第六章Johanson协整检验与VEC模型

1、第六章 Johanson协整检验与VECM 第第4章最后一部分的协整检验和误差修正模型主要是章最后一部分的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言，本节将推广到针对单方程而言，本节将推广到VAR模型。而且前面所介模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为为JJ(Johansen-Juselius)检验。检验。 Johansen在在1988年及在年及在1990年与年与Juselius一起提出的一种一起提出的一种以以VA

2、R模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法变量协整检验的较好的方法。 其中其中 t 是是 k 维扰动向量。首先给出上式的一种等价形式维扰动向量。首先给出上式的一种等价形式(hamilton,667) 下面介绍下面介绍JJ检验的基本思想。任意一个检验的基本思想。任意一个VAR(p)模型模型 11ttptpty y y111(1)pttititiyyyIpii1pijji1称之为压缩矩阵或影响矩阵（称之为压缩矩阵或影响矩阵（impact matrix)1,jjp=K为kk维矩阵 由于由于I(1)过程经过差分变换将变成过程经过差

3、分变换将变成I(0)过程，即上式中的过程，即上式中的ytj (j=1,2,p) 都是都是I(0)变量构成的向量，那么只要变量构成的向量，那么只要 yt-1 是是I(0)的向量，即的向量，即 y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间具有协整关系，就能之间具有协整关系，就能保证保证yt是平稳过程。可以证明变量是平稳过程。可以证明变量y1,t-1，y2,t-1, ，yk,t-1 之间是之间是否具有以及具有什么规模否具有以及具有什么规模 的协整关系主要依赖于矩阵的协整关系主要依赖于矩阵 ， 且且变量间线性无关的协整向量个数即为矩阵的秩变量间线性无关的协整向量个数即为矩阵的秩(证明略证明略)。设。

4、设 的秩为的秩为 r，则存在则存在 3 种情况种情况: r = k，r = 0，0 r k： 如果如果 r = k，显然只有当显然只有当 y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 都是都是 I(0)变量时，才能保证变量时，才能保证 yt-1 是是 I(0) 变量构成的向量。而这与已知变量构成的向量。而这与已知的的 yt 为为 I(1) 过程相矛盾，所以必然有过程相矛盾，所以必然有 r k。 先假定y是向量单位根过程-I(1) 如果如果 r = 0，意味着意味着 = 0，y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1之间之间是不具有协整关系。是不具有协整关系。 下面讨论下面讨论 0 r k 的情形：的

5、情形： 0 r k 表示存在表示存在 r 个协整关系。在这种情况下，个协整关系。在这种情况下， 可可以分解成两个列满秩的以分解成两个列满秩的( k r )阶矩阵阶矩阵 和和 的乘积：的乘积： 其中其中rk ( )= r，rk ( )= r。如果变量间存在协整关系，则无法通过差分形式的有限阶VAR模型进行表示(hamilton 699) 上式要求上式要求 yt-1 的每一行为一个的每一行为一个 I(0) 向量，其每一行都向量，其每一行都是是 I(0) 组合变量组合变量(yt-1元素的线性组合元素的线性组合)，矩阵，矩阵 决定了决定了y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间协整向量的个数与形

6、式。称为协整向量矩之间协整向量的个数与形式。称为协整向量矩阵，阵，r 为协整向量的个数。为协整向量的个数。 将式将式的表达式带入模型的表达式带入模型(1),即即 111pttit itiy yy这这r个协整关系将同时出现在每个变量的误差修正表达式中个协整关系将同时出现在每个变量的误差修正表达式中向量误差修正模型的表达式向量误差修正模型的表达式VECM 矩阵矩阵 的每一行的每一行 i 是出现在第是出现在第 i 个方程中的个方程中的 r 个协整组个协整组合的一组权重，故称为合的一组权重，故称为，与前面介绍的误差修，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现正模型的调整系数的含义一样

7、。而且容易发现 和和 并不是并不是惟一的，因为对于任何非奇异惟一的，因为对于任何非奇异 r r 矩阵矩阵 H ，乘积乘积 和和 H (H 1 ) 都等于都等于 。 将将 yt 的协整检验变成对矩阵的协整检验变成对矩阵 的分析问题，这就是的分析问题，这就是Johansen协整检验的基本原理。因为协整检验的基本原理。因为，因此可以通过对非零特征根个数的检验，因此可以通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于 的特征根的的特征根的求解方法，设矩阵求解方法，设矩阵 的特征根为的特征根为 1 2 k。 即：至多有即：至多有r个协整关系个协整关系

