第四章流体动力学基础(第八讲)土木

1、第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础4.24.2恒定元流的能量方程恒定元流的能量方程一、理想液体恒定元流的能量方程一、理想液体恒定元流的能量方程二、理想元流伯努利方程的物理意义与几何意义二、理想元流伯努利方程的物理意义与几何意义三、理想元流伯努利方程的实际应用三、理想元流伯努利方程的实际应用四、四、 实际元流的伯诺里方程实际元流的伯诺里方程第八讲第八讲4.3 4.3 实际液体恒定总流能量方程实际液体恒定总流能量方程一、能量方程的推导一、能量方程的推导二、能量方程的应用条件二、能量方程的应用条件三、能量方程的扩展三、能量方程的扩展四、能量方程的图示四、能量方程的图示-水头线水头线五、能量方

2、程的注意事项五、能量方程的注意事项六、能量方程的应用六、能量方程的应用4.14.1流体运动微分方程流体运动微分方程设想在一无粘性流场中取一空间微分平行六面体，六面体的边长分别为设想在一无粘性流场中取一空间微分平行六面体，六面体的边长分别为dx，dy，dz，其形心（，其形心（x,y,z），流速在各坐标轴的投影为），流速在各坐标轴的投影为 密密度为度为。YZXbdydzdxcap（1）受力分析（X方向)只有两个表面力和一个质量力zyxuuu,4.1 液体运动的连续性微分方程式液体运动的连续性微分方程式dydzdxxpp）（22dxxppYZXbdydzdxcap表面力：2dxxppdydzdxxp

3、p）（2质量力：dxdydzx（2）由牛顿第二定律2dxxppYZXbdydzdxcap2dxxppdtdudxdydzdxdydzXdydzdxxppdydzdxxppx)()2()2(化简：dtduxpx1X同理：dtduypy1Ydtduzpz1Z将上式加速度用欧拉法表示（P68，公式4-2），用矢量形式表示如下：uutudtudpf)(1无粘性流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程无粘性流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程牛顿第二定律的流体力学表达式，控制无粘性流体运动的基本方程牛顿第二定律的流体力学表达式，控制无粘性流体运动的基本方程4.2 4.2 恒定元流的能量方程恒定元流的

4、能量方程 一、理想液体恒定元流能量方程一、理想液体恒定元流能量方程 连续性方程是运动学方程，它给出了沿一元流长度上，断面流速的变连续性方程是运动学方程，它给出了沿一元流长度上，断面流速的变化规律。只给出了流速的相对比例，却不能给出流速的绝对数。确定流速化规律。只给出了流速的相对比例，却不能给出流速的绝对数。确定流速的绝对数值，必须从动力学角度，考虑外力作用下的流体运动规律。的绝对数值，必须从动力学角度，考虑外力作用下的流体运动规律。根据根据能量守恒定律（功能原理），能量守恒定律（功能原理），取不可压缩无粘性流体恒定流动这取不可压缩无粘性流体恒定流动这样的力学模型，推证元流能量方程。样的力学模型

5、，推证元流能量方程。能量守恒定律（功能原理）能量守恒定律（功能原理）：合外力对流体做功等于流体动能增量。：合外力对流体做功等于流体动能增量。2022121mvmvEW 122 21 112()()KKKKEEEE2 21 1KKEE动能的增量动能的增量121 2KKKEEE gugugdQdt222122 在流场中取元流，沿流向取在流场中取元流，沿流向取1、2两断面，两断面的高程和面积分别两断面，两断面的高程和面积分别为为Z1、Z2和和dA1、dA2，两断面的流速和压强分别为两断面的流速和压强分别为u1、u2和和p1、p2。 dt时间内断面时间内断面1、2分别移动分别移动u1dt、u2dt的距

6、离到达的距离到达1、2。 21222uudmEk 212221uudQdt 11221122t时刻t+t时刻dA1u1u2dA2u1t11dmu dtdA重力作功：重力作功： 12()GWdmg zz12()gdQdt zz压力作功：压力作功： 111222PWp dAdSp dA dSdtudApdtudAp222111 dQdtpp21 11221122t时刻t+t时刻dA1u1u2dA2u1t11dmu dtdAGPKWWE理想液体恒定元流能量方程理想液体恒定元流能量方程gupZgupZ2222222111 gugugdQdtdQdtppZZgdQdt2221222121 对元流的任意断

7、面有对元流的任意断面有: :常数 gupZ22 伯努利方程伯努利方程二、方程式的几何意义与物理意义二、方程式的几何意义与物理意义2211221222pupuZZgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。毕托管测速仪毕托管测速仪 在工程实际中，

8、常常需要来测量某管道中液体流速的在工程实际中，常常需要来测量某管道中液体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中液体的速度，可采用毕托管来进行，其测量要测量管道中液体的速度，可采用毕托管来进行，其测量原理如图所示。原理如图所示。 三、理想液体恒定元流能量方程的应用三、理想液体恒定元流能量方程的应用毕托管测速仪毕托管测速仪pa/ gpb/ gh毕托管构造：毕托管构造：ba在液体管道的某一截面处装有一在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将角的玻

