第8章_理想流体有旋和无旋流动

1、第八章 理想流体的无旋和有旋流动第一节微分形式的连续方程l单位时间内x方向净质量流量dydzdxvxvxx2dxdydzxvx)(xzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzdxvxvxx2第一节微分形式的连续方程l同理：单位时间内y方向净质量流量dxdydzyvy)(lz方向：dxdydzzvz)(因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为: :dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为： dxdydztdxdydztdVtCVCV

2、l单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化量为：dxdydzt 第一节微分形式的连续方程l由质量守恒：即：控制体内流体质量的增长率即：控制体内流体质量的增长率 通过界面流出控制体的质量流量通过界面流出控制体的质量流量00)()()(zvyvxvtzyx微分形式的连续方程微分形式的连续方程0dAvdVtCVCSn第一节微分形式的连续方程引入哈密顿算子引入哈密顿算子kzjyixzvyvxvvzyxl连续方程：zvyvxvvzyx)()()()(0)(vt第一节微分形式的连续方程用欧拉法分析流体运动时:zvyvxvtdtdzyx当地导数当地导数迁移导数迁移导数0)(zvyvxvdtdzyx0)(vd

3、td0)()()(zvyvxvtzyx展开并整理，得：展开并整理，得：第一节微分形式的连续方程l散度：vzvyvxvvzyx)div(0)(divvt0)(divvdtd 微分形式的连续方程适用于微分形式的连续方程适用于所有流体所有流体（粘性、（粘性、理想），理想），所有流态所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。（层、紊、亚音速、超音速等）。第一节微分形式的连续方程l对定常流动：0)()()(zvyvxvzyx0)(divv0)(vl对不可压缩流体定常流动：0zvyvxvzyx0)(divv0 vl对不可压缩流体二维定常流动：0yvxvyx 0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44

4、),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv第二节流体微团运动的分解刚体的运动速度刚体任意参考点的平移速度刚体任意参考点的平移速度绕参考点的旋转速度绕参考点的旋转速度流体任一质点速度质点上任意参考点的平移速质点上任意参考点的平移速度度绕通过该点的瞬时轴旋转速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度变形速度变形速度第二节流体微团运动的分解l流体微团的运动流体微团的运动平移平移转动转动变形运动变形运动第二节流体微团运动的分解xzyABCDEFGHdxdydzyvxvzvdzzvdyyvdxxvvxxxx15 物理量物理量f= f(x,y

5、,z)是坐标的连续函数，当坐标是坐标的连续函数，当坐标有微小变化时，物理量也发生变化，并可用泰勒有微小变化时，物理量也发生变化，并可用泰勒级数表示为级数表示为 , ,( , , )fxx yy zzfx y zxyzf x y zxyz 211( , , )( , , )2!nxyzf x y zxyzf x y zxyznxyz 分析流体微团运动用图 第二节流体微团运动的分解dzzvdyyvdxxvvvxxxxFXdzzvdyyvdxxvvvyyyyFYdzzvdyyvdxxvvvzzzzFZ方程两边加上两个和为方程两边加上两个和为0的项，其值不变的项，其值不变xxxFXxvvvvvdxdy

6、dzxyz1122yzvvdydzxx11()()22yxxxzFxxvvvvvvvdxdydzxyxzx组合组合11 ()()22yxxzvvvvdydzyxzx11()()22yxxxzFxxvvvvvvvdxdydzxyxzx11 ()()22yxxzvvvvdydzyxzx移动移动 线变形运动线变形运动角变形运动角变形运动旋转运动旋转运动注：注：此关系也称为亥姆霍兹此关系也称为亥姆霍兹(Helmholtz)(Helmholtz)速度分解定理，速度分解定理， 该定理可简述为：该定理可简述为：在某流场在某流场O O点邻近的任意点点邻近的任意点A A上的速度可以分成三个部分，与上的速度可以分

7、成三个部分，与O O点相同的平点相同的平移速度（移速度（移动移动）；绕）；绕O O点转动在点转动在A A点引起的速度（点引起的速度（旋转运动旋转运动）；由于变形）；由于变形（包括线变形和角变形）在（包括线变形和角变形）在A A点引起的速度（点引起的速度（变形运动变形运动）。）。物理意义（物理意义（以平面流动进行分析以平面流动进行分析）1.平移运动平移运动向右移动向右移动dtvx向上移动向上移动dtvy2.线变形运动线变形运动每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度BDAC同理同理y向线变形速度：向线变形速度：yvyB、C在在x方向有速度差方向

