不确定度对误差情况的定量估计

1、（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。2随机误差随机误差（1）标准差与标准偏差 真值A不可知，且测量次数k为有限次 s 实际上也不可知不确定度与数据处理不确定度与数据处理一、误差与不确定度误差与不确定度1误差与不确定度的关系误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差 Dx=x-A 其中A称为真值真值，一般不可能准确知道，常用约定真值约定真值代替。标准差 kAxik2)(lims理论公式计算结果理论值更高精度仪器测量结果标准值如物理常数等公认值约定真值：于是用标准偏差S代替标准差s： 1)()(2kxxxSi 单次测量的标准偏差 结果表述： xi S(x

2、) （置信概率68.3%） 真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S(x)的物理意义：的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： )(xSx （置信概率68.3%） 真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值 其中 ) 1()()(2kkxxxSi 平均值的标准偏差 （2）平均值的标准差例例 1：某观察量的 n 次独立测量的结果是 X1, X2, Xn。试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nXSXS)()(。 解： )(11nXXnX 由题知 Xi相互独立，则根据

3、方差合成公式有 )()(1)(212nXuXunXu 利用样本标准偏差的定义，可知 u(Xi)=S(X) i=1,2, ,n 故 nXSXnSnXSXSnXSXu)()(1)()(1)()(222 3系统误差与仪器误差（限）系统误差与仪器误差（限） （1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那部分误差称为系统误差。已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的取值范围。 （2）仪器误差（限）：由国家

4、技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过适当简化称为仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和（作用在仪器上的）被测真值之间可能产生的最大误差。 常用仪器的仪器误差（限）： 长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其最小分度的最小分度的1/2计算。 指针式仪表： D仪a%Nm 式中Nm 是电表的量程，a是准确度等级。 数字式仪表： D仪a%Nx+b%Nm 或 D仪a%Nx+n字 式中a是数字式电表的准确度等级，Nx是显示的读数，b是误差的绝对项系数，Nm是仪表的满度值，n代表仪器固定项误差，相当于最小量化单位的倍数。 电阻箱：

5、 D仪 式中R0是残余电阻，Ri是第i个度盘的示值，ai是相应电阻度盘的准确度级别。 iiiRRa0% 直流电位差计： D仪a% (100UUx) 式中 a 是电位差计的准确度级别， Ux是标度盘示值， U0是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的 10 的整数幂。 直流电桥： D仪a%(100RRx) 式中 Rx是电桥标度盘示值，a 是电桥的准确度级别，R0是有效量程的基准值，意义同上。 （3）B类不确定度的处理B 类不确定度与各种误差限之间的关系为 3Dbu 。 在物理实验中， B 类不确定度的来源通常包括以下三种： 仪器误差D仪、灵 敏 度 误 差 D灵和 估 计 误 差 限 D估。 其

6、 中 灵 敏 度 误 差 可 表 示 为 xnSDDD/2 . 02 . 0灵 。 4不确定度的合成不确定度的合成（1）直接测量 x： ua(x) ，ub(x) 则 )()()(22xuxuxuba （称为合成不确定度） （2）间接测量 y=f(x1, x2, , xn) 其中 x1, x2, , xn为为相相互互独独立立的的直直接接测测量量量量 则 iiixuxfyu)()()(22 或 iiixuxfyyu)()ln()(22 （3）最终结果表述形式： Nu(N)= （单位）结果有效数字的确定原则：结果有效数字的确定原则： 不确定度不确定度u(N)只保留一位有效数字；只保留一位有效数字；

7、测量结果测量结果N与不确定度与不确定度u(N)小数位数对齐。小数位数对齐。例例 2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为2sin2sinAAn。已测得A=600 2 ，黄光（汞灯光源）所对应的 =5058 3 ，则黄光所对应的折射率 nu(n)= 1.64790.0007 。 解： 6479.12060sin28550060sin2sin2sinAAn 2sinln2sinlnlnAAn d2ctg21d)2ctg2ctg(212sind212cos2sin)d21d21(2cosdAAAAAAAAAAnn000426. 0)180603(28550060ctg41)180602()2060ctg

