高考数学一轮复习(理)人教通用版6.2等差数列及其前n项和名师精编学案

1、名校名师推荐§6.2等差数列及其前n项和取新考明考情考向分析1 .理解等差数列的概念.2 .掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4 .了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在局考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度中低档.基础知识自主学习一回扣其础知识训练基址题目一r知识梳理1 .等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，

2、每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2 .等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a+(n1)d.3 .等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列.那么A叫做x与y的等差中项.4 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,mCN+).(2)若an为等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,nCN+),则迂可=am+an.若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an,bn是等差数列，则pan+qbn也是等差数列.(5)若an

3、是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,也，mCN+)是公差为md的等差数列(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,构成等差数列.Sn,一1若an是等差数列，则“n也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为2d.155.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn=na1an氏Sn=nai+nn1k2-2一6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=2n2+g数列an是等差数列？Sn=An2+Bn（A,B为常数）.7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d>0,则Sn存在最小值【

4、概念方法微思考】a+b1.“a,A,b是等差数列”是“A=2-的什么条件?提示充要条件.2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?提示不一定.当公差d=0时，Sn=na1,不是关于n的二次函数.3.如何推导等差数列的前n项和公式?提示利用倒序相加法.u基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打或“X”）（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（x）（2）等差数列an的单调性是由公差d决定的.（V）（3）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（x）（4）已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为一2.（V）数列a

5、n为等差数列的充要条件是对任意nCN+,者B有2an+1=an+an+2.（V）（6）已知数列an的通项公式是an=pn+q（其中p,q为常数），则数列an一定3列.（，）题组二教材改编等差数2.设数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于（）A.31B.32C.33D.34答案B解析由已知可得a1+5d=2,I5a1+10d=30,解得41d=3.cc8X7.0=8%H2d=32.3.在等差数列an中，若a3+a4+as+ae+a7=450,则a2+a8=.答案180解析由等差数列的性质，得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,，a5=90,a2+a8=

6、2a5=180.题组三易错自纠14.一个等差数列的首项为金,从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（）83c.7rd<258-3D.75<d<25答案D解析由题意可得a10>1,为w1,T-1a+9d>1,25即1t+8d<1,25所以暴"25.故选D.5 .若等差数列an满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时，an的前n项和最大.答案8解析因为数列an是等差数列，且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a0=ag+a9<0,所以为<0.故当n=8时，其前n项和最

7、大.6 .一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.1所以4.90t+2t(t-1)X9.80=1960,即4.90t2=1960,解得t=20.题型分类深度剖析真题照款深度剖析重点难点零维探究题型一等差数列基本量的运算一一一自主演练1.(2018全国I)记Sn为等差数列an的前n项和，若3s3=&+$4,a1=2,则a5等于()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析设等差数列an的公差为d,由

8、3s3=S2+S4,得33a+3><(211dL2a1+2><gi)xd+4a+竺今二1)xd,将a=2代入上式，解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4X(-3)=-10.故选B.2.(2018阜新*II拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若6a3+2a43a?=5,则S7等于()A.28B.21C.14D.7答案D解析由6a3+2a4-3a2=5,得6(a1+2d)+2(a1+3d)-3(a1+d)=5a1+15d=5(a1+3d)=5,即5a4=5,所以a4=1,所以S7=7=24=7a4=7.故选D.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及

9、五个量a1，n,d,an,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.题型二等差数列的判定与证明”师生共研例1在数列an中，a1=2,an是1与anan+1的等差中项.(1)求证：数列11乙是等差数列，并求九的通项公式；1(2)求数列：/流田勺前n项和Sn.解(1).an是1与anan+1的等差中项，2an-1l-2an=1+anan+1,an+1=,an.an+1-1=3-1=上,anan1_an_1+1an+11an1an1'=1,a1一1数列:1an 1首项为1,公差为1的等差数列,1= 1 + (n-1)=nn+ 1an =

10、-n-(2)由(1)得n an n(n+ 1)n n+ 1'一产心!(34+1_，、工 n n+ 1)1n+1 n+1 .思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an+1an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.(3)通项公式法：得出an=pn+q后，再根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法：得出Sn=An2+Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列.跟踪训练1数列an满足an+1=,1、(1)证明：数列=£I是等差数列;(2)求数列1,前n项和并证明:77 + + ->.SiS2S

11、n n+1一一an证明,an+1=2a+1，an+ 12an+ 1an 'an故数列,2为公差的等差数列.an+1即工-=2,an+1an-,1c(2)解由(1)知厂=2n1,an所以 s1 = nt1 + 2n-1Ln2Sn n2>n(n+ 1 ) n n + 1.n n+ 1证明：=+士+1=N>S1S2Sn12n1x22x3n+1=1,n+1n+T题型三等差数列性质的应用多维探究命题点1等差数列项的性质例2(2018本溪模拟)已知an为等差数列，a2+a8=18,则为的前9项和&等于()A.9B.17C.72D.81答案D解析由等差数列的性质可得，aI+a9=

12、a2+a8=18,则%的前9项和S9=9*a9L9X128=81.故选D.命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(2019锦州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S5=7,So=21,则S15等于()A.35B.42C.49D.63答案B解析在等差数列an中，S5,S10S5,S15S10成等差数列，即7,14,S1521成等差数列,所以7+(&521)=2X14,解得§5=42.已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2018,舞9黑段=6,则$020=答案2020解析由等差数列的性质可得燃也为等差数列设其公差为d,则S2 0192 019S2 0132 013=

