选修一《抛物线》考点复习与同步训练（含答案解析）.docx

1、【思维导图】抛物线【常见考点】定义性质3.3 抛物线考点复习平面内与一个定点F和一条定直线1（点F不在直线1上）的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物 线的准线标准/=2px/= 2px? = 2py7= 2pyp的几何意义:焦点卢到准线/的距g（P>0）方程|y| F /y f图形未5。.。）对称轴X轴><轴焦点£。）信。同参心率1准线方程22P 2P2范围jr>0 , yeRx<Q , yeRy>Q, xe Ry<0 , xeR开口方向向右向左向上向下焦半径|叫f $Pf =-活+ $1必5$1羽=5$

2、设是过抛物线/ = 2次夕>0）焦点卢的弦，若A（xlty, 8（为，此），处弦48的倾斜角.则该抛物线X2 =-2py(p>0)经过点(6,-5),则36 = 10p,解得p =，故桥形对应的抛物1 Q线的焦点到准线的距离为P=飞.故选I)3.抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ,点A(6,y°)是C上一点，|人尸|=2，则=()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】根据抛物线焦半径公式可得：|AF| = 6 + g = 2所以p = 4本题正确选项：A考点三直线与抛物线的位置关系【例3】已知直线y = k(x + 2)(k>0)与抛物

3、线C:y2=8x相交于A、B两点,F%C的焦点, 若 | E4| = 2 FB，则 k=()A. -B. C. -D.3333【答案】D解析】将 y=k (x+2)代入 y2=8x,得 k2x2+ (4k-8) x+4k、0Q设交点的横坐标分别为Xa, Xb,则Xa+Xb二尸-4,Xa Xb=4.又|FA|=Xa+2, |FB|=xb+2, |FA|=2|FB|,888.2xb+4=Xa+2.Xa=2xb+2.将代入得 xB=-2, xA= -4+2= -2.3k3k3k/ g 16、Q故 Xa Xb二t-2 -2 二4.解之得 1?二一.而 k>0, Ak=，满足 >0.故选 D

4、.3/八 3好 J93【一隅三反】1.已知直线y = hc-l与抛物线r=8y相切，则双曲线x2 -k2y2 = 1的离心率为()A. V5B. V3C. V2D.吏2【答案】By = kx-【解析】由仁。，得疽_8丘+ 8 = 0，jr =8y.直线与抛物线相切，. = 64尸32 = 0,尸=上，22双曲线方程为X2-= 1,2可得。=1, C、= /3，所以离心率e = = y3 ,故选B.a2. 若直线2x-y + c = Q是抛物线x2=4y的一条切线，则【答案】-42x-y + c = 09【解析】联立直线和抛物线得到（ 2 ；nJ8工一4。= 0»左=。= -4.故寥=

5、4y答案为-4.3. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A.考点四弦长【例31（1）设尸为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A，B两点,则ABA亨B. 6C. 12D. 73(2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点，

6、。为坐标原点，则AOAB的面积为()9D. 一4【答案】(1) C (2) D【解析】由题意，得F(|,0).又因为k = tan30°=争，故直线AB的方程：),与抛物线y2=3x联立，得16工2_168乂 + 9 = 0，设A(x,yB(x2,y2),由抛物线定义得,AB =折 +x2 + p =些+2 = 12,选C.16 2 (2)由题意可知：直线AB的方程为y = 3§(x j),代入抛物线的方程可得: 4y212jy_9 = 0,设A(xp B(x2, J2),则所求三角形的面积为I 3 9+ 力)一4乂了2 ，故选 D."1直线,的方程然后和抛物线方

7、程联立，再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式I【一隅三反】. AB J1 + 6+ *2) 4工花1.己知直线2x + my-S = 0经过抛物线x2=4y的焦点，与抛物线相交于A，3两点，。为坐标原点，则Q43的面积为()D. 1C. 4【答案】B【解析】因为抛物线x2=4y的焦点为(0,1), 所以代入直线方程得m-8 = 0,即m = 8,所以直线方程为 > =一上工+ 1,4与抛物线方程联立得/ +工4 = 0 ,所以弦长AB =.il +(-V I 4J又点。到直线y = -x + l的距离为'414a/174宥16所以AA如的面积为,号号普=件故选B.2.抛物线C:y

