概率论与数理统计：第3章 第一节二维随机变量

1、概率统计 第三章知识结构图第三章知识结构图 多维随机变量多维随机变量 联合联合分布律分布律联合分联合分布函数布函数 函数的函数的 分布分布联合概联合概率密度率密度 二维离散型二维离散型 随机变量随机变量联合分联合分布函数布函数函数的函数的 分布分布 二维连续型二维连续型 随机变量随机变量定义定义 常用分布常用分布定义定义常用分布常用分布概率统计第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1.一维随机变量和分布一维随机变量和分布 函数的概念函数的概念2.一维离散型随机变量一维离散型随机变量 及其分布律及其分布律4. 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 第二章中第二章中 讨论的问题讨论

2、的问题 本章将给出二维随机变量、联本章将给出二维随机变量、联合分布率、联合概率密度和二维合分布率、联合概率密度和二维联合分布函数的概念联合分布函数的概念 3.一维连续型随机变量一维连续型随机变量 及其及其 概率密度概率密度概率统计一一. 二维随机变量及分布函数的概念二维随机变量及分布函数的概念1. 定义定义设设 是随机试验是随机试验 E 的样本空间的样本空间 Se 是定义在是定义在 S上的随机变量上的随机变量( ),( )XX eYY e由它们构成的向量由它们构成的向量(,)X Y称为称为二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量.YX,均要求定义在同一个样本空间均要求定义在同一个样

3、本空间S上上.第一节第一节 二维随二维随 机机 变变 量量注：注：(,)X Y的性质不仅与的性质不仅与 X及及 Y有关，而且有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系还依赖于这两个随机变量的相互关系.概率统计),(YX的几何解释的几何解释:xy0(,)X Y 或或:)(eX)(eYeS给出给出),(YX平面上的一个随机点平面上的一个随机点(随机向量随机向量)概率统计定义定义2 (二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数) ( , )()()F x yPXxYy),(yYxXP 称为称为二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数的分布函数或称为或称为( X, Y ) 的的联合分布

4、函数联合分布函数.注注: ),(yxF),(yYxXP 随机变量，对于任意的实数随机变量，对于任意的实数 二元函数二元函数, x y设设 是二维是二维(,)X Y的联合分布函数的的联合分布函数的几何意义几何意义:(,)X Y(,)X Y若将若将看成是平面上随机点的坐标看成是平面上随机点的坐标概率统计),(yx0yx则则 在在 处的函数值处的函数值 随机点随机点( , )x y( , )F x y( , )x y 落在以落在以 为定点而位于该点左下方的无穷为定点而位于该点左下方的无穷矩形内的概率矩形内的概率.( , )x y概率统计1212,xxxyyy 的概率为的概率为:),(2121yYyx

5、XxP ),(),(1222yxFyxF 1112(,)(,)F xyF xy1x 2x 2y 1y yx0 落在矩形区域落在矩形区域:(,)X Y如图如图:概率统计2. 二维随机变量分布函数二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质的性质性质性质1F(x,y) 分别对分别对 x 和和 y 单调非减单调非减, 即即:),(),(12yxFyxF 时时当当12xx 对固定的对固定的y,X是非减的是非减的),(),(12yxFyxF 时时当当12yy 对固定的对固定的x,y是非减的是非减的性质性质2F(x,y)对每个自变量对每个自变量x 或或 y是右连续的，即是右连续的，即:),(),(lim00

6、yxFyxFxx ),(),(lim00yxFyxFyy 概率统计性质性质3:1),(0且且 yxF( ,)lim( , )0yF xF x y (, )lim( , )0 xFyF x y(,)lim( , )1xyFF x y 随机点落在这三种情形随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零事件，故概率趋向于零随机点落在这种情况随机点落在这种情况所示的矩形内是必然所示的矩形内是必然事件，故概率趋于事件，故概率趋于1性质性质422211112(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF xyF xy1212,xxyy当当时，有：时，有：0),(lim),(