8、有速度差dxxvvvxCxBx经过经过dt时间时间BC边伸长边伸长dxdtxvxxvx单位时间单位长度的伸长：单位时间单位长度的伸长：3.角变形运动角变形运动B、C在在y方向有速度差：方向有速度差：dxxvvvyCyBy在在dt时间内时间内BC线段将旋转：线段将旋转：ddACBdtxvdxdtdxxvddyytan同理，同理，AB在在dt时间线段将旋转：时间线段将旋转：dtyvx单位时间内直角单位时间内直角ABC变成锐角变成锐角ABC，变形速度为：，变形速度为：yvxvdtddxy定义定义XY平面的剪切变形率为：平面的剪切变形率为：)(21zyvxvxy同理可得：同理可得：)(21yxvzvz

9、x)(21xzvyvyz4.旋转运动旋转运动流体微团的旋转角速度的定义流体微团的旋转角速度的定义为为每秒内绕同一转轴的两条互每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的相垂直的微元线段旋转角度的平均值。平均值。规定逆时针旋转角度为正：规定逆时针旋转角度为正：ddACBBC边旋转的角度为：边旋转的角度为：dtxvdyBA边旋转的角度为：边旋转的角度为：dtyvdx轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx写成矢量形式为：写成矢量形式为：zyxzyxvvvzyxkjiVkji2

10、121根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。类：有旋流动和无旋流动。有旋运动和无旋运动有旋运动和无旋运动数学条件：数学条件： 当当 021V021V当当 无旋流动无旋流动 有旋流动有旋流动 在笛卡儿坐标系中：在笛卡儿坐标系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz即当流场速度同时满足：即当流场速度同时满足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy时流动无旋 需要指出的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关

11、。否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。【例例】某一流动速度场为某一流动速度场为 ， 其中其中a a是不为零是不为零的常数，流线是平行于的常数，流线是平行于x x轴的直线。试判别该流动是有旋流动还轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。是无旋流动。 ayvx0zyvv【解】【解】 由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以该流动是有旋运动。所以该流动是有旋运动。 021xvzvzxy推导理想流体运动微分方程用图第三节 理想流体运动方程 定解条件第三节 理想流体运动方程 定解条件在x方向：amF xpfdtdvxx1ypfdtdvyy1zpfdtdvzz1理想

12、流体的欧拉理想流体的欧拉运动微分方程组运动微分方程组矢量形式：矢量形式：pfdtvd1第三节 理想流体运动方程 定解条件l方程式左边展开：第三节 理想流体运动方程 定解条件l欧拉方程对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的。l当 时欧拉运动微分方程成为欧拉平衡微分方程。0zyxvvv01pf理想流体的运动微分方程的另一种形式此方程组称为此方程组称为兰姆（兰姆（H HLambLamb）运动微分方程）运动微分方程特点是把有旋流动凸现出来，无旋流动就大大简化特点是把有旋流动凸现出来，无旋流动就大大简化写成矢量形式写成矢量形式 212 2vvvfpt （* *） 如果流体是在有势的质量力作用下，流场是正

13、压性的，则：如果流体是在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则： xfxyfyzfz此时存在一压强函数此时存在一压强函数: : pPFd压强函数对坐标的偏导数有压强函数对坐标的偏导数有: : xpxPF 1ypyPF1zpzPF1将上述关系代入式（将上述关系代入式（* *），得），得: : 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx写成矢量形关系式写成矢量形关系式 2v2 v2FvPt l常见的正压流体1）等温（）等温（TT1）流动中的可压缩流体）流动中的可压缩流体;2）绝热流动中的可压缩流体）绝热流动中的可压缩流体;对于不可压缩流体，

14、对于不可压缩流体，ppF定解条件l方程组的封闭问题（能不能有唯一解）连续方程连续方程 1个个运动方程运动方程 3个个4个个未知量未知量,pvvvzyx5个个还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，const对于密度仅是压强的函数的流体对于密度仅是压强的函数的流体)(p定解条件l方程组的定解条件（结果符合实际吗？）定解条件初始条件边界条件定解条件一、初始条件 初始条件是指在起始瞬时初始条件是指在起始瞬时t0所给定的流场中所给定的流场中每一点的流动参数。每一点的流动参数。 也就是说，求得的解在也就是说，求得的解在t