8、28550060ctg(41)(2ctg41)()2ctg2ctg(41)(22222222uAAuAAnnu0007. 0000426. 06479. 1)()(nnunnu n u(n)=1.64790.0007 5有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则（1）有效数字）有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。（2）运算法则）运算法则 加减法：加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。与之取齐。N=A+B-C-D，则 )()()()()(2222DuCuBuAuNu 取决于 u(A)、u(B)、u(C)、u(D)

9、中位数最高者，最后结果与之对齐。 乘除法：乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。个数与该量相同。CDABN ，则 2222)()()()()(DDuCCuBBuAAuNNu 取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。 混合四则运算混合四则运算按以上原则按部就班执行。按以上原则按部就班执行。 特殊函数的有效数字：特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通过微分关系传播处理。失有效位数的前提出发，通过微分关系传播处理。 例例

10、3：某物理量的计算公式为 HdY/6 .11k ，其中 k 为常数，1.6为准确数，H16cm，d=0.1500cm。若使 Y 的表示式中分母的值具有 4位有效数字，正确测 H 的方法是 （ d ） 。 (a) 用游标卡尺估读到 cm 千分位 (b) 用米尺估读到 cm 百分位 (c) 用米尺只读到 mm 位 (d) 用米尺只读到 cm 位 解： 015. 0161500. 06 . 16 . 1Hd 分母 015. 16 . 11Hd为 4 位有效数字 即 H 只需 2 位有效数字即可，故应选 (d) 。 例例4： tg452 =1.00116423 最多可取几位有效数字？解： 令 y=tg

11、x ，其中 x=452 取)rad(00029. 01806011Dx则 00058. 000029. 0245cos1cos122DDxxy 即小数点后第四位产生误差 tg452 =1.0012 ，有五位有效数字。例例 5：双棱镜测波长的计算公式为SSbbxD，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。 Dx=0.28144mm b=5.9325mm b=0.7855mm S=27.65cm S=75.90cm D(b)/b=0.025 D(b)/b=0.025 D(S) =0.5cm D(S) =0.5cm u(Dx)=2.01010-4mm D(b)=0.005mm D(b)=0.005m

12、m D(S) =0.05cm D(S) =0.05cm 注：下标 1 代表来自方法误差，下标 2 代表来自仪器误差。 要求： （1）给出测量结果的正确表述（包括必要的计算公式） 。 （2）定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何？ 解： （1） mm1086716. 5)0 .7595 .276(7855. 09325. 528144. 04DSSbbx )ln(ln21ln21lnlnSSbbxDSSSSSSbbbbxxDDdd2d2d)(dd0111.0)()(2)(2)()()(222

13、22DDSSSuSSSubbubbuxxuu其中 000714.028144.010010.2)(4DDxxu； DDD000243. 039325. 52005. 023/ )(2)(00722. 032025. 0)(32123/ )(2)(22111bbbbubbbbbbu222122)(2)(2)(bbubbubbu222122)(2)(2)(bbubbubbuDDD00184. 037855. 02005. 023/ )(2)(00722. 032025. 0)(32123/ )(2)(22111bbbbubbbbbbuDD000279. 03)90.7565.27(05. 03/

14、)()(00279. 03)90.7565.27(5 . 03/ )()(2211SSSSSSuSSSSSSu22212)()()(SSSuSSSuSSSu（2）由前面的计算可知，不确定度主要来自 bbu2)(1和 bbu2)(1，次要因素是bbu2)(2、SSSu)(1和SSSu)(1，可以忽略的因素是xxuDD )(、bbu2)(2、SSSu)(2 和 SSSu)(2。 于是得()=0111.01086716.5)(4u=6.5310-6mm 即 u()=5877nm DD000279. 03)90.7565.27(05. 03/ )()(00279. 03)90.7565.27(5 .

