圆锥曲线及向量的综合性问题

1、-圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基此题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考察向量几何性质、运算性质，例1、设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；解：解法一，故为的中点设，由点在轴的负半轴上，则又，又，所以，点的轨迹的方程为解法二，故为的中点设，由点在轴的负半轴上，则-又由，故，可得 由，则有，化简得：所以，点的轨迹的方程为 例2、椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点 重合，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交

2、椭圆 于、两点 1求椭圆的标准方程； 2设点，且，求直线的方程； 解：设椭圆的右焦点为，因为的焦点坐标为，所以 因为，则， 故椭圆方程为：由I得，设的方程为代入，得，设则，所以直线的方程为2所求问题以向量的形式呈现 例3、椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是 1求椭圆E的方程； 2过点C1，0，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问*轴上 是否存在点M，使为常数.假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请 说明理由。解：1根据条件可知椭圆的焦点在*轴， 且 故所求方程为即， 2假设存在点M符合题意，设AB：代入 得：则 要使上式与无关，则有 解得，存在点满足题意。 例4、线段过

3、y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、到y轴的距离之差为. ()求出以y轴为对称轴，过、三点的抛物线方程； ()过该抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值. 解：()设所在直线方程为，抛物线方程为， 且，不妨设， 即 把代入得， 故所求抛物线方程为 ()设，则过抛物线上、两点的切线方程分别是 ，两条切线的交点的坐标为设的直线方程为，代入得 故的坐标为点的轨迹为 而故 (3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 例5、在直角坐标系*Oy中，长为的线段的两端点C、D分别在*轴、y轴上滑动，记点P的轨迹为曲线EI求曲线E的方程；II经过点0，1作直

4、线l与曲线E相交于A、B两点，当点 M在曲线E上时，求的值 解：设C(m，0)，D(0，n)，P(*，y)由，得(*m，y)(*，ny)，得由|1，得m2n2(1)2，(1)2*2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为*21 设A(*1，y1)，B(*2，y2)，由，知点M坐标为(*1*2，y1y2)设直线l的方程为yk*1，代入曲线E方程，得(k22)*22k*10，则*1*2，*1*2 y1y2k(*1*2)2，由点M在曲线E上，知(*1*2)21，即1，解得k22 这时*1*2y1y2*1*2(k*11)(k*21)(1k2)*1*2k(*2*2)1，(*y)(*y)(2*)(2*)42(

5、*)(*1*2)242(*1*2)22*1*2(*1*2)2，cosá，ñ 二、针对性练习 1. 圆M：及定点，点 P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上， 且满足1求点G的轨迹C的方程；2过点K2，0作直线与曲线C交于A、B两点， O是坐标原点，设 ,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角 线相等.假设存在，求出直线的方程； 假设不存在，说明理由.解：1由为PN的中点，且是PN的中垂线，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又 2 .四边形OASB为平行四边行， 假设存在直线1，使四边形OASB为矩形 假设1的斜率不存在，则1的方程为 由0. 这与相矛盾， 1的斜率存

6、在. 设直线1的方程，化简得： 由存在直线1：或满足条件.二、针对性练习1.过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于, 两点，且1求该抛物线的方程；2为坐标原点，为抛物线上一点，假设，求的值解：1直线AB的方程是,与联立， 消去，得，所以， 由抛物线定义得：，所以p=4， 抛物线方程为： 2由p=4，化简得， 从而,从而A(1,),B(4,)设=， 又因为，即84，即，解得2、在平面直角坐标系两点、，假设将动点的横坐标保持不变， 纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足.求动点所在曲线的方程；过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且， 又点关于原点的对称点为点，试问、四点是否共圆.假设共 圆，求出圆心坐标和半径；假设不共圆，请说明理由.解设点的坐标为，则点的坐标为，依据题意，有动点所在曲线的方程是因直线过点，且斜率为，故有联