311空间向量及其加减运算312空间向量的数乘运算

1、3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算基础巩固IJI£HUGONGGLI=1.已知空间四边形1.已知空间四边形1.已知空间四边形ABC师,G为CD的中点，则示Q(茹+瀛)等于1T(A)-(B)(A)-(B)(A)-(B)(C)-BC(D)解析：时+2(BD+网)=仙+X(2BG)="NG=".故选A.2. 下列命题中正确的个数是(A)若a与b共线,b与c共线，则a与c共线;向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面；若allb,则存在唯一的实数入,使a=入b.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:当b=0时,a与c不一定共线，故错误；中a,b,c

2、共面时，它们所在的直线平行于同一平面，不一定在同一平面内，故错误；当b为零向量,a不为零向量时，入不存在.故选A.在平行六面体ABCDEFGH中，若G=x"-2y此+3”气则x+y+z等于(C)L分-FDAL分-FDAL分-FDAr：(A)(B)(C)(D)1ii解析：Ag=/?+AD+dh,则x=1,y=-Mz=3,故选C.3. 已知空间向量a,b,且扁=a+2b,瀛=-5a+6b,击=7a-2b，则一定共线的三点是(A)(A)A,B,D(B)A,B,C(C)B,C,D(D)A,C,D解析：因为遍=+击=2a+4b=2云所以A,B,D三点共线.故选A.若空间中任意四点O,A,B,P

3、满足部=希+而，其中m+n=1则(A)(A)PAB(B)P?AB(C)点P可能在直线AB上(D)以上都不对解析：因为m+n=1所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即茄-办=n(ok办),即用=再，所以4P与羸共线.又有公共起点a,所以P,A,B三点在同一直线上，即PAB.故选A.若a与b不共线，且m=a+b,n=a-b,p=a，则(D)(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面1I解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.4. 已知i,j,k是不共面向量，a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=

4、7i+5j+入k,若a,b,c三个向量共面，则实数入等于(D)626065(A)一(B)9(C)一(D)一解析：因为a,b,c三向量共面，所以存在实数m,n，使得c=ma+nb,即7i+5j+入k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).L7=65所以”=所以入=7.5. 给出下列命题:若A,B,C,D是空间任意四点，则有扁成减茶=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件；若曲,8共线，则AB/CD对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若"/农必+占+荻(其中x,y,zR),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解

5、析:显然正确;若a,b共线，则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=|a|-|b|,故错误；若仙/共线，则直线AB,CD可能重合，故错误；只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面，故错误.故选C.6. 下列命题: 空间向量就是空间中的一条有向线段；不相等的两个空间向量的模必不相等；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；向量霖与向量时的长度相等.其中真命题有.解析：假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来. 假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可. 假命题,当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等但两个向量

6、相等却不一定有相同的起点和终点. 真命题，办与筋仅是方向相反，它们的长度是相等的.答案：在直三棱柱ABCAiBC中，若技=a,=b,g=c,则为B=.解析：如图，TTT='''-TTTtT=-=-(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b已知点6是/ABC勺重心,O是空间任一点，若福赫成=入亦，则入的值为.解析：连接CG并延长交AB于D,则。=矛。，所以-=2(-),TTTjiTT即3勿=2如+此.又2如=出气所以3，='+；+因此，入的值为3.答案：3有下列命题： 若展II不，则A,B,C,D四点共线;若赤II止则A,B,C三点共线；2I若ei

7、,e2为不共线的非零向量，a=4e3e2,b=-ei+°e2，则a/b;若向量ei,e2,e3是三个不共面的向量，且满足等式kiei+k2e2+k3e3=0,则ki=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析：根据共线向量的定义，若曲仲气则AB/C诚A,B,C,D四点共线,T-2故错;"/"'且AB,AC有公共点A,所以正确；由于a=4e-，e2=|-4-(-ei+i°e2)=-4b,所以aIIb.故正确；易知也正确.答案:如图所示，已知几何体ABCDXiBiCD是平行六面体.1T2T-AA.-AB(1)化简2+5，并