8、= ax2(a>0)的焦点F是双曲线2y2 -2x2 = 1的一个焦点，过F且倾斜角为60°的直线/交。于则AB=()B. 43+2D. 1616C. 3【答案】I)【解析】由抛物线C: y = ax2 (q >0)可知焦点F(0,),由双曲线2尸-2x2 = 1的上焦点4。坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,)是双曲线2尸2/ = 1的一个焦点，可得-L = 1, a4a得a = ：,得抛物线方程为y = F 由题意得直线/的方程为y = Jlr +1,设A(光，乂)，B(32)y = V3x +1 联立<1消，化简得%2 -4a/3x-4 = 0,则有：工+

9、花=4右，工1尤2 = -4 ,y = X4所以由弦长公式期=Jl + 必/(而+工2)2_4中2 = Jl + (0)顼4句2_4(t)=16. 故选:D.3. 已知点A，B是抛物线C： y2=4x±的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F ,若AB的中点到y轴的距离为2,贝|J AB=()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】设双知乂)，6(易,力)，AB=xi+l + x2+=xi+x2+2,而A3的中点的 横坐标为丑0. = 2,所以|&B|=4+2 = 6.故选C.考点五定点定值【例5】已知抛物线C ：尹=2再(p > 0),过其焦点F作斜率为1的直线

10、交抛物线。于A ,B两点，且线段的中点的纵坐标为4.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 若不过原点。且斜率存在的直线/与抛物线。相交于。、E两点,且OD1OE.求 证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)=戳；(2) (8,0).【解析】(1)设A，B两点的坐标分别为(与,以)，(与?，)，则兄=2p" 晃=2p知 两式相减得(以+ %)(以一%) = 2p(x乌).即（小*= = 2,又线段的中点的纵坐标为4,直线的斜率为1,.8 = 2p,. =4.即抛物线C的标准方程为尸=8x.(2)设直线/： y = kx+b(b0)与抛物线C： y2 =8x交于点。(而”),

11、研花见)，y = kx + b、寸=8尤町+舫=0、八？灿0,._ 8/?寸犬 b2涉2=后，皿=亏=在,h由 ODLOE 得玉易 + 乂力二。，即一=一8, b = Xk, k直线为 y = k（x8）, ./ 过定点（8,0）.【一隅三反】1. 如图，已知点F为抛物线C： y2 =2px （p>0）的焦点，过点F的动直线1与抛物线C交于此N两点，且当直线1的倾斜角为45。时，|枷|=16.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM, PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1） y2=8x （2）存在唯一的点P（2,0）,

12、使直线PM, PN关于x轴对称【解析】（1）当直线1的倾斜角为45。，贝的斜率为1,/./的方程为y =尤一§py - x2 y2 = 2px,N（X?, %），则尤1 +尤2 =3，/. MN =而 +x2 + = 4p = 16, p = 4 , .抛物线C的方程为y2=8x.（2）假设满足条件的点P存在，设尸（。,0）,由（1）知F（2,0）,当直线1不与x轴垂直时，设1的方程为了 =比（尤一2）（上主0）,y2），得矽J _（42+8）x + 4R2 =0,A =(4炉 + 8)2 _4炉4k2 = 64k2 +64>0,玉+易二二检，x/2=4.直线PM, PN关于x

13、轴对称, 八虹入1一2) , k(x? -2) kpM + kpN = 0, kpM ，kpN x-ax2-a_2）（工2 _） +（易 2）（工ci k 2工工2 _（ + 2）（而 +工2）+ 4a 0, a = 2 时，此时 F（2,0）.当直线1与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM, PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点尸（-2,0）,使直线PM, PN关于x轴对称.2 22. 己知抛物线C:y2=2px （p>0）的焦点F和椭圆+ = 1的右焦点重合，直线世过点F交抛43物线于A、B两点.（1）求抛物线C的方程；若直线占交y轴于点M,且MA =