13、6d= 6d= 1.S2020Si故2020'=彳+2019d=2018+2019=1,.S2020=1X2020=2020.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，m+n=p+q(m,n,p,qCN+),则am+an=ap+aq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i)；S2n-1=(2n1)an.跟踪训练2(1)已知等差数列an,a2=2,a3+as+a7=15,则数列an的公差d等于()A.0B.1C.-1D.2答案B解析,a3+a5+a7=3a5=15,.a§5).a5a233d,可得d=1

14、,故选B.(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则Sn取最大值时n的值为()A.6B.7C.8D.13答案B解析根据S3>0,S14<0,可以确定a+a3=2a7>0,a+a4=a7+a8<0,所以可以得到a7>0,a8<0,所以Sn取最大值时n的值为7,故选B.课时作业基础保分练1 .若an为等差数列，且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()11A.-2B.-2C.2D.2答案B解析由于a72a4=a1+6d2(a1+3d)=a1=1,1则a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,斛得d=.故选B.2 .在

15、等差数列an中，已知a1=2,az+a3+a4=24,则a4+as+a6等于()A.38B.39C.41D.42答案D解析由a=2,a2+a3+a4=24,可得，3a1+6d=24,解得d=3,'''a4+a5+a6=3a1+12d=42.故选D.3 .已知等差数列an中，a1012=3,S2017=2017,则S2020等于()A.2020B.-2020C.-4040D.4040答案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，S2017=a/：2017X2017=2a209X2017=2017a1009=2017,则a1009=1,据此可得，a1+a2020S

16、2020=2X2020=1010（a1009+a1012）=1010x4=4040.4 .程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A.65B.176C.183D.184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an,其中d=17,n=8,S8=996.由等差数列前n项和公式可得8为+81上X17=996,解得a1=65.由等差

17、数列通项公式得a8=65+（81）X17=184.5 .已知数列an是等差数列，前n项和为Sn,满足a+5a3=&,给出下列结论：a10=0;S10最小；&=&2；S20=0.其中一定正确的结论是（）A.B.C.D.答案C解析a+5（a+2d）=8a1+28d,所以a=9d,a0=a+9d=0,正确；由于d的符号未知，所以Sio不一定最大，错误；S7=7a+21d=42d,&2=12a+66d=42d,所以S=S2,正确；S20=20al+190d=10d,错误.所以正确的是，故选C.6 .在等差数列an中，若吗一1,且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>

18、0时，n的最小值为（）a8A.14B.15C.16D.17答案C解析二.数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，公差d>0,首项a1<0,an为递增数列.,.强1a8a8a9<0,a8+ag>0由等差数列的性质知,2a8=a+a5<0,a8+a9=a+a6>0.，当5>0时，n的最小值为16.7 .（2018北京）设an是等差数列，且ai=3,az+a5=36,则an的通项公式为.答案an=6n3（nCN+）解析方法一设公差为d.a2+a5=36,.（a+d）+（a1+4d）=36,1-2ai+5d=36.1ai=3,d=6,.,通项公式an=a

19、+（n1）d=6n3（nCN+）.方法二设公差为d,a2+a§=a1+%=36,a1=3,a6a1a6=33,d=6.51=3,.通项公式an=6n3（nCN+）.8 .（2019包头质检）在等差数列an中，若a7=2，则sin2a+cosa+sin2a13+cosa13=.答案0解析根据题意可得a+a13=2a7=兀，2a1+2a13=4a7=27t,所以有sin2al+cosa1+sin2a13+cosa13=sin2a1+sin（2兀一2a1）+cosa1+cos（兀一a1）=0.9 .等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且供=|三，则肥=.In2n十3b10答案56

20、41解析在等差数列中，S19=19a10,119=1930,因此如=强=3><19T=56b10T192X19+341.10 .已知数列>/an+1a是公差为2的等差数列，且a=1,a3=9,则an=.答案（n23n+3）2解析数列逝二一国是公差为2的等差数列，JUa1=1,ag=9,0an+i-0?i=(02-1)+2(n1),afa3102=GTa-1)+2, 30202=(la2-1)+2,.1.a2=1. Man+1-'7an=2n-2,M=2(n1)2+2(n2)2+2-2+1=2x6-21J_2(n-1)+1=n2-3n+3.，an=(n23n+3)2)n

21、=1时也成立.,22 .an=(n3n+3).111.已知数列an满足(an+11)(an1)=3(anan+1),a1=2,令*=an1(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式证明1_ 1an+11an 1anan+11(an+111an1)3'-bn=3,，bn是等差数列.,一11(2)解由(1)及出=彳4=匚1=1.知bn=Tn+|,33an-1=,an=n-5nn+2nn+2.12 .(2018全国H)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a=7,0=15.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=1

22、5.由a1=7得d=2.所以an的通项公式为an=a+(n1)d=2n9(nCN).(2)由(1)得SnMan=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为一16.力技能提升练13 .已知等差数列an的前n项和为Sn,bn=2an且bi+b3=17,bz+b4=68,则S10等于()A.90B.100C.110D.120答案A解析设an公差为d,b2+b4_2a2+2a4=2-+d+2a3+d=2d=68=4bi+b32ai+2a32ai+2a317一，.d=2,b1+b3=2a1+2a3=2a1+2a1+2d=17,2、=1,a1=0,.S10=10a1+1029d=1029X2=90,故选A.14 .设等差数列an的公差为9前8项和为6兀，记tan9=k,则数列tanantanan+1的前799项和是()7k2337k2117k27k211A.k2-1B.k2-1C.k2-1D.k2-1答案C解析等差数列an的公差d为9,前8项和为6国可得附+78*7*尹6兀,解得吩口tan antan an+1 =tan an+1 tan antan an +1 an )tanan+1tanantand则数列tanantanan+1的前7项和为1(tana8tana7+tana7t