15、0时所应分别满足的时所应分别满足的预先给定的坐标函数。预先给定的坐标函数。定常流动不需要给定初始条件。定常流动不需要给定初始条件。定解条件二、边界条件 边界条件是指任一瞬时运动流体所占边界条件是指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。空间的边界上必须满足的条件。 边界条件边界条件运动学条件：边界上速度运动学条件：边界上速度动力学条件：边界上的力（压强）动力学条件：边界上的力（压强）定解条件l运动学条件，例如：固体壁面 流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零

16、。即：应等于零。即：wnnvv 若固壁是静止的若固壁是静止的0nv在两种不同流体交界面上在两种不同流体交界面上nnvv21定解条件l动力学条件 流体在不同流体交界面或固体壁面上的动流体在不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件为：外界流体或壁面作用在流体上的力学条件为：外界流体或壁面作用在流体上的压强压强Pamb与位于交界面或壁面上该处流体质点与位于交界面或壁面上该处流体质点的压强的压强P的绝对值必然相等。的绝对值必然相等。ppambFlow InletFlow OutletWallWallWallWall第四节 欧拉积分式和伯努利积分式l关于理想流体欧拉运动微分方程的积分，目前仅对几种特殊的流

17、动可以进行，最常见的有定常无旋流动的欧拉积分和定常流动的伯努利积分。第四节 欧拉积分式和伯努利积分式l 积分的前提条件： 流动是定常的流动是定常的 作用在流体上的质量力是有势的作用在流体上的质量力是有势的1. 流体不可压缩流体不可压缩或为正压流体或为正压流体0tvtvtvtzyx第四节 理想流体运动方程的积分l在以上三个前提条件下,兰姆运动微分方程可简化为:欧拉积分式和伯努利积分式一、欧拉积分在在无旋无旋流动中流动中0zyx欧拉积分式欧拉积分式和伯努利积分式 对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能、和

18、动能的总和保持不变，而这三种机械能可以互相转换。欧拉积分式和伯努利积分式二、伯努利积分：对对有旋有旋流动，流动，沿某条流线沿某条流线求积分求积分欧拉积分式和伯努利积分式代入方程组，相加并积分，得： 由于是定常流动，流场中的流线和迹线重由于是定常流动，流场中的流线和迹线重合，因此合，因此dx、dy、dz就是在就是在dt时间内流体微团时间内流体微团的位移的位移dsvdt在三个轴向的分量。在三个轴向的分量。dtvdxxdtvdyydtvdzzconst22vpF 对于对于非粘性的不可压缩流体非粘性的不可压缩流体和和可压缩的正压流体可压缩的正压流体，在在有势的质量力有势的质量力作用下作作用下作定常有旋

19、定常有旋流动时，流动时，沿同一流线沿同一流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。欧拉积分式和伯努利积分式三、伯努利方程质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力gz不可压缩流体不可压缩流体constppFconst22vpgz常数pgzv22不可压流体、与外界无不可压流体、与外界无热量交换伯努利方程热量交换伯努利方程一、涡线、涡管、涡束一、涡线、涡管、涡束涡线涡管涡束涡通量在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充

20、满着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度用角速度 表示的涡量场（或称角速度表示的涡量场（或称角速度场）。场）。),(tzyx流线流管流束流量1.涡线涡线涡线是一条曲线，在给定瞬时涡线是一条曲线，在给定瞬时t t，这条曲线上每一点的切，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的根据涡通量矢量

21、与涡线相切的条件，涡线的微分方程为微分方程为:2.涡管涡管 涡束涡束在给定瞬时，在涡量在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一线，这些涡线形成一个管状表面，称为个管状表面，称为涡涡管管。涡管中充满着作。涡管中充满着作旋转运动的流体，称旋转运动的流体，称为为涡束涡束。涡管涡管3 3旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积在涡量场中取一微元面积dAdA，其上流其上流体微团的涡通量为体微团的涡通量为 ， 为为dAdA的外的外法线方向，定义法线方向，定义 2ndAdAnAddJn

22、2)cos(2为任意微元面积为任意微元面积dAdA上的旋上的旋涡强度，也称涡通量。涡强度，也称涡通量。 任意面积任意面积A A上的旋上的旋涡强度为：涡强度为： dAdAJnAA2 如果面积如果面积A A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于旋转角速它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于旋转角速度，而且取决于面积度，而且取决于面积A A。 涡通量涡通量一、速度环量一、速度环量u 涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。u 实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某实际