14、 mAF,MB = nBF ,田、n是实数，对于直线乩m+n是否为 定值？若是，求出m+n的值；否则，说明理由.【答案】（1） y2=4x； （2） -1【解析】（1） .椭圆的右焦点日（1,0）,.么=1, = 2,.抛物线C的方程为尸=4工（2）由己知得直线1的斜率一定存在，所以设1： y = k（x l）,/与y轴交于M（0,比）， 设直线1交抛物线于）,8（冬况），由'而 T）n好尤2 2侬2 + 2）工+好=o , 广=4x2/.A = 4以 2 + 2)5. 已知抛物线C：尸土的焦点为F, A（x0, y0）是C上一点，且俱尸| = 2%,则x° =8（）A. 2

15、B. ±2C. 4D. ±4 4" = 16(F +1) a 0 而 + 易=2k ,和易=1，又由 MA = mAF,:. (Xj, +k) = m(-xi即m=同理 =Ml-x2心=工+工=-2心=_-Xx 1-X21 - (Xj + x2) + Xj x2所以，对任意的直线1, m+ n为定值T.3. 3 抛物线同步练习【题组一抛物线的定义】1. 已知抛物线）2=4兀上一点P到准线的距离为4,至0直线/：4x-3y + ll=0为勺，则 d+d2的最小值为（）A. 3B. 4C. y/5D. J72. 若抛物线寸=2px（p > 0）上的点A（x

16、76;,扼）到其焦点的距离是A到V轴距离的3倍，则等于（）1 3A. B. 1C. D. 22 23. 已知抛物线/=4x±点B （在第一象限）到焦点F距离为5,则点B坐标为（）A. （1,1）B. （2,3）C. （4,4）D.（4,3）4. 已知抛物线尸=工上的点心到其焦点的距离为2,则M的横坐标是（）3 579A. B. C. D.2 2446. 若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是()A. p<lB. p>lC. p<2D. p>27. 若点P为抛物线C:y = 2b上的动点，F为C的焦点，贝IJIPFI

17、的最小值为()1 11A. 1B. C. D.2 48【题组二抛物线的标准方程】1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点气>§是抛物线C上一 点，以点M为圆心的圆与直线x = E交于E, G两点，若sinAMFG =-,则抛物线C的2 3方程是()A.寸=工B. y1 = 2xC. y2 = 4xD. y2 = Sx2. 设斜率为2的直线l过抛物线>2=q尤(。0)的焦点F,且和y轴交于点A.若Q4F(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()A. y2 = 4xB. y2 = 8xC. y2= ±4xD. y2= ±8xA

18、. XIB.吏V63 .设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为。，准线为/，过焦点的直线分别交抛物线于A, B 两点,分别过A8作/的垂线,垂足为C,D.若AF =3BF ,且三角形CDF的面积为, 则的值为()C.3 3234. 已知点A(0,2),抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为F,射线与抛物线C交于点M，与抛物线准线相交于N, MN = 45FM9则P的值为()A. 4B. 1C. 2D. 35. 已知点归(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则 =；点M到抛物线C的焦点的距离是6. 己知抛物线。：尸=2px(p>0)的焦点为F ,准线为/.

19、若位于工轴上方的动点A在准AF=1,则抛物线。的标准方程为AF线/上，线段A尸与抛物线。相交于点3,且kBF7. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆必+ y26工一7 = 0相切，则的值为.【题组三直线与抛物线的位置关系】1. 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条2. 己知过点M (1, 0)的直线AB与抛物线y-2x交于A, B两点，0为坐标原点，若0A, 0B的斜率之和为1,则直线AB方程为.3. 直线4kx-4y-k =。与抛物线尸=尤交于两点，若|AB|=4,则弦AB的中点到直线尤+上=0的

20、距离等于24. 设抛物线/ =4%的焦点为F ,过F的直线/交抛物线于两点，过A3的中点M作3y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点尸，若pf =一,则直线/的方程为.2【题组四弦长】1. 已知为抛物线C:y2 =4x±的不同两点，"为抛物线。的焦点，若AB = 5FB则 AB=()2525A. B. 10C. D. 62 42. 过抛物线C： y2=4x的焦点尸的直线交抛物线C于人0,乂)、B(x2,y2)两点，且4尤+无=,则弦的长为()- 316108A. B. 4C. D.3 333. 过抛物线/ =4x的焦点作直线交抛物线于4(工,乂)，顼如见)两点，若尤1+尤2=