7、 yxFFyx概率统计说明：说明：2y1y1x2xABCD不等式左边恰好是不等式左边恰好是（X,Y）落在矩形）落在矩形ABCD内的概率，内的概率，而概率具有非负性，而概率具有非负性，故得此不等式。故得此不等式。小注：小注：性质性质1性质性质3同一维随机变量分布函数的性同一维随机变量分布函数的性质。性质质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。不同于一维随机变量的分布函数。若性质若性质1性质性质3均满足，但性质均满足，但性质4不满足，则不满足，则不称之为联合分布函数。不称之为联合分布函数。概率统计现找现找 4 个点如下：个点如下：22122111(,)(1, 1);(,)( 1,1)(,)(1,

8、1);(,)( 1, 1)xyxyxyxy (1,1)( 1,1)(1, 1)( 1, 1)FFFF这说明这说明 F(x,y) 不是不是二维随机变量的分布函数，仅仅二维随机变量的分布函数，仅仅是一个二元函数是一个二元函数 比如：比如：10( , )00 xyF x yxy 对这分布函数来验证第对这分布函数来验证第4条性质。条性质。即第即第4条性质不满足条性质不满足111010 概率统计二二. 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布1. 二维离散型随机变量的定义二维离散型随机变量的定义 如果随机变量如果随机变量X,Y的取值的取值(x,y)只能是有限对或可列无只能是有限对或可列无 限

9、多对，则称限多对，则称(X,Y)为二维为二维离散型离散型随机变量随机变量.2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的值为的所有可能取的值为(,),1,2,i jijPP Xx Yyi j 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，的概率分布或分布律，或称为或称为联合分布律联合分布律.则：其相应的概率则：其相应的概率2 , 1,),( jiyxji概率统计注注: 同一维随机变量同一维随机变量(离散型离散型)类似，一般可用类似，一般可用ixXY01jyyy 0 00 10 jppp 1 01

10、 11 jppp 01iii jppp 0 x1x下列表格形式表示：下列表格形式表示：概率统计11(1)0(2)1i ji jijpp 例例1.求求: (X,Y) 的分布律的分布律0Y 3n当当不能被不能被整除时：整除时： 随机变量随机变量1Y 3n当当 能被能被整除时：整除时： 随机变量随机变量1X 2n当当 能被能被整除时：整除时： 随机变量随机变量1,2,3,21n从从数中任取一个数数中任取一个数(同一同一 维情形）二维离散型随维情形）二维离散型随机变量的联合分布律具有两机变量的联合分布律具有两条性质条性质2n当当不能被不能被整除时：随机变量整除时：随机变量0X 概率统计7(0,0)21

11、P XY4(0,1)21P XY7(1,0)21P XY3(1,1)21P XY1,5,7,11,13,17,19这这7个个数不能被数不能被2,3整除整除3,9,15,21这这4个数不能个数不能被被2,能被能被3整除整除2,4,8,10,14,16,20这这7个个数不能被数不能被3整除整除,但能但能被被2整除整除6,12,18这这3个数能被个数能被2整除整除,又能被又能被3整除整除不难易证不难易证:110074730,21212121i ji jpp由题意可由题意可 知：知：X取值为取值为0, 1 ； Y的取值为的取值为 0, 1解解:概率统计故得：故得： (X,Y) 的的联合分布律联合分布律

12、为为:XY01742 12 1732 12 1010kx 同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从中取同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从中取一个一个检验质量，不放回地抽样，连续两次。若记检验质量，不放回地抽样，连续两次。若记 表示第表示第 k 次取到正品；次取到正品；表示第表示第 k 次取到次品次取到次品1kx 求求: 的联合分布律的联合分布律.12(,)XX例例2. ( k =1, 2 )概率统计由题意由题意 的取值为：的取值为：0, 1 ； 的取值为：的取值为：0, 11X2X12233(0,1)5410P XX12323(1,0)5410P XX12323(1,1)5410P XX