9、璃管（称为测速管）。将测速管（又称毕托管）的一端正测速管（又称毕托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高管内的液柱高h h。这是由于当液流。这是由于当液流流到测速管入口前的流到测速管入口前的a a点处，液流点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点速管入口形成一个驻点a a。驻点。驻点a a的压强的压强P PA A称为全压，在入口前同一称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如水平流线未受扰动处（例如b b点）点）的液体压强为的液体压强为 P P

10、B B，速度为，速度为u u。 上式表明，只要测量出液体的运动全压和静压水头的差值上式表明，只要测量出液体的运动全压和静压水头的差值h h，就，就可以确定液体的流动速度。由于液体的特性，以及毕托管本身对流可以确定液体的流动速度。由于液体的特性，以及毕托管本身对流动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为 式中式中 流速修正系数，一般由实验确定。流速修正系数，一般由实验确定。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有 022 gpzgugpzAB gugpgphBA22 hgppuBA22

11、 pb/ ghbaZZghu2 四、实际液体恒定元流的能量方程式四、实际液体恒定元流的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所损失的能量，称所损失的能量，称为水头损失。为水头损失。001Z2Z12wh将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。4.34.3实际液体恒定总流的能量方程实际液体恒定总流的能量方程whgugpzgugpz 2222222111 gdQhgdQgugpzgdQgugpzw2222222111单

12、位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的单位重量液体的能量关系式单位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的单位重量液体的能量关系式 单位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的单位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的全部全部液体的能量关系式液体的能量关系式 dQ=u1dA1=u2dA2 gdQhdAgugugpzdAgugugpzwQAA 2222221121112221单位时间内通过实际液体恒定单位时间内通过实际液体恒定总流总流两过水断面的两过水断面的全部全部液体的能量关系式液体的能量关系式 一、能量方程的推导一、能量方程的推导131111121111dAguQdAugpzQAAdQhQdA

13、guQdAugpzQQwAA1211232222222gdQhdAgugugpzdAgugugpzwQAA 2222221121112221单位时间内通过实际液体恒定单位时间内通过实际液体恒定总流总流两过水断面的两过水断面的全部全部液体的能量关系式液体的能量关系式 gQ 设单位时间通过总流的流量为设单位时间通过总流的流量为，则，则通过总流的液体重量为通过总流的液体重量为 单位时间单位时间内通过实际液体恒定内通过实际液体恒定总流总流两过水断面的两过水断面的单位重量单位重量液体的能量关系式液体的能量关系式 上式两边同除以上式两边同除以 ，gQ 均匀流或渐变均匀流或渐变流过水断面上流过水断面上()p

14、ZCg动能校正系数动能校正系数,1.05,1.051.11.1取平均的取平均的hwvu，一、能量方程的推导一、能量方程的推导势能积分势能积分动能积分动能积分损失积分损失积分131111121111dAguQdAugpzQAAdQhQdAguQdAugpzQQwAA1211232222222udAgpzQA 1vAgpzQ)( 1gpz dAguQA213 AvQg321 AvdAuaA33 gav22 dQhQQw 1whgpz 11 gpz 22 gva2211gva2222wh定义动能校正定义动能校正系数系数 教材教材P77whgvgpzgvgpz222222221111实际液体恒定总流的

15、能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 二、能量方程的应用条件二、能量方程的应用条件1 1液体为恒定流，且液体是不可压缩的。液体为恒定流，且液体是不可压缩的。2 2作用于液体上的质量力只有重力；作用于液体上的质量力只有重力；3 3所取的两个断面为渐变流流动，但在两个断面之间可以不是渐变流；所取的两个断面为渐变流流动，但在两个断面之间可以不是渐变流；4 4两个断面之间的液体没有外界能量的加入或内部能量的取出；两个断面之间的液体没有

16、外界能量的加入或内部能量的取出；5 5能量方程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断面是指同一能量方程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断面是指同一股液流；股液流；6 6两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出；两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出；whgvgpzgvgpz 222222221111 如果用如果用H表示单位液体的总机械能，即：表示单位液体的总机械能，即：gvgpzH22 whHH 21能量方程可简写为：能量方程可简写为： 三、能量方程的扩展三、能量方程的扩展Q1Q2Q3112233whgvgpzgvgpz 222222221111 1.分叉

17、恒定流分叉恒定流1 1）有流量分出时，有：）有流量分出时，有： 321QQQ Q1Q2Q3112233据能量守恒定理，有据能量守恒定理，有3121321 wwhhEEE313212332211 wwhgQhgQHgQHgQHgQ 321QQQ 031333132122212 )()(wwhgQHgQHgQhgQHgQHgQ 02122212 whgQHgQHgQ 03133313 whgQHgQHgQ 3123333211112122222211112222 wwhgpzgpzhgpzgpz 即：即： 三、能量方程的扩展三、能量方程的扩展Q1Q2Q31122331.分叉恒定流分叉恒定流2 2）