21、6,则| AB的值为()A. 10B. 8C. 6D. 44. 己知过抛物线y2=4x焦点F的直线/交其于A,B两点，O为坐标原点.若AF = 3,考点一抛物线的定义【例1】已知抛物线C:x .若抛物线¥ =16y上一点J。,)到焦点的距离是该点到工轴距离的3倍，则=(=Sy的焦点为F ,。为原点，点尸是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线。上，且AF =4,则+ P0的最小值为()A. 4a/2B. 2/13C. 3V13D. 46【一隅三反】1.已知抛物线C: 丁二工的焦点为F ,火气,)是C上一点,| AF=x0，则气=(D. 8A. 4B. 2C. 1B. V2C. 1D.

22、 23. 已知点M是抛物线J=4y上的一动点，F为抛物线的焦点,A是圆C:3 1)2+(4尸=1上一动点，则|M4| + |"|的最小值为(A. 3B. 4C. 5D. 6考点二 抛物线的标准方程【例2】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点M在。上，MF =5,若以馈为直径的圆过点&建N3,则C的方程为()A. y2 =4尤或,2= 8工B. ,2=2尤或了2=8工则AAOB的面积为.5. 过抛物线y2 =4x的焦点F作倾斜角为45。的弦AB,则的弦长为JT6过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为一的直线交抛物线于P、Q两点，。为坐标原点，则左4POQ的面积为【题

23、组五定点定值】1. 已知F为抛物线C:y2=2px(>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A. B两点.当直线与尤轴垂直时，|AB|=4.(1) 求抛物线。的方程；(2) 设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线I相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线24, PM , P3的斜率成等差数列，求点尸的坐标.2. 已知H是抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点，点M(x0,4)在抛物线±, k|MF| = |x0.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 若A、3是抛物线C上的两个动点，且OALOB, 0为坐标原点，求证：直线A3过定点.3. 已知点F是抛物线C: y=2px (p

24、>0)的焦点，点M (x°, 1)在C上,且| MF |二气.4求p的值；(2)若直线1经过点Q (3, -1)且与C交于A, B (异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4. 在直角坐标系XQV中，曲线C： y二才与直线y = Ax+o，S>0)交与M,N两点，(I )当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有ZOPMZOPN?说明理由.5已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点人(1,2)为抛物线C上一点.(1) 求。的方程；(2) 若点B(L2)在C上，过3作。的两弦砰与BQ,若知户知q=2,

25、求证:直线PQ过定点.6. 已知抛物线C； y1 =2px过点A(l,l).AM（1）求抛物线C的方程;（2）过点P（3,-1）的直线与抛物线C交于M, N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM, AN的斜率分别为灯,k29求证：的优为定值.3.3 抛物线同步练习答案解析【题组一抛物线的定义】1. 已知抛物线>2=4兀上一点P到准线的距离为4,至IJ直线/：4x 3y + ll = 0为，则d,+d2的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. J7【答案】A【解析】抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点”的距离，所以过焦点F作直线4x 3y +11 = 0的垂线，则该点到直线的距离为+

26、%最小值，如图所示;由 8(1,0),直线4x 3y + ll = 0,所以d+d? =4-0 + 11|_故选A.2. 若抛物线/= 2px（p > 0）上的点A（x0,V2）到其焦点的距离是A到J轴距离的3倍,则等于（1A.2B. 1C.D. 2【答案】D【解析】由题意，3x°=x°+f, p Xo= 一4g = 2Vp>0, A p-2.故选 D.3. 己知抛物线/=4x±点、B （在第一象限）到焦点E距离为5,则点B坐标为（）A. （1,1）B.（2,3）C.（4,4）D.（4,73）【答案】C【解析】设B（书为）,（月0）,因为点B到焦点F距

27、离为5即BF = 5,根据抛物线定义：BF = x0+ = x0+l = 5,解得：劣0=4, 代入抛物线方程尸=4们得为 =4 即8（4,4）故选：C4. 已知抛物线y2=x±的点M到其焦点的距离为2,则M的横坐标是（）3A. 一25B. 一27C.49D. 一4【答案】C【解析】抛物线f焦点以,0）,准线方程为“T设点M的横坐标为气，根据抛物线的定义，IMF=xq+ = 2,:.xq7 .故选:c45.已知抛物线C： y 的焦点为8A（x0, y0）是C上一点,且|AF| = 2y0,则工（）A. 2B. ±2C. 4D. ±4【答案】【解析】x2 =8y ,

