工程力学9(3)弯曲变形

1、工程力学1主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北305工程力学29(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学3弯曲内力弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。弯曲变形弯曲变形在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学4 转角转角 , ,横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。y挠度挠度y, ,横截面形心沿垂横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。直于轴

2、线方向的位移。 x因因x很很微小，往往忽略。微小，往往忽略。梁的挠度梁的挠度y，横截面的转角，横截面的转角 。度量梁变形的参数度量梁变形的参数-挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线，：梁变形后的轴线，y(x)。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学5挠曲线挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条为一条光滑连续光滑连续曲线，这条曲线称为挠曲线。曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学6MABMCD0MBCcon

3、st答案答案 D D9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学7FA0FB0MCDconst答案答案 D DABCD9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学8ABCDMBDconstFA0FBP答案答案C CBBpMMF l9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学9y = = y（x） 挠曲线方程。挠曲线方程。 挠度向上为正；向下为负。挠度向上为正；向下为负。= =( (x) ) 转角方程。转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，由变形前的横截面转到变形后， 逆时针为正；顺时针为负。逆时针为正；顺时针为负。 tgdxdy挠曲线上任一点的斜率都可以足够精确的表示该点处横截面

4、的转角。挠曲线上任一点的斜率都可以足够精确的表示该点处横截面的转角。挠曲线在挠曲线在c 点的切线点的切线9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形 y工程力学101.研究梁的挠度和转角的目的：研究梁的挠度和转角的目的： 主要目的之一就是对梁作刚度校核，即检查梁弯主要目的之一就是对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形2. 求梁位移的基本方法求梁位移的基本方法 根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程和根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程和转角方程。转角方程。工程力学11E

5、IxMx)(ddEIxMxy)(2dd2EIxMx)()(1由挠曲线的曲率由挠曲线的曲率挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 转角近似微分方程转角近似微分方程挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了忽略了“FQ”以及以及 对变形的影响。对变形的影响。 2)(y使用条件使用条件：弹性范围内工作的细长梁。弹性范围内工作的细长梁。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学12)()(xMxyEI 1CdxxMxyEI)()(21CxCdxdxxMxEIy )()(步骤步骤：1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近

6、似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学133 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0,0BAyy0,0DDy连续条件：连续条件：边界条件：边界条件：DPPABCF（1 1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。）在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截

7、面挠度相等、转角相等。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形右左右左，CCCCyy工程力学144 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程 。5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形AAAAAAAy 弹簧变形 （4 4）弹簧支撑）弹簧支撑工程力学15 例例1 1： 用积分法求梁挠曲线方程时用积分法求梁挠曲线方程时, ,试问下列梁的挠曲线试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段近似微分方程应分几段; ;将分别出现几个积分常数将分别出现几个积分常数, ,并写并写出其确

8、定积分常数的边界条件出其确定积分常数的边界条件FBAqCLzEIa9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学16挠曲线方程应分两段挠曲线方程应分两段AB,BC.AB,BC.共有四个积分常数共有四个积分常数xa0By xaL0Cy 边界条件边界条件连续条件连续条件ax 12BByy21BBFBAqCLzEIa9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学172lBAqC2lzEIkx挠曲线方程应分两段挠曲线方程应分两段AB,BC.AB,BC.共有四个积分常数共有四个积分常数. .0 x0Ay Lx cCFyk边界条件边界条件kqL8连续条件连续条件2Lx12BByy21BB9(3). 9

9、(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学18A2L1zEI2zEIFBC2Lx9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形挠曲线方程应分两段挠曲线方程应分两段AB,BC.AB,BC.共有四个积分常数共有四个积分常数. .0 x0Ay 0A边界条件边界条件连续条件连续条件2Lx12BByy21BB工程力学19LABCqZEIEAL1x全梁仅一个挠曲线方程，全梁仅一个挠曲线方程，共有两个积分常数共有两个积分常数0 x0Ay Lx BBCyL 边界条件边界条件EAqLL219(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学20AaLBCeMzEIx9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形挠曲线方程应分两段挠曲线

10、方程应分两段AB,BC.AB,BC.共有四个积分常数共有四个积分常数. .0 x0Ay 0A边界条件边界条件Lax0Cy 连续条件连续条件ax12BByy工程力学21EIFly33求图示悬臂梁自由端的挠度及转角求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。常数）。解：解：a) a) 写出弯矩方程写出弯矩方程FxxM)(b) b) 写出写出微分方程并积分微分方程并积分c) c) 应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数FxxMyEI )(1221CFxyEI21361CxCFxEIy322131 ; 21FlCFlCd) d) 确定挠曲线、转角方程确定挠曲线、转角方程323236l

11、xlxEIFxy)(222lxEIFyEIFl22e) 自由端的自由端的挠度及转角挠度及转角00, ylx9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形lxF工程力学22)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy 。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学23x9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形ABlFqeMQFM22qxFxMMe解：弯矩方程解：弯矩方程以以x截面左半段为研究对象截面左半段为研究对象工程力学24321MMMM)(xMyEIii )()()(332211xMyEIxMyEIxMyEI xAB

12、lFqeMQFM22qxFxMMe9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学25ABlFqeMABlqABlFABleM9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学26ABlFqeMyx)()()()(xyxyxyxyFqMe)3(6)46(24222222xlEIFxlxlxEIqxEIxMe9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学279(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形BAlqFC工程力学28解、解、a)载荷分解如图载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。=EIFaEIFLyEIFaEIFLFCFA64