23、观察发现，在有旋流动中流体环绕某一一 核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。转范围越扩大。u 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。分布有密切关系。 速度环量速度环量：速度在某一封闭周线切线上：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。的分量沿该封闭周线的线积分。sdv)(dzvdyvdxvsdvzyx 速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个对非定常流动，速度

24、环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。积分时为参变量。规定沿封闭周线绕行的正方向为规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向逆时针方向，即封闭周线，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统右手螺旋系统。速度环量速度环量 沿微元矩形的速度环量 duuyydvvyyyyuxxuuddyyvxxvvddduuxxdvvxx于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将各速度值代入上式，略

25、去高于一阶的无穷小各项，得物理意义：沿微元封闭曲线的速度环量等于通过该曲线所包围面积的涡通量。斯托克斯定理yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAdJAyxyuxvzd2ddd 推广到任意有限封闭周线K。此时可以用互相正交的两组直线将平面和曲面划分为无数个微元封闭周线。微元封闭周线包围的面积为微元面积，可以视为平面。有 综合所有微元封闭周线，有由于周线K内各微元线段速度的线积分都要计算两次，而绕行方向相反，它们的线积分之和为0。所以所以,.)3 , 2 , 1(didJiiAniAdJd2,.)3 , 2 , 1(didJiisdvKKidAnKKdAsdv2l单连通区域单连

26、通区域区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为体的边界。这种区域称为单连通区域单连通区域。否则，称为。否则，称为多连通多连通区域区域。对多连通域：对多连通域：dAAnKK221 通过多连通区域的涡通量等于沿这个区通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。度环量总和之差。例：已知理想流体定常流动的速度分布试求涡线方程与沿封闭周线 的速度环量，a、b为常数。解：旋转角速度的各分量为代入涡线方程得积分后得涡线方程封闭周线所在平面流体微团

27、的涡量为由斯托克斯定理得22 1 2() ,0 xyzva yzvv222(0)xybz021zvyvyzx22 1 2122()yxzvvayxyyz 22 1 2122()xzyvvazzxyz22120dxdydzzyxCyzC 0,2xyza 222nzAdAAab 第七节第七节 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹旋涡定理一、汤姆孙（一、汤姆孙（W. Thomson）定理：）定理：对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。

28、行产生、也是不能自行消灭的。正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。量不随时间而变化。0dtd证明证明 ：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K K，它，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量可表示为式沿该线的速度环量可表示为式)(dzvdyvdxvsdvzyx)(dzvdyvdxvdtddtdzyx它随时间的变化率为：它随时间的变化率为：)()(

29、)()(dzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzyx由于质点线由于质点线K始终由同样的流体质点组成，始终由同样的流体质点组成， xdvdxdtd)(ydvdydtd)(zdvdzdtd)(将其代入上式等号右端第一项积分式：将其代入上式等号右端第一项积分式：)2()2()()()(2222vdvvvddvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzzyyxxzyx由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表示为示为:FzyxzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfd

30、xfdzzpfdyypfdxxpfdzdtdvdydtdvdxdtdv)(1)()1()1()1()(将上面的结果代入积分式将上面的结果代入积分式，并考虑到并考虑到 都是单值连续都是单值连续函数，得函数，得:Fpv,0)2(2FdPdvddtd常数斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。失。l旋涡的基本性质：旋涡的基本性质：1、亥姆霍兹第一定理：、亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡管各截面上的在理想正压性流体的有旋流场中

31、，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。旋涡强度相同。1a2a2b1b1A2A同一涡管上的两截面同一涡管上的两截面 K涡管上的封闭周线涡管上的封闭周线1a2a2b1b1A2A同一涡管上的两截面同一涡管上的两截面 K涡管上的封闭周线涡管上的封闭周线在同一涡管上任取两截面在同一涡管上任取两截面A1、A2，在，在A1、A2之间的涡管表面之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段上取两条无限靠近的线段a1a2和和b1b2。由于封闭周线。由于封闭周线b1A1a1a2A2b2b1所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：为零。根据斯

32、托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：AAA11 1 2 2 2 11 1 11 22 2 22 1b aa babAaaaa bbb 0由于由于 而而 ，故得，故得01221bbaa111222b A abA a 2 2 22 2 2a Abb Aa该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。终止于边界。涡管的存在涡管的存在自成封闭的管圈自成封闭的管圈起于边界、终于边界起于边界、终于边界.亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）

