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文档简介
1、1平面向量专题复习一.向量有关概念:1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如:2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;uuuM3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是AB);uuu|AB|4. 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a、6 叫做平行向量,记作:a/b,规定零向量和任何向量平行。提醒:1相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相
2、等;2两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;r3平行向量无传递性!(因为有0);uuuuUur4三点ABkC共线 AB、AC 共线;6.相反向量: 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是一 a。如rrrr例1:(1)若ab,则ab。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若iuirumruuufuuirrrrrABDC,则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,贝UABDC。(5)若ab,bc,则rrrrrrrrac。(6)若a/b,b/c,贝Ua/c。其中正确的是二、向量的
3、表示i.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB,注意起点在前,终点在后;2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a,b,c 等;3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,rrr则平面内的任一向量 a 可表示为axiyjx,y,称x,y为向量 a 的坐标,a=x,y叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理:如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1ei+2e2。如例2(1)若a(1,1)b(1,1),c(
4、1,2),则c2(4)已知ABC中,点D在BC边上,且 CD2DB,CD四.实数与向量的积:实数与向量 a 的积是一个向量,记作 TT 1aa,2 当0时,a 的方向与 a 的方向相同,当rr当=0时,a0,注意:a丰0。(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是ITuuA.(0,0),62(1,2)ITuuC.e(3,5),e(6,10)ITuuB.(1,2),e2(5,7)ITUU1D.e(2,3),e2(-,UULT(3)已知AD,BE分别是ABC的边 BC,AC 上的中线,且ADruurruuurra,BEb,则BC可用向量a,b表示为rABsAC,贝 Urs的值是a,它的长度和
5、方向规定如下:0,且rra为锐角时,一 ra?bv0,且 a、b 不反向,0 是为锐角的必要非充分条件;当为钝非零向量 a,b 夹角的计算公式:cos为钝角的必要非充分条件;rra?b, rrr,1 | |;|a?b|a|b|。ab例3如(1)ABCraI(2)已知;中,|AB|1r(1,/b(0,23,|AC|1r项,C4,rukb,d|BC|5,贝 UABBCrrarub,c与d的夹角为、,则k等于(3)rrrrrra2,b5,ago3,则abrrrr已知a,b是两个非零向量,且ba(4)已知例4已知|a|3,|b|5,且12,则向量rrab,贝 Ua 与 ab 的夹角为a在向量b上的投影
6、为例 5(1)已知 a(,2),b(3,2),如果a与b的夹角为锐角,贝 U 的取值范围是一-1 一 3,一“(2)已知 OFQ 的面积为 S,且 OFFQ1,若 zS 五,则 OF,FQ 夹角的取值范围是六.向量的运算:1.几何运算:向量加法:利用“平行四边形法则进行,但 uuJ 彳邛褴法贝?只适用于不共 H 勺向量,如此号外,ra向量加法还可利用“三角形法则”ruuuuuuruuurbABBCAC;向量的减法:用“三角形法则”:设 ABa,BCb,那么向量AC 叫做a与b的和,即uum:设 ABruuura,ACrrruuuuiuruuub,那么 abABACCA,由减向量的终点指向被减向
7、量的终点。2.坐标运算:设向量的加减法运算:注意:此处减向量与被减向量的起点相同。rra(X1,y1),b必),则:rrab(x1x2,yy2)。r实数与向量的积:ax,y1x,y。453若 AW,%),BgM),段的终点坐标减去起点坐标。rr4平面向量数量积:a?buuu则ABx2x,y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(1,0)。(1)若x=一,求向量 a、c的夹角;(2)若xr向量的模:|a|,云,函数f(x)奇-r2y,axi,yi,BuuuAB1b的最大值为一,求的值2x2,y2,则|AB|uurAD两
8、点间的距离:若uuuuuiruur例6:0ABBCCD例7(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若APAB三象限的角平分线上uurDCuuuuuux2uuu;(ABuurAC(2xuuirCD)y2umr(ACR),则当2y。uurBD)=时,点P在第一、1uur(2)已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy),21uuuAB,3x,yurnr例8设A(2,3),B(1,5),且ACrr例9已知a,b均为单位向量,它们的夹角为uuruuuAD3AB,60,那么则C、D的坐标分别是ur|ar3b|=七.向量的运算律:交换律:1.2.rrrrrrrrrrabba