13、8,4163322EIqaEIqLyEIqaEIqLqCqA2453845,3244433c)c)叠加叠加EIqaEIFayyyqCFCC245643)43(122qaFEIaqAFAA+BAlqFC9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形BAlqFC工程力学29例例4 4：ABAB梁的梁的EIEI为已知为已知, ,试用叠加法试用叠加法, ,求梁中间求梁中间C C截面挠度截面挠度. . 将三角形分布荷载看成载荷集度为将三角形分布荷载看成载荷集度为q q0 0的均布载荷的一半。的均布载荷的一半。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学3030Lq60LqlBAC0q将三角形分布荷载看成载

14、荷集度为将三角形分布荷载看成载荷集度为q q0 0的均布载荷的一半的均布载荷的一半ZEILq384540查表得40512384CZq LyEIZEILq7685409(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学31例例5: 5: w9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学32wwww工程力学33w,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCEIlq8)2(422lB工程力学34例例6 6：图示简支梁图示简支梁ABAB，在中点处加一弹簧支撑，在中点处加一弹簧支撑, ,若使梁的若使梁的C C截面处弯矩为零截面处弯矩为零, ,试求弹簧常量试求弹簧常

15、量k. k.9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学359(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形2102CAMF LqLqLFC解：解：C截面弯矩为截面弯矩为根据静力平衡关系，可得到根据静力平衡关系，可得到qLFFAB21工程力学36C C处挠度等于弹处挠度等于弹簧变形。簧变形。叠加法求挠度叠加法求挠度CCqCkyyy438425zEILqZCEILF4823ZEIqL244CCFyk324ZEIkL9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学37 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明+等价等价等价等价BCPL2f1xf21fff=AxPL1L2BCffPABC刚化刚化AC段段PL

16、1L2ABC刚化刚化BC段段9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学38=C CABq2l2lC CAB2l2lC CABqARBRARBRCRCR. 02, 02qllRmBA.5 . 0,2, 0qlRqlRmBAB静定问题静定问题二个平衡方程，三个未知数。二个平衡方程，三个未知数。超静定问题超静定问题0cy去掉多余约束而成为去掉多余约束而成为形式上的静定形式上的静定结构结构 基本静定基基本静定基。9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学391 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2 2、在多余约束

17、处根据变形协调条件列出变形的几何方程、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 4、计算梁的内力、应力、变形、计算梁的内力、应力、变形。解超静定的步骤解超静定的步骤 ( (静力、几何、物理条件静力、几何、物理条件) )9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学40解：解：1)研究对象，研究对象，AB梁，受力分析：梁，受力分析：) )物理条件物理条件048384534EIlREIqlC,85qLRCCRABq) )变形协调方程变形协调方程) )选用选用静定基，去支座静定基，去

18、支座05 . 05 . 0, 00, 02qllRlRMqlRRRYCBACBA0CCRCqCyyyEIlRyEIqlyCCRCqC48,384534联立求解：联立求解：163qlRRBAC CAB2l2lARBRCR9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学41例例: :图示静不定梁，等截面梁图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度的抗弯刚度EI，拉杆，拉杆BD的抗拉的抗拉 刚度刚度EA，在，在F力作用下，试求力作用下，试求BD杆的拉力。杆的拉力。Fl/2l/2ABCDl9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学42BDBlwFl/2l/2ABCDl1 1、选择基本静定梁。、选择基本

19、静定梁。解：解：Fl/2l/2ABCNF2 2、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。NBFBFBwww)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学43代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形Fl/2l/2ABCDl工程力学44lyx 思考：思考：求下图所示超静定梁求下图所示超静定梁A、B处的约束力及处的约束力及 B、yC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。并画出该梁的剪力图和弯矩图。l/2CqBA9(3).

20、9(3). 弯曲变形弯曲变形AFAMBFq)0(By静定基静定基工程力学45 max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中其中 称为许用转角；称为许用转角； /L/L 称为许用挠跨比。称为许用挠跨比。校核刚度校核刚度; ;设计截面尺寸；设计截面尺寸；确定外载荷。确定外载荷。 maxmaxmaxyyyLL二、刚度计算二、刚度计算9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形mmylyly)06.005.0()005.0001.0()0005.00001.0(机床主轴机床主轴起重机大梁起重机大梁发动机凸轮轴发动机凸轮轴工程力学46例：例：轴承许用转角轴承许用转角= 0.05 rad， F = 20 kN，

21、a =200 mm， = 60MPa，E =200GPa，确定轴的直径，确定轴的直径d。a2aFABCkNmaaaaFMMC67. 222max323maxmaxmaxdMWMz mmMd8 .76323max1解解: (1) 强度计算强度计算 9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学47mmd8 .761(2) 刚度计算刚度计算 186410)2(6)23(243maxdaEFaEIaaaaaaFB mmaEFad8 .3018640432(3)最终取最终取d =77mm a2aFABC9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学481、增大梁的抗弯刚度（、增大梁的抗弯刚度（EI

22、）2、调整跨长和改变结构、调整跨长和改变结构9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形方法方法同提高梁的强度的措施相同同提高梁的强度的措施相同（1）减小弯矩、增大截面惯性矩、等强度梁）减小弯矩、增大截面惯性矩、等强度梁（2）减小梁的跨度效果明显；）减小梁的跨度效果明显；（3）增加材料的弹性模量）增加材料的弹性模量工程力学499(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学509(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学519(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学52弯曲应变能弯曲应变能拉压应变能拉压应变能扭转应变能扭转应变能P225 . 0GIlMMU U=？EAlFlFU25 . 02N 9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形工程力学53外力功：外力功： eee5 .0)2(5 .0)2(5 .0MMMW 9(3). 9(3). 弯曲变形弯曲变形 根据应变能的大小等于外力偶所作