33、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。由相同的流体质点组成。K为涡管表面上的封闭周线，其为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由包围的面积内涡通量等于零。由斯托克斯定理知，周线斯托克斯定理知，周线K上的速上的速度环量应等于零；又由汤姆孙定度环量应等于零；又由汤姆孙定理，理，K上的速度环量将永远为零，上的速度环量将永远为零，即周线即周线K上的流体质点将永远在上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管体质

34、点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。其形状可能随时变化。 K涡管上的封闭周线涡管上的封闭周线. .亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。随时间变化。若周线若周线K K为包围涡管任意的截面为包围涡管任意的截面A A的边界线。由汤姆孙的边界线。由汤姆孙定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理截面截面A A上的旋涡强度为常数。因为上的

35、旋涡强度为常数。因为A A为任意截面，所以整个为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不随时间发生变化，即涡管的旋涡管各个截面旋涡强度都不随时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。涡强度不随时间变化。 由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。量，使涡管强度逐渐减弱。第八节 平面涡流 假设在理想不可压缩的重力流体中，有一象刚体一假设在理想不可压缩的重力流体中，有一象刚体一样以等角速度绕自身轴旋转的无限长铅直涡束，其样以等角速度绕自身轴旋转的无限长铅直涡束，其涡通量为涡通量为J J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕

36、涡。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴做等速圆周运动。束轴做等速圆周运动。一、平面涡流的定义一、平面涡流的定义bru涡束内的流动为有旋流动称为涡核区，其半径为涡束内的流动为有旋流动称为涡核区，其半径为u涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。u漩涡诱导的速度场是无旋的。漩涡诱导的速度场是无旋的。rv brr 0rv二、速度分布二、速度分布v漩涡内部漩涡内部: :流体像刚体一样绕定轴旋转，所以流体像刚体一样绕定轴旋转，所以漩涡内部流体的速度呈线性分布漩涡内部流体的速度呈线性分布Jrv 2v漩涡外部（环流区）漩涡外部（环流区）: :根据斯托克斯定理根据斯托

37、克斯定理brr rvv20rv三、压力分布三、压力分布1.1.漩涡外部（环流区）漩涡外部（环流区）: :流体定常且无旋压强分布由伯努利流体定常且无旋压强分布由伯努利方程式导出。方程式导出。pvp22l 式中的 即为 ， 为无穷远处的压强。将 代入上式得:vvpv222282rpvpp在环流区内随着半径的减小，流速升高而压强降低，在与涡在环流区内随着半径的减小，流速升高而压强降低，在与涡核交界处，流速达到最高值，而压强则是该区的最低值。核交界处，流速达到最高值，而压强则是该区的最低值。 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其压

38、强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运动微分方程为动微分方程为: : ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11xpx12ypy12将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上，则有，代入上式得将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上，则有，代入上式得: :将将 和和 分别乘以以上二式，相加后得分别乘以以上二式，相加后得: : dxdy2.2.漩涡内部漩涡内部: :,xyvy vx )(1)(2dyypdxxpydyxdx或 )2(222yxddp积分得积分得: : CvCrCyxp2222222121)(21在与环流区

39、交界处， ，代入上式，得积分常数： bbbbrvvpprr,222bbbvpvpC得涡核区的压强分布为 ：2222222121bbrrpvvpp 由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为 ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为 由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为 。涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式

40、分选机等。2bcvppbbcbppvpp221221b一一 速度势函数速度势函数对于无旋流场，其速度关系满足：对于无旋流场，其速度关系满足：zvyvyzxvzvzxyvxvxy对于对于 若满足上述关系，则它是成为某若满足上述关系，则它是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。一函数的全微分的必要且充分条件。dzvdyvdxvzyxztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyxtzyxvzyx),(),(),(),(),(),(xvxyvyzvz对于柱面坐标对于柱面坐标结论： 无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场

41、又称为有势流场。速度势的存在与必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。流体是否可压缩、流动是否定常无关。 1.1.有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若势流中有一曲线若势流中有一曲线ABAB，速度沿该曲线积分为：，速度沿该曲线积分为：ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(有势流动有势流动中沿中沿ABAB曲线的速度线积分等于终曲线的速度线积分等于终点点B B和起点和起点A A的的速度势之差速度势之差。由于速度势是。由于速度势是单值的，则该线积分与积分路径无关。单值的，

