乔治.波利亚的数学教育思想

1、波利亚（波利亚（1887-1985）美籍匈牙利数学家，美籍匈牙利数学家，1912年于布达佩斯年于布达佩斯大学获哲学博士大学获哲学博士, 1940年移居美国，年移居美国，1942年起一直为年起一直为美国斯坦福大学教授，美国斯坦福大学教授，他热心教育，不倦地他热心教育，不倦地为改进数学教学而努力为改进数学教学而努力后期从事数学教师培训工作。后期从事数学教师培训工作。他一生著有数学教育论文和专著他一生著有数学教育论文和专著300余部，其中最著名的是余部，其中最著名的是。也是他在数学教育方面的智慧结晶，其影响之深远，为也是他在数学教育方面的智慧结晶，其影响之深远，为20世纪所罕世纪所罕见，因此被誉为上

2、世纪最伟大的数学教育思想家。见，因此被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家。 文摘：文摘：教师教师最不该做的是给学生一个绝妙的解最不该做的是给学生一个绝妙的解法法 形象地说形象地说“从帽子里变出一只兔子来从帽子里变出一只兔子来”， 而不知为什么，让学生感到自己无能，不是学数学的材料，而不知为什么，让学生感到自己无能，不是学数学的材料，打击其信心。打击其信心。 解题出现错误也要由自己去发现，而教师不要直接指出解题出现错误也要由自己去发现，而教师不要直接指出。 如果如果教师没有某种创造性工作的经历，那么他怎么能够去教师没有某种创造性工作的经历，那么他怎么能够去激励、引导、帮助或甚至去察觉他的学生的创造

3、性活动呢？激励、引导、帮助或甚至去察觉他的学生的创造性活动呢？ 一个教师如果他所懂得的数学都是纯接受性的东西，一个教师如果他所懂得的数学都是纯接受性的东西， 他就不可能促使学生去主动学习。他就不可能促使学生去主动学习。 一个教师如果在他的一生中从未有过什么巧思敏想，一个教师如果在他的一生中从未有过什么巧思敏想， 那么当他碰到一个有这种敏思的学生，可能就不会去鼓励那么当他碰到一个有这种敏思的学生，可能就不会去鼓励他，反而回去申斥他。他，反而回去申斥他。一一 数学是什么科学？数学是什么科学？“用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造

4、过程中的数学看来却像统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学是一门实验性的归纳科学”。因此，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科因此，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学学( (从最后被确定的定型的数学来看从最后被确定的定型的数学来看) )，又是一门，又是一门实验性的归纳科学实验性的归纳科学( (从创造过程中的数学来看从创造过程中的数学来看) ) 数学的两重性：归纳与演绎数学的两重性：归纳与演绎 数学学习的双翼数学学习的双翼: :直觉与逻辑直觉与逻辑 数学教学数学教学的原则的原则: :先猜后证先猜后证二二 关于数学教学关于数学教学首先他认为数学教学的目标是首先他认

5、为数学教学的目标是 “教会年轻人思考教会年轻人思考” 其次其次 : 教不是一门科学，而是一种艺术。教不是一门科学，而是一种艺术。1.教学与表演，显然有不少共同之处。教学与表演，显然有不少共同之处。有时候你的学生也许从你的举止中比你所讲的主题中有时候你的学生也许从你的举止中比你所讲的主题中学到的更多。学到的更多。 因此你应该略作表演。因此你应该略作表演。2.教学与音乐也有共同之处。教学与音乐也有共同之处。 你当然知道，教师讲解一个问题，不能光讲一遍或你当然知道，教师讲解一个问题，不能光讲一遍或两遍，而往往要将三遍、四遍甚至更多。两遍，而往往要将三遍、四遍甚至更多。 然而，把一句话不停地毫无变化地

