232平面向量的正交分解及坐标表示

1、知识回顾知识回顾1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于那么对于这一平面内的任一向量这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数有且只有一对实数 、 使使 a = e1+ e22.向量的夹角：向量的夹角：共起点的两个向量形成的角共起点的两个向量形成的角3.基本定理的应用基本定理的应用 e1+ e2= xe1+ ye2xyoBAab共起点共起点 把一个向量分把一个向量分解为两个互相垂直解为两个互相垂直的向量，叫作把向的向量，叫作把向量量正交分解正交分解1. 平面向量的正交分解平面向量的正交分解 如图，光滑斜面如

2、图，光滑斜面上一个木块受到的上一个木块受到的重力为重力为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为F F2 2，这三个力的，这三个力的方向分别如何？三方向分别如何？三者有何相互关系？者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2Oxyij 对于平面内的任一向量对于平面内的任一向量a ，由平，由平面向量基本定理可知，面向量基本定理可知，有且只有一对有且只有一对实数实数x、y，使得，使得 a =xi + yj（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=( x , y )其中其中x叫做叫做a在在x轴上轴上的坐标，的坐标，y 叫做叫做a在在y轴上的坐标

3、，轴上的坐标，a=( x , y )叫做向量的坐标表示那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？a2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OxyijaA(x, y)a两者相同两者相同一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐

4、标的关系？的坐标的关系？向量向量a坐标（坐标（x ，y）2121yyxxba 且且解：由图可知解：由图可知例例2 如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d ，并并求它们的坐标求它们的坐标AA2A1jiAAAAa3221 )3 , 2( a同理，同理，)3 , 2(32 jib)3, 2(32 jic)3, 2(32 jid课堂小结：课堂小结：2.向量的坐标表示向量的坐标表示 把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量把向量正交分解正交分解.1.向量的正交分解向量的正交分解 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴

5、方向相同的两单位向量i 、j 作作为基底，任一向量为基底，任一向量a ，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量叫做向量a的坐标的坐标.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a ， b ，求，求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）坐

6、标的和（差）例例3 已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标),(yx a 例例4 已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19） 例例5 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解法解法1：设顶点：设顶点D的坐标