42、则该线积分与积分路径无关。速度势的特性 在在有势流动有势流动中当速度沿封闭周线积分时，周线上的速度环量中当速度沿封闭周线积分时，周线上的速度环量等于零。等于零。0)ddzvdyvdxvzyx如何根据速度分布求解势函数？如何根据速度分布求解势函数？dyyxvdxxvyxxyyx),()0 ,(),(00v根据无旋条件，速度有势：根据无旋条件，速度有势：0zvyvxvzyxv代入不可压缩连续性条件可得：代入不可压缩连续性条件可得： 02222222zyx拉普拉斯方程拉普拉斯方程2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子2.对于不可压缩流体，速度势是调和函数，满足拉普拉斯方程。 柱坐标系下 ：rv

43、rrv1zvz0201122222222zrrrx求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。边界条件求解拉普拉斯方程问题。二二 流函数流函数在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成可写成: :0yvxvyxyvxvyx此外，平面流动的流线微分方程为此外，平面流动的流线微分方程为由数学知识可知，此式是成为某个函数全微分的必要且由数学知识可知，此式是成为某个函数全微分的必要且充分条件充分条件0dxvdyvyxv若定义某一个函数（若定义某一个函数（

44、流函数流函数） :),(yxdyvdxvdyydxxdxyyvxxvy即函数即函数永远满足连续方程。很显然，在流线上永远满足连续方程。很显然，在流线上 0 0或或常数。在每条流线上函数常数。在每条流线上函数都有它自己的常数值，所都有它自己的常数值，所以称函数以称函数为为流函数流函数。平面不可压缩流体流函数的基本性质平面不可压缩流体流函数的基本性质1、等流函数线为流线、等流函数线为流线0dyvdxvdyydxxdxy当当 常数时常数时满足流线方程满足流线方程等流函数线为流线，每条流线有各自的常数值。等流函数线为流线，每条流线有各自的常数值。2、流体通过流体通过两流线间单位高度的体积流量两流线间单

45、位高度的体积流量等于两条流线的等于两条流线的流函流函数数之差之差v在在xy平面上任取平面上任取A和和B点，点，AB连线如图所示，则连线如图所示，则BAvl dVqdlyvvxvvBAyx,cos,cosdldldxxdldyyBAABBAd由不可压缩流体、平面、无旋流动条件有：由不可压缩流体、平面、无旋流动条件有：0yvxvxy将速度和流函数的关系代入上式得将速度和流函数的关系代入上式得022222yx在极坐标系中：在极坐标系中：011222222rrrr故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方程，也是调和函数。程，也是调和函数。3、

46、对于不可压缩流体，流函数是调和函数，满足拉普拉斯方程。 注意：注意：只要是不可压缩流体的只要是不可压缩流体的平面流动平面流动，就存在着流函数。就存在着流函数。 如果是如果是不可压缩流体的平面无旋不可压缩流体的平面无旋流动（即流动（即有势流动），必然同时存在有势流动），必然同时存在速度势速度势和和流函数流函数。三、三、速度势函数和流函数的关系（流网）速度势函数和流函数的关系（流网）对于不可压缩流体的对于不可压缩流体的平面无旋流动，平面无旋流动，速度势函数和流函数速度势函数和流函数都是调和函数，且具有以下关系：都是调和函数，且具有以下关系：yxvxxyvy该数学关系式称为该数学关系式称为柯西柯西黎

47、曼（黎曼（CauchyRiemen）条）条件件 。由它可得：。由它可得：0yyxx上上式是式是等势线簇等势线簇和和流线簇流线簇互相垂直的条件，互相垂直的条件，即正交性条件。即正交性条件。在平面上它们构成处处正交的网络，称为流网在平面上它们构成处处正交的网络，称为流网 。例：例：试证明不可压缩流体平面流动试证明不可压缩流体平面流动yyxvy22能能满满足足连续连续方程，是一个有方程，是一个有势势流流动动，并求出速度，并求出速度势势。 。解：解：,2xxyvxyyxvy2201212yyyvxvyx满足连续方程满足连续方程：dyvdxvdyydxxdyxxyvx2xxvy2xvyvyx流动为有势流

48、动流动为有势流动dyyyxdxxxy)()2(22例：例：试试求速度与流函数的表示式。已知平面流动的速度势函数求速度与流函数的表示式。已知平面流动的速度势函数224()xy解：解：8 ,8 ,xyvx vyxy 22 1/21();tan (/)yxyxvvvvv由于由于c=0并不影响流动的流谱，故得代并不影响流动的流谱，故得代表一簇双曲流线的流函数表一簇双曲流线的流函数由流函数定义，有由流函数定义，有8 ,=8( )xvxxyf xy积分得8( )8 ,( )=0( )=yyfxvyfxf xCx 即，8xy 例：已知流场的滞止压强为例：已知流场的滞止压强为101000Pa，流体的密度为1.