28、如图,由抛物线的几何意义，可知AF = Al = 2yQ = yQ + 29所以乂=2, 所以气=±4 ,故选D.6. 若抛物线y2 = 2px （p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是（）A. p<lB. p>lC. p<2D. p>2【答案】D【解析】.设p为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x = -2的距离，2显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值已.2.丑>1,即p>2.2故选：D.7. 若点尸为抛物线C:y = 2x2±的动点，F为C的焦点，贝IJIPNI的最小值为（）1 11A

29、. 1B. C. D.2 48【答案】D【解析】由y2x2,得工？ = y,.2p =,则9222 8由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为:.故选D.8【题组二抛物线的标准方程】1. 已知抛物线C:y2=2px（>0）的焦点为F,点心（气,2扼）尤0>，是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x = 2交于E, G两点，若sinZMFG =-,则抛物线C的23方程是（）A. y2B. y2 = 2xC. y1 - 4xD.y2 =8x【答案】C【解析】作MD上EG,垂足为点D.由题意得点心尤。42J在抛物线上,则8 = 2pm得pm =4.由抛物线的性质，

30、可知，|川3-勺 因为 sinZMFG = L,所 VXDM =MF |=i x0+3 331所以§入。+*，解得：玉）=p .由，解得：x（）= p = 2 （舍去）或x（）= p = 2.故抛物线C的方程是y2=4x.故选C.2. 设斜率为2的直线I过抛物线>2=毅（3。0）的焦点F,且和y轴交于点A.若Q4F（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（）A. y2 = 4xB. y2 = 8xC. y2=±4xD. y2=±8x【答案】D 【解析】y2=尤的焦点是F（-,0）,直线/的方程为y = 2（x 幺），令工=0得4 4y = ,A（0,）,

31、所以由 ZXQ4尸的面积为4 得， = 4,a2 = 64,a = ±8，故选 D.222 2 43. 设抛物线y2=2px （p>0）的焦点为F,准线为/,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A8作/的垂线,垂足为C,。.若AF =3 BF ,且三角形CDF的面积为, 则的值为（dW【答案】C【解析】过点B作酗/交直线AC于点虬 交尤轴于点N,设点 A（Wi）、B（x2,y2）,=3阴得也+普35言即尤| -3x2 = p ,又因为膺出W,所以NF _ BF_4所以阴=*工2)，所OF = ON + NF = x2+-(x-x2) = -,由可解得 , x2 =268

32、在RtAABM 中，AB = x+x2 + p = -p9AM=xx-x2=-p,4 )p3 J所以BM =2 4V3=P，3所以SCDF解得P =%P=_E （舍去）,22故选：C4. 已知点A（0,2）,抛物线C： y2=2px（po）的焦点为尸，射线与抛物线。交于点M，与抛物线准线相交于N, MN = >j5FM,则P的值为（）A. 4B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】依题意F点的坐标为（贝，0）,设M在准线上的射影为K2由抛物线的定义知|MFh|MK|,MN 50-24则 |KN|： |KM|=2： 1,g p-=2得质2,选C.P；点M到抛物线C的焦5. 巳知点M(l,

33、2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则=点的距离是【答案】22【解析】点"(1,2)代入抛物线方程得：22=2pxl,解得：p=2； 抛物线方程为：y2=4x，准线方程为：Q-1,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：1 ( 1) = 2故答案为2, 26.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,准线为/.若位于工轴上方的动点A在准AF线/上，线段与抛物线C相交于点6,且品 - AF=1，则抛物线C的标准方程为BF【答案】y2=2x7T【解析】如图所示，设ZAFO = a(0<a<-), 过点B作BBf±l于点由抛物线的定义知，BF

