课时跟踪检测（十六）导数的应用（二）

1、课时跟踪检测(十六)导数的应用(二)1.(2012·佛山期末)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f(x)<0的解集为()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)2(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式yx327x123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件 D4百万件3已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上有f(x)>0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是_4(2012

2、·粤西北九校联考)设A是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合；“方程f(x)x0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0<f(x)<1.”给出以下三个函数：f(x)，f(x)xcos x，f(x)x2x1，x.其中是集合A中的元素的有_(用序号填空)5已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方6(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数f(x)exmx，其中m为常数(1)若对任意xR有f(x)0成立，求m的取值范围；(2)当m>1时，判断f(x)在0

3、,2m上零点的个数，并说明理由7(2013·揭阳模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润1(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)(x23x3)ex，x2，t(t>2)(1)当t<1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设f(2)m，f(t)n，求证：m<n.2(2013·珠海模拟)已知函数f(x)axln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数(1)当

4、a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数解答 案课时跟踪检测(十六)A级1选A当x<1或x>1时，f(x)递增，f(x)>0.由x·f(x)<0得x<0，所以x<1；当1<x<1时，f(x)递减，f(x)<0.由x·f(x)<0，得x>0，所以0<x<1.故x·f(x)<0的解集为(，1)(0,1)2选C依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0<x<3时，y>0；当x

5、>3时，y<0.因此，当x3时，该商品的年利润最大3解析：在(0，)上有f(x)>0，所以f(x)在(0，)单调递增又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x>0时，f(x)<0，0<x<1；当x<0时，图象关于y轴对称，f(x)>0，x<1.答案：(，1)(0,1)4解析：对于，因为f(x)cos x，所以f(x)，满足条件0<f(x)<1，又当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0，所以函数f(x)是集合A中的元素；对于，因为f(x)1sin x，所以f(x)0,2，不满足条件0<f(

6、x)<1，所以函数f(x)xcos x不是集合A中的元素；对于，因为f(x)2x1，x，所以f(x)，满足条件0<f(x)<1，方程f(x)x0，即x210，解得x1或x1，又x，所以方程f(x)x0无解，所以函数f(x)x2x1，x不是集合A中的元素答案：5解：(1)f(x)x2ln x，f(x)2x.x1时，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，F(x)x2x2.x1，F(x)0.F(x)在(1，)上是减函数F(x)F(1)0，即f(x)g(x)当x(1，)时

7、，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方6解：(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm<1，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(m，)时，exm>1，f(x)>0，f(x)单调递增；故当xm时，f(m)为极小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)由(1)知f(x)在0,2m上至多有两个零点，当m>1时，f(m)1m<0.f(0)em>0，f(0)·f(m)<0，f(x)在(0，m)上有一个零点又f(2m)e

8、m2m，令g(m)em2m，当m>1时，g(m)em2>0，g(m)在(1，)上单调递增g(m)>g(1)e2>0，即f(2m)>0.f(m)·f(2m)<0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点7解：(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6<x<11)(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令y0，得x2(舍去)或x9，显然，当x(6,9)时，y>0；当x(9,

9、11)时，y<0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的当x9时，y取最大值，且ymax135，售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元B级1解：(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)，当2<t0，x2，t时，f(x)0，f(x)单调递增；当0<t<1，x2,0)时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x(0，t时，f(x)<0，f(x)单调递减综上，当2<t0时，yf(x)的单调递增区间为2，t；当0<t<1时，yf(x)的单调递增区间为2,0)，单调递减区间为(0，

10、t(2)证明：依题意得mf(2)13e2，nf(t)(t23t3)et，设h(t)nm(t23t3)et13e2，t>2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t>2)故h(t)，h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)e>0，又h(2)0，故当2<t<0时，h(t)>h(2)0，即h(t)>0，因此，nm>0，即m<n.2解：(1)当a1时，f(x)xln x，f(x)1.当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)maxf(1)1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不符合题意若a<，则由f(x)>0得a>0，即0<x<，由f(x)<0得a<0，即<xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数f(x)maxf1ln.令1ln3，则ln2，e2，即ae2<，ae2为所求(3)由(1)知，当a1时，f(x)maxf(1)1，|f(x