18、有流量汇入时，有：）有流量汇入时，有： 3223333222223123333211112222 wwhgpzgpzhgpzgpz 321QQQ whgvgpzgvgpz 222222221111 三、能量方程的扩展三、能量方程的扩展2.2.能量的输入与输出能量的输入与输出 当总流在两断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，液体额外地获得或失当总流在两断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，液体额外地获得或失去能量，则总流的伯努利方程应作如下的修正：去能量，则总流的伯努利方程应作如下的修正： whgvgpzgvgpz 222222221111 wphgvgpzHgvgpz 22222222

19、1111 +Hp表示单位重量液体流过水泵、风机所获得的能量，表示单位重量液体流过水泵、风机所获得的能量，gQNHppp Np泵输入功率，单位：泵输入功率，单位：Nm；p泵效率。泵效率。 -Hp表示单位重量液体流经水轮机所失去的能量，表示单位重量液体流经水轮机所失去的能量，Np水轮机输出功率，单位：水轮机输出功率，单位：Nm；p水轮机效率。水轮机效率。gQNHppp 2001Z2Z1wh12总水头线测压管水头线22Vg四、能量方程的图示四、能量方程的图示水头线水头线1.1.水头线水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。总水头线总水头线是是

20、 对应对应的变化曲线，它代表水头损的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状况。失沿流程的分布状况。测压管水头线测压管水头线是是 对应对应的变化曲线，它代表压强沿流的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。程的变化状况。gvgpz22 gpz 2001Z2Z1wh12总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线22Vg四、能量方程的图示四、能量方程的图示水头线水头线2.2.绘制：绘制：先画出基准面和总流中心线。先画出基准面和总流中心线。在各断面的中心向上作垂线，截取高在各断面的中心向上作垂线，截取高度为度为 得测压管水头线。得测压管水头线。gp 在测压管水头线上截取垂直高度在测压管水头线上截取垂直高度

21、为为 ，就可得总水头线。，就可得总水头线。gv22 3.3.水力坡度水力坡度J：总水头线的坡度，代表单位长度流程的平均水：总水头线的坡度，代表单位长度流程的平均水头损失，即头损失，即2001Z2Z1wh12总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线22Vg四、能量方程的图示四、能量方程的图示水头线水头线 测压管坡度测压管坡度JP：测压管水头线的坡度，：测压管水头线的坡度，代表单位长流程上的测压管水头线降落，代表单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。用测压管测量。 2001Z2Z1wh12总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线22Vg四、能量方程的图示四、能量方程的图示水头线水头线4.若

22、是均匀流，则总水头线平行于测若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即压管水头线，即J=JP； 5.总水头线和测压管水头线之间的距总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。离为相应段的流速水头。 4.4.注意：注意：1.1.理想流动液体的总水头线为水平线；理想流动液体的总水头线为水平线；2.2.实际流动液体的总水头线恒为下降曲线；实际流动液体的总水头线恒为下降曲线； 3.3.测压管水头线可升、可降、可水平；测压管水头线可升、可降、可水平；（1 1）选取高程基准面；）选取高程基准面；（2 2）选取两过流断面；）选取两过流断面；（3 3）选取断面计算点；）选取断面计算点；（4 4）选取

23、压强的计算基准要一致；）选取压强的计算基准要一致；五、能量方程的注意事项五、能量方程的注意事项基准面可任选，但对于两个过水断面必须选取同一基准面，通常使基准面可任选，但对于两个过水断面必须选取同一基准面，通常使z0。 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。应将渐变流过水断面取在已知参数较多的断面上，并使伯努利方程含有所应将渐变流过水断面取在已知参数较多的断面上，并使伯努利方程含有所要求的未知数。要求的未知数。 原则上可任取，这因断面上各点势能原则上可任取，这因断面上各点势能 =常数，而且断面上

24、各点平均动能常数，而且断面上各点平均动能 相同。为方便起见，通常对于管流取在管轴线上，明渠流取在自由液面上。相同。为方便起见，通常对于管流取在管轴线上，明渠流取在自由液面上。pz gv22能量方程的解题步骤能量方程的解题步骤 三选一列三选一列 1.1.选择基准面选择基准面2.2.选择计算断面选择计算断面 3.3.选择计算点选择计算点 4.4.列能量方程解题列能量方程解题 为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同

25、（a a），或不同，），或不同，测量大压差常用水银（测量大压差常用水银（b b）。设已知管流为水，管径）。设已知管流为水，管径d d1 1、 d d2 2及压差计的水及压差计的水头差头差 h h。试求流量。试求流量Q Q。d d1 1d d2 2(2)(2)(1)(1)文丘里管文丘里管 h h(a)(a)O OO O文丘里流量计文丘里流量计六、能量方程的应用六、能量方程的应用文丘里管文丘里管(1)(1)(2)(2) h h(b)(b)d d2 2d d1 1h h 解解 因因Q=AQ=A1 1v v1 1= A= A2 2v v2 2 ，v v1 1或（或（v v2 2）可由总流能量方程确定如下：）可由总流能量方程确定如下：取管轴取管轴0-00-0为基准面，测压管所在断面为基准面，测压管所在断面1 1、2 2为计算断面（符合渐变为计算断面（符合渐变流），断面的形心点为计算点，对断面流），