9、,aa,a?bb?a;rrrrrrrrrrrrrrrrrrabcabc,abcabc,a?ba?ba?b;结合律:rrrr3.分配律:例10下列命题中:(bc)rrrrrabab,ab ac;a(bc)ara,rb?cra?cb?c。2|a|b|b|2:r0;若 a(ab)2|a|2rrrr2r2abc;aa;TTa(ab)rbcb,则 ac;rrrrr)(ab)22-rrb;(ab)22r2rr一a2abb。其中正确的是提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两
10、边不能约去一个向量,切记两向量不能相除什么?(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(b?c)(a?b)c,为rrra/ba八.向量平行(共线)的充要条件:r(x,1),b(4,x),当 x=rrr(1,1),b(4,x),uauuuuuirr例11(1)若向量 ar(2)已知aurn(3)设PArrr.、2)2r(k,12),PB(4,5),PC(10,k),rrb(abf(|a|b|)r时 a 与 b 共线且方向相同rrrr2ab,且u/v,贝Ux=贝Uk=时,A,B,C共线x1y2y1x2=0。67九.向量垂直的充要条件:r|arrb|arb|uuuuuur,ABAC、(-uuu
11、ruuun-)ABACuuu例11(1)已知OAuuuuuur,ABAC、(-uuuj-uuuhr)。ABACuuu(1,2),OB(3,m)x1x2y1y20.特别地uuu,若OAuuuOB,贝Um(2)以原点r(3)已知nO和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则点B的坐标是r(a,b),向量nurrm,且nururm,贝Um的坐标是十.向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,r(2)|a|b|r|a|r|a|rr|b|arr|b|ar|a当rb|a|rb|;rrrrb|a|b|,特别地,当rrrrab 反向或有 0|ar、一|b|(这些和实
12、数比较类似).要注意运用;rra、b 同向或有rrb|a|r|b|r|a|rrb|a|rrABC中,若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3为 x2x3yy2y333uuurPGuur1(PA3uuurPBuurPC)G为ABC的重心,特别地心;uuuPAr|ar|b|ab|uuruuuPAPBr|b|;当rra、b 不共线则其重心的坐标为uuurPCP 为ABC的重uunPCuuurACr)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)|AC|(4)向量PA、P虫PC中向量uuuuuuPBPBuuurAD(uur|AB|uuuuuruuiruuruuuPCPAP 为ABC的垂心
13、;终点A、B、C共线存在实数uuuuur使得PAPBuurPC且1.例12若刀ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则刀ABC的重心的坐标为例13平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(1,3)若点C满足 OC1OA2OB,其中1,2R 且121,则点C的轨迹是8C局考真题选讲一、选择题rrrrrr1.设xR,向量 a(x,1),b(1,2),且ab,贝 U|ab|()C.2 一 5D.10uuuuuuuuuuuuA90,AB1,设点 P,Q 满足 APAB,AQ(1)AC,UULTUUU若 BQCP1Ar.3r.设a、rb都是非零向量,下列四个
14、条件中C.-3r,使-D.rb-r-|b|成立的充分条件是rrr|b|且a/brC.a/br2ba=(1,1),b=(2,x).-b=1,B.C.对任意两个非零的平面向量和,定义F面向量b满足a|b0,a与b的夹0,一4,且aob和boa都在集合中,则aob1B.1C.35A.-D.2227.若向量睛1,2uur,BC3,4UUU,则AC4,C.2,9.ABC中,AB 边的高为LUUCD,若CBULDa,CAr0,|a|ruuu1,|b|2,则 AD1r1rB.2r2rC.3r3r4r4rAab-a-b-a-bD.-ab33335555填空题uuuLuur10.在ABC中,M是BC的中点,AM
15、=3,BC=10,则ABAC=12.已知向量 a,b夹角为 450,且|a|=1,|2ab|=J10,贝U|b|=uuvUUU/14.如图,在平行四边形ABCW,APBD,垂足为P,AP3且APgAC=R.9rrrrr 一 rra2b,v2ab,且 u/v,求头数 x 的值.r15.已知向量 ar(1,0),b(1,1),则r(I)与2arb同向的单位向量的坐标表示为rrr(n)向量b3a与向量a夹角的余弦值为16.已知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点unruuu,则DECB的值为rr17.设向量 a(1,2m),br(m1,1),cr(2,m),若(a巩固练习例1设A、B、C、
16、D、。是平面上的任意五点,试化简:uuuuuruuuruuuruuuruuurABBCCD,DBACBDuuuuuuruuu3)OAOCOBuuurrr,例2设非零向量a、b 不共线,rrrd=a+kb(kR),若C/(J,试求krrr例3已知向量 a(1,2),b(x,1),u10例4已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标(1)mA;(2)rh/Zn;(3)rnn例7已知|4|4,|b|2,且 a 与 b 夹角为120。求例5已知两单位向量a与 b 的火角为 120。,若 C2arrrrrrb,d3ba,试求c与 d 的火角.r一r例6已知a4,3,bb,n2ab,按下列条件求实数的
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