34、= BB' , FC =p, ZABBf = ZAFO = a；BB' BF 在RtAAB'8中，cosa =, BF = ABcosa ,AB AB从而 AF = BF + AB = AB (1 + cos a)；AB (1 + COS6Z)-AF =19所以 - AF =19AB cos a即"socos a-AF =1,所以 AF =cos a在 RtAAFC 中,cos a =CFAFpAF,p= AF coscr,所以 p -cos a -1 , cos a所以抛物线C的标准方程为尸=2厂 故答案为寸=2x.7. 已知抛物线y2=2px(>0)

35、的准线与圆x2 + y2-6x-J = 0相切，则的值为.【答案】2；【解析】抛物线y2px (p>0)的准线方程为x=-*因为抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x - 3) 2+y2=16相切，所以3+芝=4，解得p-2.故答案为2【题组三直线与抛物线的位置关系】1. 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条2. 已知过点M (1, 0)的直线AB与抛物线y2x交于A, B两点，0为坐标原点，若0A, 0B的斜率之和为1,则直线AB方程

36、为【答案】2x+y-2=0【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+l,代入y2=2x得y2-2ty-2 = 0,设 A (xi, yD, B 3, y2),则-2, yi+y2=2t,7 y. y7 222( y. + y7)4?_1所以= 一 + = =" = _2，-2t = 1 ,解得'=_ ,尤1工2 乂 力 乂力一 22.直线AB的方程为：x二Ly+1,即2x+y-2=0.故答案为2x+y-2=023. 直线4kx-4y-k =。与抛物线,2=尤交于人,8两点，若|AB|=4,则弦A3的中点到直 线工+上=0的距离等于29【答案】一4 【解析】如图，直线4kx

37、-4y-k = 0过定点（；，0）,4而抛物线的焦点F为（：,0）, .弦AB的中点到准线x = 的距离为41 AB|= 2 ,4 21 1 9 则弦AB的中点到直线尤+ = 0的距离等于2 + -=.2 4 49故答案为：.4y4. 设抛物线/ =4%的焦点为F ,过F的直线/交抛物线于两点，过A3的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点尸，若"尸|=邑，则直线/的方程为2【答案】sj2x-y-y/2=0【解析】 。 .抛物线方程为=4x,.抛物线焦点为（1,0）,准线为/： = 1,设人（茶,乂）,研入2况）,因为P在第一象限，所以直线A3的斜率k>Q,设直线AB方程

38、为y = R（xl）,代入抛物线方程消去儿 得好?一（2必+4）伯+号=0,2 好+4t.JCj + %2 =?为尤2 = I，.过的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P, 设p点的坐标为（入0，乂），可得yo=!（yi + V2），.Y =灯而一1）见=灯易一1），乂 +力=化（尤1 +易）一 2人=SA.25TB. 10D. 62 112）得到=,.5=尸，可得尸2心， （| ¥4 3PF =二，. j 1 H-= , 解之得 k2 = 2，2k2） k2 2所以k = e直线方程为y = J3（ 1），即J公y 扼=0,故答案为JIxy 一很=0.【题组四弦长】1. 已知A,B为

39、抛物线C:/=4x±的不同两点，。为抛物线。的焦点，若AB = 5FB则 AB=()【答案】C【解析】设A（玉，乂）,8（工2，力），则人8 =（尤2尤1，2一乂），又 F（1,O）, A FB = （x2-l，3；2） , A x2-x）=5j:2-5,力一乂=5力，C. y1 = 4尤或 >2 = 16xD. y2 = 2x 或 y2 = 16x【一隅三反】1. 抛物线y = ax2的焦点是直线x + y-1 = 0与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（）1A x = B. x =1411C. y =D. y = _l42. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境

40、之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5秫，跨径为12秫，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）18D. m5A. 4B. 3C. 2D. 13. 物线C:;/ =2双（>0）的焦点为F ,点（巧允）是C上一点，泌尸| =2p,则=（考点三直线与抛物线的位置关系【例3】已知直线y = #3 + 2）（妃>0）与抛物线C:/=8x相交于A、B两点,F为C的焦点, 若|冽=2”8|,则 k=（）A. -B. C. -D.3 333【一隅三反】1.已知直线y = kx-l与抛物线/=8y相切，则双曲线x2 -k2y2 = 1的离心率为（）x = 5 _ 4x9 乂 =