15、03/ )()(2211SSSSSSuSSSSSSu22212)()()(SSSuSSSuSSSu若只考虑主要项的贡献：0102. 06)(2)(2)()(12121Dbbbbubbuu 则有 u()=6nm u()=5876nm 比严格计算的结果稍小但相差无几。1列表法：列表法：按一定规律把数据列成表格。列表原则：（1）表格的标题栏中注明物理量的名称注明物理量的名称、符号符号和单位单位；（2）记录原始数据记录原始数据（如记录刻度数，而不是记录长度）；（3）简单处理结果（如算出长度）或函数关系；（4）参数和说明（如表格名称、仪器规格、环境参数、常量以及公用单位等）。二、数据处理方法二、数据处理

16、方法2作图法：作图法：把实验数据用自变量和因变量的关系作成曲线，以便反映它们之间的变化规律或函数关系。作图要点： （1）原始数据列表表示原始数据列表表示见列表法； （2）用坐标纸作图用坐标纸作图，图纸大小以不损失有效数字和能包括所有点为最图纸大小以不损失有效数字和能包括所有点为最低要求低要求，因此至少应保证坐标纸的最小分格（通常为1mm）以下的估计位与实验数据中最后一位数字对应； （3）选好坐标轴并标明有关选好坐标轴并标明有关物理量物理量的名称（或符号）、的名称（或符号）、单位单位和和坐标分坐标分度值度值。其中分度比例一般取分度比例一般取1、2、5、10较好较好，以便于换算和描点； （4）实验

17、数据点以实验数据点以 +、等符号标出等符号标出，一般不用细圆点“”标示实验点；光滑连接曲线光滑连接曲线并使并使实验点匀称地分布于曲线两侧实验点匀称地分布于曲线两侧（起平均的作用）； （5）图解法求直线斜率和截距时，应：在线上取点在线上取点（不能使用实验点）；所取两点要相距足够远所取两点要相距足够远（以提高精度）；在图上要注明所取点的在图上要注明所取点的坐标坐标。 例例6：拉伸法测弹性模量的载荷伸长曲线如图所示，图上至少有5处绘制错误或不规范。它们是 坐标轴应标注物理量和单位 ， 轴上缺少分度值 ， 实验点应以醒目标记标出 ， 曲线应光滑连接 ， 计算点坐标标注不规范 。1.442.1623.6

18、424.26 3最小二乘法与一元线性回归法最小二乘法与一元线性回归法 （1）最小二乘法：）最小二乘法：对等精密度测量若存在一条最佳的拟合曲线，那么各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值。 例例7：试用最小二乘原理推导直线方程y=kx中回归系数k的计算公式。解：根据最小二乘原理应有 niiikxy12min)( 即 niniiiiniiiiniiixkyxxkxykxyk11211200)(20)( 于是得 22xxyxyxkiii （2）一一元元线线性性回回归归法法： 设直线方程 y=a+bx，其中自自变变量量 x 的的误误差差可可略略

19、 由最小二乘原理，应有 kiiibxay12min)( 即 kikiiikiiikikiiikiiiikiiikiiikiiiyxxbxayxbakxbxaybxaybxaybbxaya1112111112120)( 20) 1)( 20)(0)( 解之得 xbyxkxyyxyxaxxxyyxxkxyxkyxbiixiiiiiiiiiii222222)()(2 （3）相关系数）相关系数 r：用于检验 x 和 y 之间是否存在线性关系。)(2222yyxxyxxyr r 物理意义 轴平行的直线拟合直线为与之间无线性关系、增加而减小随增加而增加随之间线性相关强烈、通过全部实验点xiyixrixiy

20、rixiyriyixrbxayr00011 例例8：根据所给相关系数r作出实验点分布草图： r=-1 r=0.9993 r=0.015xyxyxy（4）回归法使用要点：）回归法使用要点： 自变量自变量x测量误差可略测量误差可略，即应选择测量精度较高的物理量作自变量； 因变量因变量y为等精度测量为等精度测量或近似等精度测量，即u(yi)近似相等； 作线性关系的检验作线性关系的检验：利用物理规律或作图等其它方法确认线性关系的存在；或检验相关系数是否满足|r|1。 例例 9：实验线路及测量数据如下，用一元线性回归法计算电压表内阻 RV（只写计算公式） 。 R () 20.0 50.0 100.0 2