6、重复多遍，然而，把一句话不停地毫无变化地重复多遍， 那会令人十分厌烦而且要起反作用。那会令人十分厌烦而且要起反作用。 这时，你可向音乐学习这时，你可向音乐学习“变奏曲调变奏曲调”- 开始时用最简单的形式讲你的东西，开始时用最简单的形式讲你的东西， 然后略加变化地重复它，然后略加变化地重复它， 在后又增加一点新的色彩再次重复它，等等，在后又增加一点新的色彩再次重复它，等等， 在结束时又可回到原来的简单的形式上。在结束时又可回到原来的简单的形式上。 “回旋曲回旋曲”-在两次重复之间插入若干适当对照的叙述在两次重复之间插入若干适当对照的叙述材料。材料。 3.教学有时可能接近诗歌教学有时可能接近诗歌

7、如果你在课堂上情绪高涨，诗性欲发，也不必约束自己。如果你在课堂上情绪高涨，诗性欲发，也不必约束自己。 “为了表达真理，我们不能蔑视任何手段为了表达真理，我们不能蔑视任何手段” 追求教学艺术也是如此。追求教学艺术也是如此。 1、主动学习主动学习： 学习任何东西的最好途径是自己去发现学习任何东西的最好途径是自己去发现 那些曾使你不得不亲自去发现的东西，那些曾使你不得不亲自去发现的东西， 会在你脑海里留下一条途径，会在你脑海里留下一条途径， 一旦有所需要你就可以重新运用它一旦有所需要你就可以重新运用它。 教师在课堂上讲什么当然重要，教师在课堂上讲什么当然重要， 然而学生想什么却更是千百倍地重要。然而

8、学生想什么却更是千百倍地重要。 思想应在学生头脑里产生，思想应在学生头脑里产生， 教师则只起助产士的作用教师则只起助产士的作用。 2、最佳动机最佳动机： 对所学材料的兴趣乃是学习最佳的刺激，对所学材料的兴趣乃是学习最佳的刺激， 强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动最好的报偿。强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动最好的报偿。 在我们得不到最佳动机的时候，就争取得到第二位、第三在我们得不到最佳动机的时候，就争取得到第二位、第三位的动机，位的动机， 那些不那么内在的动机也不应当忽略。那些不那么内在的动机也不应当忽略。 教师应当把自己看成是一个推销员，教师应当把自己看成是一个推销员， 如果顾客不买

9、他的货如果顾客不买他的货 ，那么他不应当是去责难顾客，那么他不应当是去责难顾客， 请记住，从原则上讲，顾客总是对的，有时候从实际上讲，请记住，从原则上讲，顾客总是对的，有时候从实际上讲，他们也是对的。他们也是对的。 作为一个教师，一个知识的推销员，作为一个教师，一个知识的推销员， 他的责任就是使学生确信数学是有趣的，他的责任就是使学生确信数学是有趣的， 一个小小的办法：一个小小的办法： 在学生开始做题之前，先让他猜猜结果或部分的结果在学生开始做题之前，先让他猜猜结果或部分的结果。 3 、阶段序近阶段序近： 哲学家康德的一句话哲学家康德的一句话： 人的认识从感觉开始，人的认识从感觉开始， 再上升

10、到概念，再上升到概念， 最后形成思想。最后形成思想。 波老的理解：波老的理解： 学习从行动和感受开始学习从行动和感受开始， 再从这里上升到语言和概念，再从这里上升到语言和概念， 最后以养成合理的思维习惯而结束。最后以养成合理的思维习惯而结束。 第一个阶段是第一个阶段是探索探索， 它联系着行动和感知，处在一种比较直观和启发的水平上它联系着行动和感知，处在一种比较直观和启发的水平上发展的；发展的； 第二个阶段是第二个阶段是阐明阐明（概括（概括形式化、组织化）形式化、组织化） ， 包括引进术语、定义、证明等，提高到概念的水平上；包括引进术语、定义、证明等，提高到概念的水平上； 第三个阶段是第三个阶段

11、是吸收吸收（同化），（同化）， 即把学习所得转化为学生的才能和品性，变成精神素质的即把学习所得转化为学生的才能和品性，变成精神素质的一部分，扩大智力的范围。一部分，扩大智力的范围。 这一阶段铺平了通向应用的道路，另一方面有打开了向更这一阶段铺平了通向应用的道路，另一方面有打开了向更高级推广的道路。高级推广的道路。 要把探索阶段置于数学语言表要把探索阶段置于数学语言表达达(如概念形成如概念形成)之前之前, 新知识新知识的出现不能从天而降的出现不能从天而降,应密切应密切联系学生的现有知识、日常经联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等验、好奇心等,给学生给学生“探索探索阶段阶段”; 学了新知识之后学

