函数知识及基本初等函数知识总结

1、函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象记作f（x）。x称作y的原象。2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；实际问题要考虑实际意义零指数幂的底数不等于零；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响 4.函数值域： 5、函数图像变

2、换知识平移变换： 形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿轴方向向左或向右平移 a个单位，就得到y=f(x+a)的图象。 形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿轴方向向上或向下平移a个单位，就得到y=f(x)+a的图象 .对称变换     y=f(x) y=f(x),关于轴对称 y=f(x) y=f(x) ,关于轴对称 .翻折变换 y=f(x)y=f|x|,  (左折变换) 把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称 y=f(x)y=|f(x)|（上折变换） 把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称 在第一象限内，底

3、数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。 6函数的表示方法列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法图像法：如果图形是函数的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法7分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。8函数单调性及证明方法: 增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)< f

4、(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。证明方法第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2； 第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”； 第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性 9.函数的奇偶性奇函数设函数y

5、=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。 奇函数的定义域必须关于原点（0，0）中心对称，否则不能成为奇函数。 若F(X)为奇函数，且X在零处有定义，则F(0)=0.定义域关于原点对称。（2）偶函数设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)= f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.定义域关于原点对称。（3）奇函数偶函数运算两个偶函数相加所得的和为偶函数. 两个奇函数相加所得的和为奇函数. 一个偶函数与一个奇函

6、数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 奇函数不一定f(0)=0，也不一定有f(0)=0推出奇函数定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；（4）奇偶函数图象。奇函数的图象关于原点成中心对称。 偶函数的图象关于Y轴成轴对称。 奇偶函数的定义域一定关于原点对称！ 奇函数的偶数项系数等于0，偶函数的奇数项系数等于0。 Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数！10.一次函数二次函数（1）一次函数函数叫做一次函数，定义域为R，值域为R。k叫做直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。一次函数

7、又叫线性函数。当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。解析式类型一般式：ax+by+c=0 斜截式：y=kx+b（k为直线斜率，b为直线纵截距；其中正比例函数b=0） 点斜式：y-y1=k(x-x1) （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） 两点式

8、：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点） 截距式：x/a + y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）当k>0时，函数为增函数当k<0时，函数为减函数。（2）二次函数函数叫做二次函数，定义域为Ra决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。定点坐标：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；抛物线与x轴交点个数：= b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛

9、物线与x轴有1个交点。= b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。11待定系数法定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式； 其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. 最后解方程或消去待定系数。12、函数与方程函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想：方程的思

10、想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；零点：对于函数y=f()，使得f()=0的实数叫做函数f(x)的零点.。基本初等函数1根式的概念：（1）定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。（2）性质：；当为奇数时，；当为偶数时，。2、幂的有关概念1、规定：N*；n个；Q），、N* 且。2、性质：、Q）；、 Q）； Q）。（注）上述性

11、质对r、R均适用。3对数的概念（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。以10为底的对数称常用对数，记作；以无理数为底的对数称自然对数，记作；（2）基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）；4）对数恒等式：。（3）运算性质：如果则；R）。（4）换底公式：；。4、指数函数（1）指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。，函数值的变化特征：6、对数函数：定义