49、19kg/m3，平面流动的速度势函数平面流动的速度势函数 ，试求点（，试求点（2,1.5）处的速度与压强。处的速度与压强。222()/xyms解：解：24/ ,23/xyvxm s vym sxy 22 1/2()5/yxvvvm s由伯努利方程，有由伯努利方程，有22100985TppvPa求解势流流动压强问题的步骤求解势流流动压强问题的步骤(直接法直接法)1.求拉普拉斯方程求拉普拉斯方程 ，得到势函数，得到势函数 ；2.通过势函数与速度之间的关系式，得到速度分布；通过势函数与速度之间的关系式，得到速度分布；3.通过伯努利方程求压强通过伯努利方程求压强p.20;xyzvvvxyz22vpzC

50、gg第十节第十节 几种简单的平面势流几种简单的平面势流 一一.均匀流均匀流0 xyvvxyvyx v xv y定义：流体作等速直线运动流体中各点速度的大小和方向都相定义：流体作等速直线运动流体中各点速度的大小和方向都相同的流动称为均匀流。大小相同，流线平行的流动称为均匀等同的流动称为均匀流。大小相同，流线平行的流动称为均匀等速流。速流。设均匀流的速度为与设均匀流的速度为与x x轴平行那么轴平行那么 jvivvyx00对一般的情况，有对一般的情况，有dyvdxvdyydxxdyx00由势函数的定义由势函数的定义yvxvyx00dyvdxvdyydxxdxyo0yvxvxy00积分得积分得由流函数

51、的定义由流函数的定义积分得积分得l 显然，等势线 与流线 是相互垂直的两簇直线，如图所示。若已知来l 流速度 与x 轴的夹角 ，则有:l l 由于流场中各点的速度相同，流动无旋， 故处处有 常数 ，即在流场中各点的总势能保持不变。若是水平面上的均匀等势流，或者不计重力的影响（例如大气），则p =常数，即压强在流场中处处相等。Cyvxvyx00Cyvxvxy00cos0 vvxsin0 vvyv均匀等速流均匀等速流cossinsincosxvyvxvyv xvyvyvxv,90,0gzp二二.源流和汇流源流和汇流 源流：源流：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流动，这流体从某点向四周呈直线均匀

52、径向流出的流动，这个点称为源点。个点称为源点。汇流：汇流：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流动，这流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流动，这个点称为汇点。个点称为汇点。设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点流入的流设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点流入的流体速度只有径向速度而无切向速度体速度只有径向速度而无切向速度 。01rvrvvr a 源流源流 b 汇流汇流l 根据流体的连续性原理，在极坐标中流体流过任意单位高度圆柱面的体积流量 （也称为源流或汇流的强度）都相等，即 l l 上式中源流取正号，汇流取负号。根据上式， 只是 的函数，所以 l 积分得l 以上讨论表明，当

53、时， ，源点和汇点是奇点，以上 和 只有在 0时才有意义。流函数和速度的关系为:vqrqvvvr2drrqvdrdv222ln2ln2yxqrqvv0rrvrrrvvr10rvrvl 因此， 只是 的函数，故有 l l 上式积分得l 根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心圆，即 =常数；流线为不同极角的径线，即 =常数。 l 在水平面 面上，对半径 处和无穷远处列伯努利方程l l 代入速度值后l 由上式可知，压强随着半径的减小而降低。零压强处的半径为 。以上各式仅适用于 的区域。dqvrddv2xyqqvv1tan22rpvp222228rqppv21 / 2028vqrp0

