郑州数学理科二测答案

1、2021-2022 学年度高三二测理科数学评分参考一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共 60 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5.BCCDD 6 -10.CCAAA 11-12.CA二、填空题：本题共 4 小题，每小题5分，共 20 分.13. x + y - 2-p = 0; 14. 7; 15.5 56p; 16.三、解答题：共 70 分.17.（12 分）解：（1）由题意，从某中学随机抽取了 100 人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的343，所以有100´ = 75人，没有兴趣的有25人，4因为女生中

2、有 5 人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20 人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下 2´2列联表：2 分2所以 ( )2 100 30 5 20 45´ ´ - ´，5 分K = = 12 > 10.82875´ 25´50´50有兴趣没有兴趣合计所以有 99.9的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关 男 30 20 506 分（2）甲获胜的概率最大，理由如下： 女 45 5 50甲在两轮中均获胜的概率为2 2 4P ；1 = ´ =3 3 9合计 75 25 1003 4

3、3乙在两轮中均获胜的概率为 2 = ´ =P ；4 7 74 4丙在两轮中均获胜的概率为 P = p´( - p) = p - p 9 分23 334 2 1 2Q p > 0,0 < - p <1,0 < p < ； < p < .3 3 3 3 4 4 2QP1 2 )2 ；- P = p - p + = ( p -33 9 3P P 0 显然 P 01 - > 1 - P >3 2P1 > P , P > P ，即甲获胜的概率最大.12 分2 1 318. （12 分）æ p ö &

4、#230; p ö解：（1）因为 asin B = bcosç A- ÷，由正弦定理得：sin Asin B = sin Bcosç A- ÷ 2 分è ø è ø6 6æ p ö p p 3 1又 BÎ(0,p )，sin B > 0,所以 A A A A A sin A sin = cosç ÷ = + sin sin = +- cos cos cos ， è ø6 6 6 2 21 3= ,得出 tan A = 3 ，又 A

5、Î(0,p )，所以即： sin A cos A2 2pA = .6 分3（2）在 ABC 中，由余弦定理得： cosA1 b2 + c - a2 2= = -2 2bc又因为 BD = 2DC ，所 以2a aBD = ，CD = ，且 ÐADB + ÐADC = p ,即cosÐADB + cosÐADC = 0，3 32 2æ 2a ö æ a ö 2 2ç ÷ + 2 - c ç ÷ + 2 -b2 23è ø è ø

6、3 3由余弦定理得 + = 0 2a a 22× ×2 2× ×23 31将联立得：18-bc = 2b + c 2bc ，即bc 6 ，（当且仅当b = 3,c = 2 3 时等号成立）2 22S1 3= ×bc×sin A = bc 2 43 3 2.12 分19.（12 分）解：（1）取 AB、AD 的中点 M、N ,连接CM、CN ，Q ABCD是菱形，ÐABC = 60 ， CM AB,CN AD .oQ平面 ADD1A 平面 ABCD,且平面ABCD I ADD A = AD .1 1 1CN 平面 1A , A

7、A Ì 平面ADD A .ADD1 1 1 1CN AA 3 分1同理 CM 1,CM Ì 平面ABCD,CN Ì 平面ABCD,且CM ICN = C ，AA AA1 平面ABCD . 6 分（2）取CD 中点 E ，分别以 AB、AE、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ；1 3 1 3 A(0,0,0), B(2,0,0),C(1 3 D 1, 3, D1 - , ,2), N(- , ,0) ，, ,0), (- 0), (2 2 2 21 3CD = , D1D = - - .(-2 0,0), ( , , 2)2 2记平面ADD1A 的法向量为

8、13 3n 显然 ,0)8 分1, n = CN = (- ,-12 2设平面CDD 的法向量为 n2 =（x，y，z），1ì -2x = 0,ì × =n CD 0,ï ï2íu ur uuuur í1 3n ×D D = 0, - x + y - 2z = 0.ï ïî2 1î 2 2n2 = ， 记锐二面角A- D1D -CD的大小为q . 10 分(0,4, 3)n ×n2 3 2 151 2cosq = = = ，tanq = .3´ 19 19

9、 2 n × n1 2锐二面角 A- DD1 -C 的正切值为152. 12 分20.（12 分）1 1解：（1）设 ( ) y = x 得： y'= x ，则直线 NA的斜率为A ， ， ( ) 2x1 yB x ， ，由1 22 y4 2x从而直线 NA的方程为： ( )y - = - x ，即： ( )y 2 y - y1 = x x - 4y ，1 x1 21 1 1x12，即： x = ( + )，同理可得：直线 NB 的方程为： ( )1x 2 y y x2 x = 2 y + y ， 2 分1 2又直线 NA 和直线 NB 都过 ( ) 1x 2 y y x2

