者从丙处取来一些糖豆使自己的箱 豆也增加了一倍：丙再从甲处取来一些糖豆.也使自己的糖豆增加了一倍.现在三人的糖豆一样多.如果开始时甲有51粒糖豆那么乙 被开始有多少粒糖豆解答；假设被后三个人一样多时都是4份精豆.还相丙再从甲处取来一些糖豆.也使自己的糖豆增加了一倍，丙=4/2=2份,甲=4+2=6份：乙接着从丙处取求一些粮豆，使自己的粮豆也增加了一倍：乙=4/2=2份丙=>2=1份，甲从乙处取来一些糖豆.使自己的糖豆增加了 倍，甲=6/2=3份.乙=2-3=5份：即甲、乙、丙原来各有3. 5、4份.所以.如果开始时甲有51副S豆,那么乙最开始有 /3)*5=85险6 .什一筐苹果.把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份将它们三哥分后珏弼两个，然后再取出其中两份.又将这两份三号 分后还创2个何：这筐苹果至少有几个解答:因为要求至少多少个,所以我们可以先少