12、了新知识之后,还要把新知还要把新知识用于解决新问题或更简单地识用于解决新问题或更简单地解决老问题解决老问题,建立新旧知识的建立新旧知识的联系联系, 通过新学知识的吸收通过新学知识的吸收,对原有对原有知识的结构看得更清晰知识的结构看得更清晰,进一进一步开阔眼界步开阔眼界. 与弗老的三原则比较与弗老的三原则比较- 1.对自己的科目要有兴趣对自己的科目要有兴趣如果教师厌烦数学如果教师厌烦数学,那学生那学生也肯定会厌烦数学也肯定会厌烦数学.因此因此,如果你对数学不感兴趣如果你对数学不感兴趣,你就不要你就不要去教它去教它,因为你的课不可能受学生欢迎因为你的课不可能受学生欢迎. 2.熟悉自己的科目熟悉自己

13、的科目数学科学数学科学.如果教师对所教的数学如果教师对所教的数学内容一知半解内容一知半解,那么那么即使有兴趣那么那么即使有兴趣,有教学方法及其他手有教学方法及其他手段段,也难以把课教好也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生你不可能一清二楚地把数学教给学生. 3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程熟知学习过程,懂得学习原则懂得学习原则,明确认识到明确认识到 学习任何东学习任何东西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥妙；西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥妙； 4.努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，把努力

14、观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，把自己置身于他们之中自己置身于他们之中教学要想在学生的学习过程中收教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上以及兴趣爱好等基础之上. 波老说波老说,以上四条是搞好数学教学的充要条件（精髓）以上四条是搞好数学教学的充要条件（精髓）. 5.不仅要教给学生知识，还要教给他们才智、思不仅要教给学生知识，还要教给他们才智、思维的方式和有条不紊的工作习惯维的方式和有条不紊的工作习惯； 6.要让学生学习猜想；要让学生学习猜想； 7.要让学生学习证明；要让学生学习

15、证明； 8.要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征，征，揭示出存在于当前具体情况下的一般模式揭示出存在于当前具体情况下的一般模式 . 9.不要立即吐露你的全部秘密不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说让学生在你说出来出来 之前先去猜，尽量让学生自己去找出来；之前先去猜，尽量让学生自己去找出来； “使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽尽”(伏尔泰伏尔泰). 10.要建议，不要强迫别人去接受要建议，不要强迫别人去接受。 什么什么是问题？是问题？ 吃饭是问题吗？吃饭是问题吗？ 一个念头出现，倘若我想不出达到念头所指目标的

16、行动来，一个念头出现，倘若我想不出达到念头所指目标的行动来，那就产生了问题，那就产生了问题， 问题的一个基本要素就是问题的一个基本要素就是 解它的愿望、干劲和决心。解它的愿望、干劲和决心。 只有当你愿意去解它，下决心要去做它，只有当你愿意去解它，下决心要去做它， 它才真正变成了你的问题，你也才真正有了一个问题它才真正变成了你的问题，你也才真正有了一个问题(类类比学生比学生)。 “解题是智慧的特殊成就解题是智慧的特殊成就，而智慧乃是人类的天赋，而智慧乃是人类的天赋， 正是绕过障碍在眼前无捷径的情况下迂回的能力使机灵的正是绕过障碍在眼前无捷径的情况下迂回的能力使机灵的动物高出愚钝的动物，动物高出愚

17、钝的动物， 使人高出最机灵的动物，并使聪明的人高出愚笨的人使人高出最机灵的动物，并使聪明的人高出愚笨的人”。 “解题是人类的本性，我们可以把人类定义为解解题是人类的本性，我们可以把人类定义为解题的动物题的动物 人人们的生活充满了不可立即实现的目标，们的生活充满了不可立即实现的目标， 我们大部分的有意识思维是与解题相关的，我们大部分的有意识思维是与解题相关的， 当我们并末沉溺于娱乐或白日做梦时，当我们并末沉溺于娱乐或白日做梦时， 我们的思想有着明确的目标我们的思想有着明确的目标：我们寻求达到这个我们寻求达到这个目标的道路或手段，或者去想出能借以达到目标目标的道路或手段，或者去想出能借以达到目标的