54、rr r三三 势势涡（自由涡流）涡（自由涡流）l 若直线涡束的半径 ，则垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流中心称为涡点。涡点以外势流区的速度分布仍为 l 由以上关系式知， 时， ，所以涡点为奇点，该式仅适用于 区域。由此式可见， 只是 的函数。l 故有 l 积分得l 速度和流函数的关系为l 上式表明 只是 的函数，所以0brrrvvrvr2,00rv0rdvrdd2201rvrrvvdrrdrvd2点涡点涡rl 上式积分得l 由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 =常数；流线为不同半径的同心圆，即 =常数。与源流（或汇流）相反。点涡的强度即沿围绕点涡轴线上的环量l 0

55、时，环流为逆时针方向； 0，环流为顺时针方向。 由斯托克斯定理知，点涡的强度 取决于旋涡的强度。l 涡点以外势流区的压强和前述二维涡流流场压强分布相同，其分布关系仍满足伯努利方程。零压强处的半径为l l 上述各式的实际适用范围为 的区域。l rln2r2/12208pr0rr 第十一节第十一节 简单平面势流的叠加简单平面势流的叠加 几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。 研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。一一 汇流和点涡

56、叠加的流动汇流和点涡叠加的流动螺旋流螺旋流l 若汇流和点涡均位于坐标原点，组成一新的流场，其速度势和流函数为)ln(2121rqv)ln(2121rqv1vqrC evqeCr2rqrvvr2rrv2122228)(rqppv2/122208)(pqrrv螺旋流网螺旋流网 令以上的速度势和流函数为常数，得到的等势线和流线方 程分别为：v其图像为右下图所示，等势线和流线是两组相互正交的对数螺旋线，故称汇流和点涡叠加的流动为螺旋流。其速度分布为:v其适用范围应为：v压强分布可用前述方法导出，表达式为二二 源流和汇流叠加的流动源流和汇流叠加的流动偶极子流偶极子流vq2222)/()/(1)/()/(

57、tantan1tantan)tan(ayxayaxyaxyaxyaxyBABABA2222)()(ln4ln2)ln(ln2yaxyaxqrrqrrqvBAvBAv2222arctan22)(2ayxayqqqvpvBAvpp源源流流和汇和汇流流叠加叠加偶极偶极子子流流v组合流动的速度势和流函数为v两个强度 相等的位于点A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇叠加，如图所示。由于 是AP 、BP之间的夹角，在流线上 =常数， =常数。其图像为经过源点和汇点的圆线族l 当 时，源点和汇点无限接近，流量为无限增大，使得 取有限值，称这种流动为偶极流。M为偶极子矩，其方向由源点指向汇点。当 为

58、微量时，l l 故可得偶极流的速度势和流函数分别为l l 即l （1）l 即l （2） 0aMaqvqav2lim0.3/2/)1ln(32)(44lim)(41ln4lim220220yaxxaqyaxxaqvqavqavVrMyxxMcos2)(222)22(lim)2arctan2(lim22202220ayxayqayxayqvqavqavvrMyxyMsin2222l 若令式（1）等于常数 ，则得等势线方程l 即等势线的图像为圆心在（ ）点上，半径为 并与y轴在原点相切的圆簇，如图中虚线所示。令式（2）式等于常数 时，可得流线方程：l 即流线的图像是圆心为（ ）.半径为 并与x轴在原

59、点相切的圆簇，如图中实线所示。l 对速度势函数求偏导数，得出的偶极流的速度分布为（3）1C21221)4()4(CMyCMx0 ,41CM14 CM2C22222)4()4(CMCMyx24, 0CM24 CM2cos2rMrvr2sin2rMrv，第十二节 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动l 平行流（均匀等速流）和偶极流叠加,可用来描述流体绕过圆柱体无环流的流动.若均匀等速流的速度为 ,沿x轴正向流动,偶极流的偶极矩为M。l 一、平行流与偶极流的叠加一、平行流与偶极流的叠加l 1.流网 l 平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶极流：叠加：1222222

60、11() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr （4）（5） 流线方程为：() sin2MvrC当常数C取不同的数值时，可得如图所示的流谱。当C0时对应的流线，称为零流线。流体对圆柱体的无环量绕流 2、零流线 当常数C0时，即零流线的流线方程：() sin02Mvr由 ，得 。sin00,02Mv rr02Mrrrv 或 即：0y 0rr 可见，零流线为以坐标原点为圆心， 为半径的圆和x轴。02Mrrv二、平行绕流圆柱体无环流的流动1、流函数和速度势：2、流场中的速度分析（1）直角坐标系：因为：所以：02Mr