博弈论中的讨价还价问题

1、主讲人：唐润主讲人：唐润 河海大学商学院河海大学商学院引子：孔融让梨与兄弟分冰引子：孔融让梨与兄弟分冰 孔融（153208年）小时候聪明好学，才思敏捷，巧言妙答，大家都夸他是奇童。4岁时，他已能背诵许多诗赋，并且懂得礼节，父母亲非常喜爱他。 一日，父亲的朋友带了一盘梨子， 父亲叫孔融他们七兄弟从最小的小弟开始自己挑，小弟首先挑走了一个最大的，而孔融拣了一个最小的梨子说：“我年纪小，应该吃小的梨，剩下的大梨就给哥哥们 吧。”父亲听后十分惊喜，又问：“那弟弟也比你小啊？”孔融说：“因为我是哥哥，弟弟比我小，所以我也应该让着他。”孔融让梨的故事，很快传遍了曲阜，并 且一直流传下来，成了许多父母教育子

2、女的好例子。 三字经中的“融四岁，能让梨。”就是出自这个典故。 问题：某年夏天，兄弟二人要分一块冰，但二人已不再谦让，情况会如何？1.1.概念回顾与方法介绍概念回顾与方法介绍子博弈精炼纳什均衡概念回顾子博弈精炼纳什均衡概念回顾 子博弈精炼纳什均衡：如果在一个完美的动态博弈中，子博弈精炼纳什均衡：如果在一个完美的动态博弈中，各博弈方的策略构成的一个策略组合满足在整个动态各博弈方的策略构成的一个策略组合满足在整个动态博弈及它的所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个博弈及它的所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称为该动态博弈的一个策略组合称为该动态博弈的一个“子博弈精炼纳什均子博弈精炼纳什均衡

3、衡”。 讨价还价是市场经济中最常见、最普通的事情，讨价讨价还价是市场经济中最常见、最普通的事情，讨价还价在博弈论中是典型的动态博弈问题，也是博弈论还价在博弈论中是典型的动态博弈问题，也是博弈论最早研究的一种博弈问题，其策略分析属于子博弈精最早研究的一种博弈问题，其策略分析属于子博弈精炼纳什均衡策略应用的一种。炼纳什均衡策略应用的一种。1.1.概念回顾与方法介绍概念回顾与方法介绍用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便方法。因为有限完美信息博弈的每一个

4、决策结都是衡的最简便方法。因为有限完美信息博弈的每一个决策结都是一个单独的信息集，每一个决策结都开始一个子博弈。一个单独的信息集，每一个决策结都开始一个子博弈。给定博弈到达最后一个决策结，该决策结上行动的参与人有给定博弈到达最后一个决策结，该决策结上行动的参与人有一个最优选择，这个最优选择就是该决策结开始的子博弈的一个最优选择，这个最优选择就是该决策结开始的子博弈的纳什均衡（如果该决策结上的最优行动多于一个，那么我们纳什均衡（如果该决策结上的最优行动多于一个，那么我们允许参与人选择其中的任何一个；如果最后一个决策者有多允许参与人选择其中的任何一个；如果最后一个决策者有多个决策结，那么每一个决策

5、结开始的子博弈都有一个纳什均个决策结，那么每一个决策结开始的子博弈都有一个纳什均衡）。衡）。1.1. 然后倒回到倒数第二个决策结（最后决策结的直接前列结），然后倒回到倒数第二个决策结（最后决策结的直接前列结），找出倒数第二个决策者的最优选择（假定最后一个决策者的找出倒数第二个决策者的最优选择（假定最后一个决策者的选择是最优的），这个最优选择与我们在第一步找出的最后选择是最优的），这个最优选择与我们在第一步找出的最后决策者的最优选择构成从倒数第二个决策结开始的子博弈的决策者的最优选择构成从倒数第二个决策结开始的子博弈的一个纳什均衡。一个纳什均衡。1.1.概念回顾与方法介绍概念回顾与方法介绍用逆向