13、解解:显然所求概率满足联合分布律的两条性质显然所求概率满足联合分布律的两条性质.)00()0()0, 0(12121 XXPXPXXP1014152 概率统计故故 的的联合分布律联合分布律为为:12(,)XX0101131 01 0331 01 01X2X3. 二维离散型随机变量的分布函数二维离散型随机变量的分布函数若若(X,Y)是离散型随机变量是离散型随机变量,则其联合分布函则其联合分布函数为：数为：( , )iji jxxyyF x yP (,)PX xY y (其中其中“和式和式”是对一切满足是对一切满足 ),.ijxx yyi j 的的求求和和概率统计三三. 二维连续型随机变量及其分布

14、二维连续型随机变量及其分布1. 二维连续型随机变量的定义二维连续型随机变量的定义2. 二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的(联合联合)概率密度与分布函数概率密度与分布函数(1) 定义定义如果随机变量如果随机变量 (X, Y) 的取值的取值 不能一不能一 一一列出，而是连续的列出，而是连续的, 则称则称 (X,Y) 为连续型随为连续型随机变量机变量.( , )x y若存在非负的二元函数若存在非负的二元函数 对任对任意的意的 有：有：( , ),f x y, x y则则称称 (X,Y) 是连续型的二维随机变量，是连续型的二维随机变量， 为为(X,Y) 的的联合概率密度联合概率密度； 为为 (X

15、,Y) 的的联合分联合分布函数布函数.( , )F x y( , )f x y xydudvvufyxF),(),(概率统计(2) f (x,y) 的性质的性质性质性质1( , )0f x y 性质性质2( , )1f x y dxdy 性质性质3若若 f (x,y) 在点在点 (x, y) 处连续，则：处连续，则：2( , )( , )F x yf x yxy 性质性质4设设 G 是是 XOY 平面上的一个区域，则点平面上的一个区域，则点(x, y)落在落在G内的概率为内的概率为: ( , )( , )GPx yGf x ydxdy 非负性非负性规范性规范性分布函数与概分布函数与概率密度的关

16、系率密度的关系求区域求区域上的概率上的概率概率统计注注:一维连续型随机变量的几种常用分布可一维连续型随机变量的几种常用分布可推广推广到二维及多维随机变量到二维及多维随机变量110.11222211( , )()()0 axbf x ybabaaxb 若若其其它它则则称称 (X,Y) 服从服从 均匀分布均匀分布概率统计()0.0,02( , )0 xyexyf x y 若若其其它它则则称称 (X,Y) 服从参数为服从参数为 的的 22112222212120.()()()()122(1)2123( , )121xxyyf x ye 若若 则则称称 ( X,Y )服从服从 的的1212, 1212

17、, 其中：其中：为为5个常数个常数指数分布指数分布.正态分布正态分布.概率统计例例3.()0,0( , )0 xyexyf x y 其其它它(1)( , )( , )xyF x yf x y dxdy 设设求求: (1) 分布函数分布函数( , )F x y(2) 落在落在G内的概率内的概率其中其中 G: x+y=1及及 x 轴、轴、y轴所围区域轴所围区域(,)X Y解解:0,0 xy当当时时( , )00 xyF x ydx 概率统计( , )0F x y ( , )0F x y ()( , )xyxyF x yedxdy 00(1)(1)xyxyxyedxedyee(1)(1)0,0( ,

18、 )0 xyeexyF x y 其其它它0,0 xy时时当当0,0 xy当当时时0,0 xy当当时时从而得分布函数为：从而得分布函数为：()0,0( , )0 xyexyf x y 其其它它概率统计(2) 画出画出G域图：域图：G:0101xyx ( , )( , )GPx yGf x y dxdy 11()100120.2642xxydxedye 以上讨论的关于离散型或连续型随机变量均可推广以上讨论的关于离散型或连续型随机变量均可推广到到n 维维(n 2)随机变量随机变量()0,0( , )0 xyexyf x y 其其它它011yx从而得：从而得：概率统计n维随机变量：维随机变量：n维联合

