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文档简介
1、-圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基此题型: 在向量与圆锥曲线相结合的题目中,主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现,间接的考察向量几何性质、运算性质,例1、设,点在轴的负半轴上,点在轴上,且当点在轴上运动时,求点的轨迹的方程;解:解法一,故为的中点设,由点在轴的负半轴上,则又,又,所以,点的轨迹的方程为解法二,故为的中点设,由点在轴的负半轴上,则-又由,故,可得 由,则有,化简得:所以,点的轨迹的方程为 例2、椭圆的方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点 重合,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交
2、椭圆 于、两点 1求椭圆的标准方程; 2设点,且,求直线的方程; 解:设椭圆的右焦点为,因为的焦点坐标为,所以 因为,则, 故椭圆方程为:由I得,设的方程为代入,得,设则,所以直线的方程为2所求问题以向量的形式呈现 例3、椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是 1求椭圆E的方程; 2过点C1,0,斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问*轴上 是否存在点M,使为常数.假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请 说明理由。解:1根据条件可知椭圆的焦点在*轴, 且 故所求方程为即, 2假设存在点M符合题意,设AB:代入 得:则 要使上式与无关,则有 解得,存在点满足题意。 例4、线段过
3、y轴上一点,所在直线的斜率为,两端点、到y轴的距离之差为. ()求出以y轴为对称轴,过、三点的抛物线方程; ()过该抛物线的焦点作动弦,过、两点分别作抛物线的切线,设其交点为,求点的轨迹方程,并求出的值. 解:()设所在直线方程为,抛物线方程为, 且,不妨设, 即 把代入得, 故所求抛物线方程为 ()设,则过抛物线上、两点的切线方程分别是 ,两条切线的交点的坐标为设的直线方程为,代入得 故的坐标为点的轨迹为 而故 (3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 例5、在直角坐标系*Oy中,长为的线段的两端点C、D分别在*轴、y轴上滑动,记点P的轨迹为曲线EI求曲线E的方程;II经过点0,1作直
4、线l与曲线E相交于A、B两点,当点 M在曲线E上时,求的值 解:设C(m,0),D(0,n),P(*,y)由,得(*m,y)(*,ny),得由|1,得m2n2(1)2,(1)2*2y2(1)2,整理,得曲线E的方程为*21 设A(*1,y1),B(*2,y2),由,知点M坐标为(*1*2,y1y2)设直线l的方程为yk*1,代入曲线E方程,得(k22)*22k*10,则*1*2,*1*2 y1y2k(*1*2)2,由点M在曲线E上,知(*1*2)21,即1,解得k22 这时*1*2y1y2*1*2(k*11)(k*21)(1k2)*1*2k(*2*2)1,(*y)(*y)(2*)(2*)42(
5、*)(*1*2)242(*1*2)22*1*2(*1*2)2,cosá,ñ 二、针对性练习 1. 圆M:及定点,点 P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上, 且满足1求点G的轨迹C的方程;2过点K2,0作直线与曲线C交于A、B两点, O是坐标原点,设 ,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角 线相等.假设存在,求出直线的方程; 假设不存在,说明理由.解:1由为PN的中点,且是PN的中垂线,点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,又 2 .四边形OASB为平行四边行, 假设存在直线1,使四边形OASB为矩形 假设1的斜率不存在,则1的方程为 由0. 这与相矛盾, 1的斜率存
6、在. 设直线1的方程,化简得: 由存在直线1:或满足条件.二、针对性练习1.过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于, 两点,且1求该抛物线的方程;2为坐标原点,为抛物线上一点,假设,求的值解:1直线AB的方程是,与联立, 消去,得,所以, 由抛物线定义得:,所以p=4, 抛物线方程为: 2由p=4,化简得, 从而,从而A(1,),B(4,)设=, 又因为,即84,即,解得2、在平面直角坐标系两点、,假设将动点的横坐标保持不变, 纵坐标扩大到原来的倍后得到点,且满足.求动点所在曲线的方程;过点作斜率为的直线交曲线于、两点,且, 又点关于原点的对称点为点,试问、四点是否共圆.假设共 圆,求出圆心坐标和半径;假设不共圆,请说明理由.解设点的坐标为,则点的坐标为,依据题意,有动点所在曲线的方程是因直线过点,且斜率为,故有联
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