6、归纳法求解子博弈用逆向归纳法求解子博弈精炼精炼纳什均衡纳什均衡3 3、如此不断直到初始结，每一步都得到对应子博弈、如此不断直到初始结，每一步都得到对应子博弈的一个纳什均衡，在这个过程的最后一步得到的的一个纳什均衡，在这个过程的最后一步得到的整个博弈的纳什均衡也就是这个博弈的子博弈精整个博弈的纳什均衡也就是这个博弈的子博弈精炼纳什均衡。炼纳什均衡。上述分析表明，用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什上述分析表明，用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡的过程，实质是重复剔除劣战略的过程：从均衡的过程，实质是重复剔除劣战略的过程：从最后一个决策结开始依次剔除掉每个子博弈的劣最后一个决策结开始依次剔除掉每个子博弈

7、的劣战略，最后生存下来的战略构成精炼纳什均衡。战略，最后生存下来的战略构成精炼纳什均衡。2. 2. 三回合讨价还价博弈三回合讨价还价博弈112不接受，出不接受，出S接受接受不接受，出不接受，出S2接受接受出出S1以分冰为例，解释三回合讨价还价博弈以分冰为例，解释三回合讨价还价博弈2. 2. 三回合讨价还价博弈三回合讨价还价博弈112不接受，出不接受，出S接受接受不接受，出不接受，出S2接受接受出出S1)10000(,22SS)10000,(11SS)10000(,22SSSS2SSS211000010000推广到三回合讨价还价博弈的数学模型推广到三回合讨价还价博弈的数学模型逆向归纳法分析：逆向

8、归纳法分析：v 先分析博弈的第三个回合，假设甲出价为先分析博弈的第三个回合，假设甲出价为S，那么贴，那么贴现到第一阶段，双方的得益现到第一阶段，双方的得益v 推回到第二回合，由乙出价推回到第二回合，由乙出价S2 给甲，他知道如果给给甲，他知道如果给甲的少于其第三回合得到的，那么会被拒绝，因此甲的少于其第三回合得到的，那么会被拒绝，因此他给甲他给甲 ，此时自己得益为，此时自己得益为v 回到第一回合，甲知道二、三回合的得益情况，因回到第一回合，甲知道二、三回合的得益情况，因此他给乙的收益不能低于其第二阶段此他给乙的收益不能低于其第二阶段 因此此时的甲方得益为因此此时的甲方得益为2. 2. 三回合讨

9、价还价博弈三回合讨价还价博弈22(10000) 10000SS 22, (10000)SS22SS210000S210000 10000S用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡思考题：思考题：1. 尝试推导四回合讨价还价时的情况。尝试推导四回合讨价还价时的情况。2. 如果双方的贴现率不同，那么情况又会如何？如果双方的贴现率不同，那么情况又会如何？2. 2. 三回合讨价还价博弈三回合讨价还价博弈无限回合讨价还价不像有限回合那样，有一个作为逆无限回合讨价还价不像有限回合那样，有一个作为逆向推理起始点的最后回合，因此按照常规思路，逆向向推理起始点的最后回合，因此按照常规

10、思路，逆向归纳法无法应用。归纳法无法应用。夏克德和萨顿夏克德和萨顿19841984年提出一种解决这个博弈问题的思年提出一种解决这个博弈问题的思路：对于一个无限回合博弈来说，无论是从第三回合路：对于一个无限回合博弈来说，无论是从第三回合开始还是从第一回合开始，结果都是一样的。都是由开始还是从第一回合开始，结果都是一样的。都是由甲先出价，如何双方交替，直到一方接受为止。甲先出价，如何双方交替，直到一方接受为止。 先假设整个博弈有个逆推归纳解，甲乙得益分别先假设整个博弈有个逆推归纳解，甲乙得益分别为为S S和和1000010000S S，这是逆推到第一回合的得益，根据，这是逆推到第一回合的得益，根据夏克德和萨顿的结论，如果从第三回合开始这个无限夏克德和萨顿的结论，如果从第三回合开始这个无限回合的博弈，则也是这个结果，第三回合得益分别为回合的博弈，则也是这个结果，第三回合得益分别为S S和和1000010000S S 。3. 3. 无限回合讨价还价博弈无限回合讨价还价博弈3. 3. 无限回合讨价还价博弈无限回合讨价还价博弈 这也就是说，当这也就是说，当t3t3时，从时，从t-2t-2期开始的博弈与从期开始的博弈与从t t期开始期开始的博弈完全相同，参与