19、分布函数：维联合分布函数：121122(,)(,)nnnF xxxP XxXxXx为为 n 维随机变量维随机变量 的联合分布的联合分布函数函数.12(,)nXXX注意到注意到(X,Y)是一个整体，它具有分布函数是一个整体，它具有分布函数 F(x,y)。而。而 X,Y 分别也是随机变量，它们分别具有分布函数为：分别也是随机变量，它们分别具有分布函数为： 那么它们分别各自又有什么特征呢那么它们分别各自又有什么特征呢?( ),( )XYFxFy 问题：问题： 为为 n 维随机向量或维随机向量或 n 维随机维随机 是定义在是定义在S上的随机上的随机11( )( )nnXX eXXe 变量由它们构成的一

20、个变量由它们构成的一个 n 维向量：维向量：12(,)nXXX变量变量概率统计第三章 多维随机变量第一节 多维随机变量及其分布第二节 边缘分布第三节 条件分布第四节 随机变量的独立性第五节 随机变量函数的分布概率统计从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.概率统计1 1定义： 设设X1(),Xn()为定义在为定义在样本样

21、本空间空间上的随机变量上的随机变量, ,由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X1, ,Xn)叫做叫做n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。 对于多维随机变量, 需要考虑n n维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； 还要研究每个分量的概率分布； 并且还要考察各分量之间的联系。 一、多维随机变量的定义概率统计定义：若对任意：若对任意xkR,k=1,2,n,称称元函数元函数 nkkknnnxXPxXxXxXPxxxF1221121,),(为随机向量(X1, ,Xn)的(联合)分布函数。 注释注释 (1) 事件X1x1, ,Xnxn是n n个事件Xkxk同时发生的概率，故称

22、为联合分布函数。 (2) F(x1,x2,xn)是普通的n n元函数，这样，我们就把对随机向量的研究转化为对普通n n元函数的研究。二、多维随机变量的分布函数概率统计 (3) (3) 二维随机向量二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。可以看成平面上随机点的坐标。则则(X,Y)分布函数分布函数F(x,y)=PX x,Y y在在(x,y)处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点(x,y)落在如图所示的以点落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。 概率统计(1). .F(x,y)是变量是变量x 和和y的不

23、减函数的不减函数, ,即即对于任意固定的对于任意固定的y, 当当x2x1时，时，F(x2,y)F(x1,y)；对于任意固定的对于任意固定的x,当当y2y1时，时，F(x,y2)F(x,y1)且且 0F(x,y)1。 因为因为Xx1,YyXx2,Yy. .(2). . 对于任意固定的对于任意固定的y, F(-,y)=0； 对于任意固定的对于任意固定的x, F(x,+)=1； F(-,-)=0，F(+,+)=1。 2.二维分布函数的性质概率统计证：只证证：只证F(-,y)=0。因为。因为 0PXx,Y yPX x,Y+, , 所以所以0F(x, y)FX(x), ,令令x -, ,于是于是F(-,

24、y)=0。(3). .F(x, y)=F(x +0, y), F(x, y)=F(x, y +0), , 即即F(x, y)关于关于x右连右连续续, ,关于关于y也右连续也右连续. .证：只证证：只证F(x, y)=F(x +0, y)。 因为因为F(x +x, y)= F(x, y)+Px X x +x,Y y, , 而而Px X x + x,Y y=F (x + x, y) - F (x, y) Px X x + x 0 ( x 0). 故所证结论成立。故所证结论成立。概率统计(4).对于任意对于任意(x1, y1),(x2, y2)， x1x 2, y1 y2,下述不等式成下述不等式成立

25、立: : F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1,y2)+F(x1, y1)0, 事实上，因为事实上，因为Px1X x2, y1Y y2= F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)0,如图如图 0 x1 x2 xy1y2y概率统计二维随机变量（二维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数),(),(yYxXPyxFyx,)()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X概率统计1 1定义： 若二维随机向量若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可列个的可能取值只有有限个或可列个, ,则称则称(X,Y)是离散型