41、 一4力yl = 4易1X) ， jc, 4 ")=4(5-") 425| AB |= X + *2 + 2 =故选C.2.过抛物线C： y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于火叫，乂）、8（知力）两点，且4工+尤2=,则弦AB的长为（- 316A.3【答案】CB. 410C.3【解析】抛物线的焦点弦公式为:x+x2 + p ,4 10由抛物线方程可得： =2,则弦A8的长为m+w + P = + 2 = .本题选择C选项.3.过抛物线/ =4%的焦点作直线交抛物线于A3，y）, B（x2,y2）两点，若x+x2 = 6,A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】根

42、据过抛物线焦点的弦长公式有|储|=*+花+ = 6 + 2 = 8.故选B.4. 巳知过抛物线y2=4x焦点F的直线/交其于48两点，O为坐标原点.若AF = 3, 则AAO6的面积为【答案】*【解析】设直线AB的倾斜角为9 （0<9<Ji）,|AF|=3,.点A到准线1：x= - 1的距离为3,7 F5.2+3吹。=3,即 cosO.-, Jsine=_.BF = 2+ BF cos ( n - 0 )BF =一1 + cosO 2.* AAOB 的面积为 S = x OF x AB xsinO = xlx故答案为：巫.25. 过抛物线y2 =4x的焦点H作倾斜角为45。的弦AB

43、,则的弦长为【答案】8【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在 直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于 抛物线的焦点是F（l,0）,所以直线方程是y = x-l,联立消y得户_6工+1 = 0,所以 AB=xi +x2 + p = 6+2 = S9 故答案应填8.7T6过抛物线y4x的焦点，作倾斜角为一的直线交抛物线于P、Q两点，0为坐标原点，则左4POQ的面积为【答案】2扼【解析】设P（hJ，Q（x2,y2）,则S = -OFy-y29过抛物线y-4x的焦点（1, 0）, 倾斜角为生的直线为X-y-l=o,即x

44、=l+y,代入y2=4x得：y2=4（l + y），即y2-4y-4 = 0, M + 力=4, 乂，2 = 4，.仅1 一 力| = J（V1 +力）2 4乂力=716 + 16 = 4也 S = ：|O 耶 f 1 = 9 应=2 扼【题组五定点定值】1.己知"为抛物线C:y2 =2px（p>0）的焦点，过g的动直线交抛物线C于A，3两点.当 直线与尤轴垂直时，|人8|=4.（1）求抛物线。的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线I相交于点M，抛物线C上存在点P使得直 线Q4, PM , 的斜率成等差数列，求点尸的坐标.【答案】（1） y2=4x； （2） F（l

45、,±2）【解析】（1）因为F（5,在抛物线方程y2=2px中，令x =匚,可得y = ±P.于是当直线与x轴垂直时，I AB|=2 = 4,解得 = 2.所以抛物线的方程为寸=我.（2）因为抛物线y2=4x的准线方程为x = 1,所以M（1,2）.设直线43的方程为y = x l,y2 = 4%联立厂 消去x,得y2-4y-4 = 0.y = x-l设 A（m , 乂），B（x2 , y2）,则 乂+力=4, 乂力=一4 若点尸（式0，%）满足条件，则2kpM =kpAkpB，即 2尸。+2 = %一乂 + %-力 毛 +1 x0 -x1 x0 -x2222因为点P, A，

46、3均在抛物线上，所以工°=¥5=葺,易=号代入化简可得2（乂+2）泌+42% +凹+力%2+。1+力） + 泌将乂+力=4, 乂力二-4代入，解得乂）= ±2.将y°=±2代入抛物线方程，可得工。=1.于是点P（l,±2）为满足题意的点.2. 已知E是抛物线C： y2=2“x（p>0）的焦点，点M（x0,4）在抛物线1., MF = -x0.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若A、3是抛物线C上的两个动点，且OALOB,。为坐标原点，求证：直线 过定点.【答案】（1） y2=4x; （2）证明见解析【解析】（1）由题意得，回尸|