18、步骤。的步骤。” “对于人类，没有其他事物比人的能动性更有意对于人类，没有其他事物比人的能动性更有意思了，而人的能动性的最大特征就是解决问题，思了，而人的能动性的最大特征就是解决问题， 有目的地去思考和为达到预期目标而想法设法。有目的地去思考和为达到预期目标而想法设法。我们在这里的目的就是去了解这个能动性我们在这里的目的就是去了解这个能动性这这应该引起我们极大的兴趣。应该引起我们极大的兴趣。” 一个小问题：一个小问题： 一个农民有若干鸡和一个农民有若干鸡和兔子，它们有兔子，它们有50个头个头和和140只脚，问鸡兔只脚，问鸡兔各有多少各有多少?解解（1）试探的方法）试探的方法鸡鸡30只，兔只，兔

19、20只。只。鸡兔脚50010005020025251503020140 （2）一个巧妙的想法）一个巧妙的想法 农民惊异地看着鸡兔们的表演：农民惊异地看着鸡兔们的表演： 每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后腿站起来。后腿站起来。 在这种惊人的情况下，总脚数出现了在这种惊人的情况下，总脚数出现了70只，只， 在在70这个数里，鸡的头数只数了一次，兔这个数里，鸡的头数只数了一次，兔子的头数却数了两次，子的头数却数了两次， 从从70里减去总的头数里减去总的头数50剩下来的就是兔子剩下来的就是兔子的头数的头数70-50=20只，当然兔子就是只，当然兔子就是30只。只

20、。 （3）代数的方法）代数的方法 如果我们懂一点代数知识的话，就可以不凭偶然如果我们懂一点代数知识的话，就可以不凭偶然的试算或运气，而用方程组来解决。代数是一种的试算或运气，而用方程组来解决。代数是一种语言，它不是由字组成，而是由符号组成语言，它不是由字组成，而是由符号组成 问题的陈述问题的陈述 生活的语言生活的语言 代数的语言代数的语言 农民有若干只鸡农民有若干只鸡 x 和若干只兔子和若干只兔子 y 它们有它们有50个头个头 x+y=50 和和140只脚只脚 2x+4y=140 解方程组即可。解方程组即可。 （4）推广 以h代替50，以f代替140， 我们还是把它译成代数语言 农民有若干只鸡

21、农民有若干只鸡 x 和若干只兔子和若干只兔子 y 它们有它们有h个头个头 x+y=h 和和f只脚只脚 2x+4y=f 解方程组得解方程组得y=f/2-h，即兔子的数目等于，即兔子的数目等于脚数的一半减去头数，脚数的一半减去头数， 正好是（正好是（2）的解法。）的解法。 （5）比较）比较 （数学教师的三项基本功：（数学教师的三项基本功： 善于举例，善于提问，善于比较和优化善于举例，善于提问，善于比较和优化） 四种方法都有某些优点。四种方法都有某些优点。 教师应当肯定运用教师应当肯定运用“试算与改进误差试算与改进误差”或或“逐次逐次逼近法逼近法”这种基本的方法的学生这种基本的方法的学生 （奇妙的解

22、法是（奇妙的解法是14岁的小朋友自己想出来的）岁的小朋友自己想出来的） 这种捷思巧想要有相当的造化才行啊。这种捷思巧想要有相当的造化才行啊。 当然，他也应当指出对于鸡兔同笼这类问题，直当然，他也应当指出对于鸡兔同笼这类问题，直接用代数方法要比逐次逼近法有效得多。接用代数方法要比逐次逼近法有效得多。 为了回答为了回答“一个好的解法是如何想出来的一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，波利亚专门研究了这个令人困惑的问题，波利亚专门研究了解题的思维过程，并把所得写成怎样解解题的思维过程，并把所得写成怎样解题一书，其核心是一张表。题一书，其核心是一张表。 “怎样解题怎样解题”表的四个步骤：表的