26、二维随机向量是离散型二维随机向量. . 若二维离散型随机向量若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为( (xi,yj),i,j=1,2, 记记PX=xi,Y=yj=pij, i, j=1,2,则称下列一组等式则称下列一组等式 PX=xi,Y=yj=pij, i, j=1,2,为随机向量为随机向量(X,Y)的的( (联合联合) )分布律分布律. .三、二维离散型随机变量概率统计常用表格表示常用表格表示(X,Y)的分布律：的分布律： YXy1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 pi2 pij (1). pij0, i,j=1

27、,2,(2) ， 111 ijijp1) ) ,()(1111 ijijijjipyYxXPP 因为因为2.分布律的性质概率统计 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）联合分布联合分布离散型离散型,),(ijjipyYxXPi, j =1,2, ijijijpjip1, 2 , 1, 0X和和Y 的联合分布律的联合分布律 ,)(kkpxXPk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量X, 0kpkkp 1k=1,2, X的分布律的分布律 概率统计例1: : 一整数一整数X，随机地在，随机地在1，2，3，4四个数中取任一值，四个数中取任一值，另一整数另一整数Y随机地在随机地在1X中取值，求中

28、取值，求(X,Y)的分布律的分布律。 解：解： XY1 2 3 41 1/4 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4*1/4 2 0 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4 *1/43 0 0 1/4*1/3 1/4 *1/44 0 0 0 1/4 *1/4概率统计 若若(X,Y)的分布律为的分布律为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,则则(X,Y)的分布函数为的分布函数为 yyxxijjipyxF,),(其中和式是对一切满足xix , yjy求和。3.分布律与分布函数的关系概率统计例 若(X,Y)的分布律如下表，YX0 10 1/2 0 1 0 1/2求(X,Y)的分布函数。解解

29、 1, 1110 , 1210, 1021000),(yxyxyxyxyxF或或yx11概率统计1.定义：设：设(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y), ,若存在一非负函数若存在一非负函数f(x,y), ,使得对于任意的实数使得对于任意的实数x,y有有 dudvvufyxFyx ),(),( 则称(X,Y)是连续型二维随机向量,函数 f(x,y)称为二维 向量(X,Y)的(联合)概率密度. . 1),(),(2. 0),(1 Fdxdyyxfyxf）（）（2 2概率密度f(x,y)的性质四、二维连续型随机变量概率统计(3).(3).若若f(x,y)在点在点(x,y)连续，则有连续，则有

30、 .),(),(),(),(2 yxdudvvufyxFyxfyxyxF因为(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率 为: GdxdyyxfGYXP),(),( 在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 ,介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P(X,Y)G的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶面的柱体体积。 概率统计 badxxf)(连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的密度函数的密度函数1)(dxxf0)(xfbXaP二维随机变量（二维随机变量（X,Y）连续型连续型),(yxfX和和Y 的联合密度函数的联合密度函数0),(yx

31、f 1),(dxdyyxfdxdyyxfA),(),(AyxP2A概率统计例例1: 1: 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 其其他他0, 0, 0,2),()2(yxeyxfyx (i)求分布函数F(x,y); (ii)求概率PYX 解: (i) 0, 0, 0,2),(),(00)2(其他yxdxdyedxdyyxfyxFyxyxyx 其其他他即即有有0, 0, 0)1)(1(),(2yxeeyxFyx概率统计(ii)(ii)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标. .即有即有 YX=(X,Y)G 其中其中G为为xy平面上直线平面上直线y=x下方的部分下方的部分, ,如图如图, ,于是于是 0)2(312),(),()(yyxGdxedydxdyyxfGYXPXYP概率统计例例2: 2: 向一个无限平面靶射击向一个无限平面靶射击, ,设命中点设命中点(X,Y)的有概率密的有概率密度度 f(x,y)=A / (1+x2+y2)2,求：求：(1)(1)常数常数A；(2)(2)命中点与靶命中点与靶心距离不超过心距离不超过r0的概率的概率 . .解解: (1): (1)由概率密度的性质知由概率密度的性