21、00.0 300.0 400.0 V (V) 2.80 2.72 2.60 2.38 2.20 2.04 RVERV解： 根据线路图可得 VVRVRRE VERRRVV 计算 R、V1精度： 005. 00036. 004. 201. 080. 201. 0)(/1)/1 (00025. 0005. 00 .4001 . 00 .201 . 0)(，VVuVVuRRu 可知 R 的精度较高 故将公式变形为 ERERVV111 令 xRyV1 并设直线方程 y=a+bx 则有 VVRaERbEa11 baRV 4逐差法逐差法 （1）测量次数为偶数的逐差法）测量次数为偶数的逐差法nnnnnnnxx

22、yybxxyyb2211111,bnbnyyxxiinn iin iiin1111设自变量和因变量之间存在线性关系bxay， 并有一组实验数据：nnknnnyyyyxxxx211211,； 隔n项逐差，可得到取平均值 。例例 10：已知 R=R0(1+t)，实验数据如下，用逐差法求电阻温度系数（不要求计算不确定度） 。 t () 85.0 80.0 75.0 70.0 65.0 60.0 55.0 50.0 R () 0.3622 0.3565 0.3499 0.3437 0.3380 0.3324 0.3270 0.3215 解： R=R0+ R0t 并设 y=a+bx 则有 a= R0 b

23、= R0=a 即 ab ， 而利用逐差法可得： i 1 2 3 4 平均 Dt=ti+4-ti () 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 DR= Ri+4-Ri () 0.0242 0.0241 0.0229 0.0222 0.02335 75500116. 00 .200233. 0DDtRb 2626. 0)0 .54000116. 07312. 2(81)(175tbRna 故 3751045. 42626. 000116. 0ab（1/） 对于自变量 x 等间隔分布的情况，有xxxniinD 于是 Dniiinnyyxnb1)(1 求得b后，可由公式 iixbay 求出

24、iixbya 例例 11：迈克尔逊干涉仪实验数据处理 条纹吞吐 n 0 100 200 300 400 M2镜位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 条纹吞吐 n 500 600 700 800 900 M2镜位置 X (mm) 34.64465 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 解法一： 由逐差法可得 i 1 2 3 4 5 平均 N=ni+5-ni 500 500 500 500 500 500 d500=Xi+5-Xi (mm) 0.16160 0.16050 0.15970 0.

25、15885 0.15785 0.15970 )nm(8 .63850015970. 022500Nd22500500)()()(NNudduu其中 289. 035 . 0)()()mm(0000289. 0300005. 0)()mm(000648. 045)()()()()(500250050050025002500NuNududddudududubbiaba 于是 )nm(6 . 2500289. 015970. 0000648. 08 .638)()()(222222500500NNudduu 故 u()=6393(nm)解法二： 由逐差法可得 i 1 2 3 4 5 平均 N=(ni

26、+5-ni)/5 100 100 100 100 100 100 d100=(Xi+5-Xi ) /5 (mm) 0.032320 0.032100 0.031940 0.031770 0.031570 0.031940 )nm(8 .638100031940. 022100Nd 22100100)()()(NNudduu 其中 0577. 0355 . 0)()()mm(3500005. 0)(45)()()()()(100210010010021002100NuNududddudududubbiaba 于是 )nm(6 . 21000577. 0031940. 0000130. 08 .6

27、38)()()(222222100100NNudduu 故 u()=6393(nm) 处理原则：去掉中间的数据去掉中间的数据。 （3）逐差法说明）逐差法说明 逐差法多用在自变量等间隔测量且其测量误差可略去的情况，这样可简化计算。 使用逐差法要隔项进行，不应逐项逐差，后者一方面使测量精度降低，另一方面不能均匀使用实验数据。例例 12：重新处理迈克尔逊干涉仪实验数据 条纹吞吐 n 0 100 200 300 400 M2镜位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 条纹吞吐 n 500 600 700 800 900 1000 M2镜位置 X (mm) 34.64465 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 34.80280 解解： 去掉中间的数据后为 条纹吞吐 n 0 100 200 300 400 M2镜位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 条纹吞吐