23、四个步骤： 弄清问题弄清问题 拟定计划拟定计划 实现计划实现计划回顾回顾1弄弄清清问问题题未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满满足条件是否可能？足条件是否可能？要确定未知数要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。引入适当的符号。画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？2拟拟定定计计划划你以前见过它吗？你知道与此有关的问题吗？你是否你以前见过它吗？你知道与此有关的问题吗？你是否

24、知道可能用得上的定理？知道可能用得上的定理？看着未知数！试想一个具有相同或相似未知数的熟悉看着未知数！试想一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？决的问题。你能不能利用它？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ 你你可以改述这个问题吗？可以改述这个问题吗？回到定义去！回到定义去！如果你不能解决所提的问题，可先解决一个与此有关如果你不能解决所提的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？的问题。你能不能想出一个更容

25、易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分问题？你能否解决这个问题的一部分?你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念的所有必要的概念3 实现实现你的你的计划计划实现你的求解计划，检验每一步骤。实现你的求解计划，检验每一步骤。即写出解题过程即写出解题过程。4 回回顾顾你能否检验这个论证？你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能一下子看出它来？你能不能把这结果或

26、方法用于其他的问题？你能不能把这结果或方法用于其他的问题？ 你认为关键的是哪一步你认为关键的是哪一步 拟定计划拟定计划 易被忽视的是哪一步？易被忽视的是哪一步？ 回顾回顾=反思反思 =提高提高 表的精髓是表的精髓是 启发你去联想启发你去联想 联想的目的是用来促发念头，联想的目的是用来促发念头， 有某种念头来开始着手工作，这是很大的优点有某种念头来开始着手工作，这是很大的优点， 真正糟糕的是真正糟糕的是我们根本就没有念头，因为想不起什么念我们根本就没有念头，因为想不起什么念头，我们只有对问题感到疲倦的危险头，我们只有对问题感到疲倦的危险。 他他突出地强调了数学启发法的普遍性和常识性突出地强调了数

27、学启发法的普遍性和常识性。 有两个容积分别是有两个容积分别是4升和升和9升的容器，怎样升的容器，怎样从一条河中恰好取出从一条河中恰好取出6升水？升水？v694 思路 （倒着干） 例例1 1、弄清问题：用、弄清问题：用9升、升、4升两个容器从河中取升两个容器从河中取6升水。升水。 2、拟定计划：用、拟定计划：用9升的容器取水，然后倒入小桶中。升的容器取水，然后倒入小桶中。9-4-4=1，9-3=6 3、实施计划：、实施计划：- 4、回顾：还可先用、回顾：还可先用4升的容器取水，然后倒入大桶升的容器取水，然后倒入大桶中。中。4+4+1=9，4-1=3,3+4+2=9,4-2=2, 2+4=6。 例

28、例2 2 七桥问题七桥问题哥尼斯堡哥尼斯堡的一的一条河有两条支流，在城中条河有两条支流，在城中心汇合，河中有一小岛，现有七座桥将它心汇合，河中有一小岛，现有七座桥将它与陆地连接（图与陆地连接（图1-21-2）。居民经常沿河过桥居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：散步，于是提出了一个问题：能否一次不能否一次不重地走遍七座桥？重地走遍七座桥？ 1.弄清问题：弄清问题：能否一次不重地走遍七座桥？能否一次不重地走遍七座桥？ 2.拟定计划拟定计划 （1）走走试试）走走试试不是一个好方法（活动）不是一个好方法（活动）（2）抽象简化为能否不重复的一笔画出下图，（抽象概括）抽象简化为能否不重复的一笔画出下图，（抽象概括）一般化：图能一笔画出的条件是什么？一般化：图能一笔画出的条件是什么？ 奇点数奇点数2.（概括形式化）（概括形式化）3.实施计划：实施计划： 实际检验实际检验:奇点数奇点数=4. 下结论：图不能一笔画出。下结论：图不能一