8、 与单变量时间序列可能出现非零均值、包含确定性趋势与单变量时间序列可能出现非零均值、包含确定性趋势或随机趋势一样，协整方程也可以包含截距和确定性趋势。或随机趋势一样，协整方程也可以包含截距和确定性趋势。可能会出现如下情况（可能会出现如下情况（Johansen，1995）：）： (1) 序列序列(1式式) 没有确定趋势，协整方程没有截距：没有确定趋势，协整方程没有截距： (2) 序列没有确定趋势，协整方程有截距项序列没有确定趋势，协整方程有截距项 0： 11tttyHXy)(011yHXyttt (3) 序列有序列有，但协整方程只有，但协整方程只有： 1100()tttyHX y (4) 序列和

9、协整方程都有序列和协整方程都有，协整方程的线性趋势，协整方程的线性趋势表示为表示为 1t ： 11010()tttyHX y t (5) 序列有序列有，协整方程仅有，协整方程仅有： 110101()tttyHX y t t 还有一些需要注意的细节：还有一些需要注意的细节： (1) Johansen协整检验的临界值对协整检验的临界值对 的序列都是有的序列都是有效的。而且临界值依赖于趋势假设，对于包含其他确定性效的。而且临界值依赖于趋势假设，对于包含其他确定性回归量的模型可能是不适合。回归量的模型可能是不适合。 (2) 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突。迹统计量和最大特征值统计量的结论

10、可能产生冲突。对这样的情况，建议检验估计得到的协整向量对这样的情况，建议检验估计得到的协整向量(产生协整向产生协整向量并检验其平稳性量并检验其平稳性)，并将选择建立在协整关系的解释能力，并将选择建立在协整关系的解释能力上。上。 为了实现协整检验，从为了实现协整检验，从VAR对象或对象或Group(组组)对象的对象的工具栏中选择工具栏中选择View/Cointegration Test 即可。协整检验即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中模型中每一个序列进行单位根检验。然后在每一个序列进行单位根检验。然后在Cointegrati

11、on Test Specification的对话框（下图）中将提供关于检验的详细的对话框（下图）中将提供关于检验的详细信息：信息： 关于序列关于序列假设假设可选部分可选部分关于协整关于协整方程假设方程假设滞后设定是指在滞后设定是指在辅助回归中的一辅助回归中的一阶差分的滞后项，阶差分的滞后项，不是指原序列。不是指原序列。例如，如果在编例如，如果在编辑栏中键入辑栏中键入“1 2”，协整检验用，协整检验用 yt 对对 yt-1， yt-2 和其他指定的外和其他指定的外生变量作回归，生变量作回归，此时与原序列此时与原序列 yt 有关的最大的滞有关的最大的滞后阶数是后阶数是3。对于。对于一个滞后阶数为一

12、个滞后阶数为1的协整检验，在的协整检验，在编辑框中应键入编辑框中应键入“0 0”。 不能确定如不能确定如何选择，则何选择，则选择此项选择此项JohansonJohanson协整检验：协整检验：VarVar预测预测. .wflwfl考察中国考察中国GDP,GDP,宏观消费宏观消费conscons与基本建设投资与基本建设投资invesinves的协整关系的协整关系Step1:数据处理-价格调整后的对数数据记为lngp,lncp,lnipVAR0145678910115560657075808590950005LNIPLNGPLNCPVAR(2)Step2:选择检验假设序列选择检验假设序列 yt 有

13、确定性线性趋势，但协整方程有确定性线性趋势，但协整方程只有截距（对话框中第三种情况），并用差分的只有截距（对话框中第三种情况），并用差分的1阶滞后，阶滞后，在编辑框中键入：在编辑框中键入： 1 1两种检验方法都表明含有两种检验方法都表明含有一个协整关系一个协整关系输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第一个表格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。对于每一个

14、检验结果，第一列显示了列在第二个表格中。对于每一个检验结果，第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是式中在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是式中 矩阵矩阵按由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量或最大按由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量；第四列是在特征值统计量；第四列是在5%显著性水平下的临界值；最显著性水平下的临界值；最后一列是根据后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提出的临提出的临界值所得到的界值所得到的P值。值。 Engle和和Granger将协整与误差修正模型结合起来，将协整与误差修正模型结合起来，建立

15、了向量误差修正模型。在第建立了向量误差修正模型。在第5章已经证明只要变量章已经证明只要变量之间存在协整关系，可以由之间存在协整关系，可以由自回归分布滞后模型导出自回归分布滞后模型导出误差修正模型误差修正模型。而在。而在VAR模型中的每个方程都是一个模型中的每个方程都是一个自回归分布滞后模型，自回归分布滞后模型，多应用于具有协整关系的非多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。平稳时间序列建模。 其中每个方程的误差项其中每个方程的误差项 i (i =1，2，k) 都具有平稳性。一都具有平稳性。一个协整体系由多种表示形式，用误差修正模型表示是当前处个协整体系由多种表示形式，用误差修正模型表示是当前