47、 =吒+艮=；如解得x°=2p, 因为点M（书4）在抛物线C上，则42 = 2px. = 4p2,解得书=4 , 又p>0,所以p = 2,即抛物线C的标准方程为y2=4x.（2）设A（万,乂），8（易,力）,因为OAA.OB，所以0X而=0,即得而专+ 乂力=。，因为点A、B在抛物线。上,所以弁=4知犬=4花，代入得(乂力)+0,因为乂力壬°，则乂力=T6,16 刀x = my + n n设直线AB的方程为工=如+ ，联立( 2 :，得尸4my 4 = 0, 顷=4x则乂力=一4>,所以 =4,所以直线A3的方程为工=如+ 4,过定点(4,0).5x3. 已知

48、点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M(x°, 1)在C上，且|MF| = 4求P的值；(2)若直线1经过点Q (3, -1)且与C交于A, B (异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之 积为常数.【答案】(1) ; (2)22【解析】由抛物线定义知|MF|二Xo+g,则Xo+9：xo,解得Xo=2p,2Z 4又点M(x0, 1)在C上，所以2pxo二1,解得xo=1, p=；.(2)由得 M(l, 1), C:y2=x.当直线1经过点Q (3, -1)且垂直于x轴时,不妨设A (3, B (3,-V3),则直线AM的斜率kA邑,直线BM的斜率瞄二旦,所以k

49、AM 知户-卫X加二22222当直线1不垂直于X轴时，设A(X1, yi), B (x2, y2),则直线AM的斜率二捋二一=,同理直线BM的斜率kB一】，/.kAM - kBM二土 一=二Xi-1 >7J T1 + 1)'z+l)'】+1 火+1设直线1的斜率为k (显然k尹0且k7-1)，则直线1的方程为y+1=k (x-3).联立P7 1 =版"消去 x,得 ky2-y-3k-l=0,所以 yi+y2=；, y】2二-翌史-3-;，故 kAM kBM=二 =kk kyiyz+yi+yz+i *3*r r1 2综上，直线AM与直线BM的斜率之积为.224.

50、在直角坐标系xoy中，曲线C： y二:与直线y = kx+a,(a>0)交与虬N两点，(I )当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(ID y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有ZOPMZOPN?说明理由.【答案】(I ) y/ax- y-a = 04ax + y + a = 0 (II)存在【解析】【分析】(I )由题设可得MQ做a) , N(-2&a),或M(-2&a) NQ插,a).1 2.;/ = 5工，故y = %在处的导数值为C在(2也")处的切线方程为2 4y-a - yax-2ya, 即 yax- y -a = 0 .故y =在x 22a

51、处的导数值为， C在(-2j万c")处的切线方程为4y-a -y/a(x + 2ya), 即 Vx+y + G = 0故所求切线方程为扃乂_ y-a = 0或y + a = 0.(II)存在符合题意的点，证明如下：设P (0, b)为复合题意得点，心(而，弟，Ng,*),直线PM, PN的斜率分别为&,*2将y = kx + a代入C得方程整理得必_Mx 4。= 0 x+x2= 4比，xx2 = 一4". k +k = 乂一 二|，2 一力 2 奴花+(/ /?)(工+工2) k(a + b)1尤1花XX2Q当b = -a9有k+k2 =0,则直线PM的倾斜角与直线

52、PN的倾斜角互补， 故ZOPM-ZOPN,所以P（O,。）符合题意.5. 已知抛物线。的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点人（1,2）为抛物线。上一点.（1）求C的方程；（2）若点研1,2 ）在。上，过3作。的两弦配与BQ,若kBp.kBQ = -2 ,求证:直线PQ 过定点.【答案】（1） y过点尸（3,-1）的直线与抛物线C交于M, N两个不同的点（均与点A不重合），设直线=4x或x2=Ly； （2）证明见解析.2【解析】（1）当焦点在工轴时，设C的方程为必=2py，代人点4（1,2）得2p = 4,即y2 =4x.当焦点在V轴时，设C的方程为尤之=2py，代人点A（l,2）得2/?=上，即乂？ = _L> ,22综上可知：C的方程为,2=4或x2=J_y.（2）因为点8（1,2）在C上，所以曲线C的方程为尸=4尤.设点 P（xl,yl）,Q（x2,y2）,直线PQ:x = my + b.显然，存在，联立方程有：y求抛物线C的方程； 4my 4/?