10、x = 2 y + y ，N ，则 x = ( + )， ( )x0, y0 0 0 1 0 0 2从而 A( ， )， B( ， )均为在方程 x x = (y + y)x1 y x2 y 0 2 表示的直线上，1 2 0故直线 AB 的方程为 x x = (y + y)0 2 . 3 分0设 N( 2)，则由上述结论知，直线 AB 的方程为： x 2( 2)，故直线 AB 恒过定点 (0,2)；4 分x0，- 0x = y -（2）设 N( ， )，则由上述结论知：直线 AB 的方程为：x = ( + )，把它与抛物线 x2 = 4y 联立得：x0 y 0x 2 y y0 02x 2 ，

11、4 0 -16 > 02 - x x + y = D x y ，设 A( ， )， ( )4 0 = x1 yB x2，y ，则0 0 0 1 2x + = ，1 x 2x2 0x = ，则1x 4y2 02 2 x xAB = 1+ 0 x - x = 1+ + - 4 = + 4 - 4 = ，0(x x ) x x (x )(x y ) m2 2 21 2 1 2 1 2 0 0 04 4于是：m2x - 4y = .20 0 2x + 408 分22y - x + 2y 2x - 4y 0 0 0又点 N 到直线 AB 得方程的距离 d = = ，0 02 2x + 4 x +

12、40 0则23 1 1 x - 4y 1 m= ×d × AB = ´ 0 0S ×m = 2 2 223x + 4( )2x + 420 0m316，故 ABN 的最大面积是3m16，此时 x0 = 0 . 12 分21. （12 分）解：（1）函数的定义域为x x > -1，1 - xf ¢ ， f ¢(x)> 0 ， -1< x < 0 ； f ¢(x)< 0 ， x > 0 ，( )x = -1=x +1 x +1函数 f (x)的单调递增区间为 (-1,0)；单减区间为 (0，+

13、 ¥). 4 分（2）要使函数 F(x)= f (x)- g(x)有两个零点，即 f (x)= g(x)有两个实根，即 ln(x +1)- x +1= aex - x + ln a 有两个实根.即 ex+lna + x + ln a = ln(x +1) + x +1.整理为 ex+lna + x + ln a = eln(x+1) + ln(x +1)， 6 分设函数 h(x)= ex + x ，则上式为 h(x + ln a)= h(ln(x +1)，因为 h¢(x)= ex +1> 0 恒成立，所以 h(x)= ex + x 单调递增，所以 x + ln a =

14、 ln(x +1).所以只需使 ln a = ln(x +1)- x 有两个根，设 M (x)= ln(x +1)- x. 8 分由（1）可知，函数 M (x)的单调递增区间为 (-1,0)；单减区间为 (0，+ ¥)，故函数 M (x)在 x = 0 处取得极大值， ( ) (0) 0 M x .max = M =当 x ® -1时， M (x)® -¥ ；当 x ® +¥ 时， M (x)® -¥ ，要想 ln a = ln(x +1)- x 有两个根 ，只需 ln a < 0 ，解得0 < a &

15、lt;1.所以 a 的取值范围是 (0,1). 12 分（二）选考题：共10分.请考生在 22 、 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4 - 4：坐标系与参数方程（10 分）解：（1）C 的直角坐标方程为 (x -1)2 + y2 =1，C1 的极坐标方程为 r = 2 cosq ，1C 的极坐标方程为 r = 2 sinq . 5 分2p p（2）由题意可以， OA = r = 2 cos =1， OB = r = 2 sin = 3 ，A B3 3所以 AB = OB - OA = 3 -1. 8 分p 3又Q 到射线l 的距离为 d = OQ sin =

16、，3 21 3 3- 3故 ABQ 的面积为 ( )S = ´ ´ 3 -1 = 10 分2 2 423.选修 4 -5 ：不等式选讲（10 分）解：（1）不等式 f (x) 2x -1 ，即 x - a 2x -1 ，两边平方整理得： 3x2 + (2a - 4)x +1- a2 0 ，由题意可知 0 和 2 是方程3x2 + (2a - 4)x +1- a2 = 0的两个实数根，即ì1- a = 0,2ïíï-a + 4a + 5 = 0,2î解得 a = -1. 5 分（2）因为 f (x)+ x + 2a > x - a + x + 2a (x - a)- (x + 2a)