8、在图中标出其结果；3设M是底面ABC囤勺中心,N是侧面BCCB对角线BC上的彳分点，设ma=qAz?+6a+丫"】，求a,6,丫的值.2解:(1)取DD的中点G,过点G作DC的平行线GH使GH=DC,连接AH(如图),-AH1T2f-AA.-AB则+3因为M是底面ABCD勺中心,N是侧面BCGB对角线BC上的分点,It3TTTTDB所以*="+'=+'I如图川为四棱锥PABCD勺棱PC的三等分点，且PH=HQ点G在AH上,AG=mAH0边形ABC为平行四边形，若G,B,P,D四点共面，求实数m的值.解：连接BD,BG.BTTTTT因为A"=8-P仙

9、且占8M,所以.=.''.因为.="+',所以，=+-=-+'PHI因为=1T|T一匚TTT所以.=(_+)1 -1T1-PA-PB-PD=-：+：+4i1*1-PA-PB-PD所以'=-.+.+AG因为1=m,4mtmt根ttt一paPBPD所以=m=-+.+.TTTTTT因为一=-+=,'-+,4mmm-TTTP)所以=(1-:)'+(-1)+:又因为B,G,P,D四点共面,4m所以1-=0,3即m=.7. 求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知：如图所示，在四面体ABC仲,E,F,G,H,P,Q分别是

10、所在棱的中点求证:EF,GH,PQ相交于一点。，且O为它们的中点.证明：因为E,G分别为AB,AC的中点,1所以EG-BC.1同时,HF'BC,所以EGHF.从而四边形EGF的平行四边形，故其对角线EF,G桥目交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量赤顼,就可以说明P,O,Q三点共线且。为PQ的中点.事实上"=+',.=,+，.因为O为GH的中点，所以+=0.11又因为GPCD,QHCD,1T1TT-CDT-CD所以,=,=.所以.+.=+.,+:+=0.所以=-.故PQ经过。点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,P演目交于一点O,且O为它们的中点. 能力提升；N

11、EFIGLITlSMEWG已知正方体ABCCABGD的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有（C）。A+OD与喝1+°。】是一对相反向量；OB-OG与彩】-皿是一对相反向量；赫+亦成+品与。+。珀+。饥+。0是一对相反向量；源】赫与是一对相反向量.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：利用图形及向量的运算可知是相等向量，是相反向量故选C.若P,A,B,C为空间四点，且有房=以晶+6卮则a+6=1是A,B,C三点共线的（C）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：若a+6=1,则扇-瀛=6海-商），即弟=6就显然A,B,C三点共线

12、;若A,B,C三点共线，则存在实数入,使、品,故晶-渴=入（疽-品）,TTT整理得小=（1+入）叩-入“''，令a=1+入，3=-入，贝'a+6=1.故选C.已知A,B,C三点共线，则对空间任一点。，存在三个不为零的实数入,m,n,使入。力+的川+即。“,那么入+m+n的值为解析：因为A,B,C三点共线，所以存在惟一实数k,使办=k,即=k(-),所以(k-1)+-k=0,又入赫+面+血=0,令入=k-1,m=1,n=-k,贝U入+m+n=0.答案：0TTf如图所示，在四面体OABC中,。q=a,E=b*c=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则；=如图所示，在四面体O

13、ABC中,。q=a,E=b*c=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则；=为AD的中点，则；=为AD的中点，则；=(用a,b,c表示).01TTTT_AD解析:'='+'；=a+TT£)=a+(-)=a+iII=妇+云x习品+站iII=a+b+c.i答案:a+b+c探究创新探究创新:TAMJIUC：HUAMG)dN=如图所示，已知四边形ABCO平行四边形，点P是ABCtDf在平面外的一点，连接PA,PB,PC,PD设点E,F,G,H分别为PAB,APBCAPCDAPDA勺重心.试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;试判断平面EFGK平面ABCD勺位置关系，并用向量方法证明你的判断.(1)证明：分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R，连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心，2 TT-PM所以M,N,Q,R是所在边的中点，且PE=3,2T2TTT_PQpp=3PG=3Y2t-PRPH=3由题意知四边形MNQ屉平行四边形,所以.：.=+*=(.)+(&q