16、处理这种问题的普遍方法，即：理这种问题的普遍方法，即： titpiittyyy111 如果如果yt 所包含的所包含的 k 个个 I(1) 变量间存在协整关系，则根据变量间存在协整关系，则根据格兰杰表示定理，格兰杰表示定理，y可有如下表示可有如下表示titpiittyecmy111其中的每一个方程都是一个误差修正模型。其中的每一个方程都是一个误差修正模型。 ecmt -1 = yt -1 是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数矩阵是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数矩阵 反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态

17、的调整速度。所有作为解释变量的差分项的整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。 接上例：接上例：VarVar预测预测. .wflwfl考察中国考察中国GDP,GDP,宏观消费宏观消费conscons与基本建设投资与基本建设投资invesinves的的VECMVECM建模分析建模分析Step1:由前面讨论发现价格调整后的对数变量由前面讨论发现价格调整后的对数变量lngp,lncp,lnip三者

18、之间三者之间存在协整关系，建立相应的存在协整关系，建立相应的VECM一般来说，在有关一般来说，在有关VECM设定中的选择设定中的选择应该与前面协整检验中的选择保存一致应该与前面协整检验中的选择保存一致验证所得协整关系的平稳性验证所得协整关系的平稳性():标准差；标准差； ：t统计量统计量由于由于VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列，所以应先运行模型的表达式仅仅适用于协整序列，所以应先运行Johansen协整检验，并确定协整关系数。需要提供协整信协整检验，并确定协整关系数。需要提供协整信息作为息作为VEC对象定义的一部分。对象定义的一部分。 如果要建立一个如果要建立一个VEC模型，在模型，在VA

19、R对象设定框中，从对象设定框中，从VAR Type中选择中选择Vector Error Correction项。在项。在VAR Specification栏中，除了特殊情况外，应该提供与无约束栏中，除了特殊情况外，应该提供与无约束的的VAR模型相同的信息模型相同的信息 常数或线性趋势项不应包括在常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series的编辑框中。对于的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋势说明应定义在模型的常数和趋势说明应定义在Cointegration栏中。栏中。 例如，滞后说明例如，滞后说明“1 2” VEC模型右侧将包括变量的模型右侧将包括变量的一阶差分项的两阶滞后。为了

20、估计没有一阶差分项的一阶差分项的两阶滞后。为了估计没有一阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为：模型，指定滞后的形式为：“0 0”。 VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了第一步从第一步从Johansen过程所得到的结果。如果不强加约束，过程所得到的结果。如果不强加约束，EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系统默认的正规化表述为：将正规化方法。系统默认的正规化表述为：将VEC模型中模型中前前 r 个变量作为剩余个变量作为剩余 k r 个变量的函数，其中个变量的函数，其中 r

21、表示协整表示协整关系数，关系数，k 是是VEC模型中内生变量的个数。模型中内生变量的个数。 第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分的归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以模型。误差修正项以CointEq1，CointEq2，表示形式输出。输出形式与无约束的表示形式输出。输出形式与无约束的VAR输出形式相同。输出形式相同。 在在VEC模型输出结果的底部，有系统的两个对数似然值。模型输出结果的底部，有系统的两个对数似然值。第一个值标有第一个值标有determinant resid covariance (d.f. adjusted)

22、，其计算用自由度修正的残差协方差矩阵的行列式，这是无约其计算用自由度修正的残差协方差矩阵的行列式，这是无约束的束的VAR模型的对数似然值。标有模型的对数似然值。标有Log Likelihood的值是以的值是以没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的。这个值与协整检没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的。这个值与协整检验所输出的值是可比较的。验所输出的值是可比较的。 估计结果往往因为通常滞后阶数，协整向量的形式不同而非常敏感，实际估计结果往往因为通常滞后阶数，协整向量的形式不同而非常敏感，实际中可综合考虑做出联合选择；中可综合考虑做出联合选择；信息准则信息准则AIC,SC，协整向量的平稳性检验可辅助模型的选择，协整向量的平稳性检验可辅助模型的选择可以根据模型实现脉冲响应函数和方差分解，并分析变量之可以根据模型实现脉冲响应函数和方差分解，并分析变量之间的影响关系间的影响关系(需要自己重新建立模型进行操作需要自己重新建立模型进行操作) 对于对于VEC模型