第2章误差及分析数据的统计处理

1、误差及分析数据的统计处理误差及分析数据的统计处理第二章第二章最可靠的分析方法最可靠的分析方法最精密的仪器最精密的仪器熟练的操作人员熟练的操作人员不能得到绝对准确的结果不能得到绝对准确的结果误差是客观存在的误差是客观存在的误差产生的原因及出现规律误差产生的原因及出现规律, ,减小误差减小误差对数据进行正确统计处理对数据进行正确统计处理本章内容本章内容最可靠的数据最可靠的数据2.1 2.1 有关误差的一些基本概念有关误差的一些基本概念1. 误差误差(Error)：测量值：测量值(xi)与真值与真值()之间的差值之间的差值(E)。 绝对误差绝对误差(Absolute error)：表示测量值与真值的

2、差。：表示测量值与真值的差。 =i相对误差相对误差(Relative error)：表示误差在真值中所占：表示误差在真值中所占的百分率。的百分率。 %100%100ErExi 建立误差的意义：建立误差的意义：估计真值估计真值 误差的大小反映了准确度的高低，误差的绝对值越小，误差的大小反映了准确度的高低，误差的绝对值越小， 准确度越高准确度越高 2.真值真值 (True value) 某一物理量本身具有的客观存在的真实值。某一物理量本身具有的客观存在的真实值。 真值是未知的量。真值是未知的量。纯物质的理论值纯物质的理论值（如化合物的理论组成，（如化合物的理论组成，NaClNaCl中中ClCl-

3、-的含量）的含量）计量学约定真值计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质（如国际计量大会确定的长度、质量、物质 的量单位等，以及标准参考物质书上给出的数值）的量单位等，以及标准参考物质书上给出的数值）相对真值相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量 值）（例如，标准样品的标准值）值）（例如，标准样品的标准值）在特定情况下在特定情况下认为认为 是已知的：是已知的： 例例 某黄铜标样中某黄铜标样中Pb和和Zn的含量分别为的含量分别为2.00%和和20.00%，试验测定结果分别为，试验测定结果分别为2.02%和和20.02%，试比较

4、两组测定结果的准确度。，试比较两组测定结果的准确度。 解：解：Pb的测定的测定 绝对误差绝对误差 d=2.02% - 2.00% =+0.02% 相对误差相对误差 dr=+0.02%/2.00% = +1% Zn的测定的测定 绝对误差绝对误差 d=20.02% - 20.00% =+0.02% 相对误差相对误差 dr=+20.02%/20.00% = +0.1%6设一组平行测定值为设一组平行测定值为x1、x2、x3、 xn，那么，那么平均值平均值为：为：3.3.偏差（偏差（deviation): deviation): 平均值是一组平行测定值中出现可能性最大的值，平均值是一组平行测定值中出现可

5、能性最大的值，代表数据的平均水平和集中趋势，但不能反映测定代表数据的平均水平和集中趋势，但不能反映测定数据的分散程度。数据的分散程度。niixnx11 偏差（偏差（d）：个别测定值与平均值之差）：个别测定值与平均值之差xxdii表示精密度高低的量，偏差越小精密度越高。表示精密度高低的量，偏差越小精密度越高。绝对偏差（绝对偏差（d） ：单次测量值与平均值之差：单次测量值与平均值之差 相对偏差（相对偏差（dr）：绝对偏差占平均值的百分比）：绝对偏差占平均值的百分比xxdiixdxxxdiir%100平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值 相对平均偏差：平均偏差

6、占平均值的百分比相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比ndinxxdi%100rxdd 例例 测定测定HCl和和NaOH溶液的体积比。溶液的体积比。4次测定结果次测定结果如下。求测定的平均偏差和相对平均偏差。如下。求测定的平均偏差和相对平均偏差。 VHCl/VNaOH 1.001 1.005 1.000 1.002 1.002 解：解：d=x - x x 1.001 1.005 1.000 1.002 d -0.001 +0.003 -0.002 0.000 d=(|-0.001| + |+0.003| + |-0.002| + |-0.000| )/4 =0.002 d / x 100% =

7、 0.002/1.002 100% =0.2%标准偏差：标准偏差： 相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数） nxnii12)(1)(12nxxSnii未知未知已知已知%100 xSCVRSD 标准偏差可以将较大偏差显著地表示出来。标准偏差可以将较大偏差显著地表示出来。 5.精密度精密度 (Precision) 4.准确度准确度 (Accuracy) 测量值测量值与与真实值真实值相符合的程度，相符合的程度，用用误差误差表示。表示。测定值越接近真值，准确度越高。测定值越接近真值，准确度越高。表示表示各次分析结果相互接近的程度各次分析结果相互接近的程度，用用偏差偏差表示。表示。如数据较分散

8、，则精密度较差。如数据较分散，则精密度较差。 例：例：A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样（四个分析工作者对同一铁标样（WFe= 37.40%) 中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较其中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较其准确度与精密度。准确度与精密度。表观准确度高，精密度低表观准确度高，精密度低准确度高，精密度高准确度高，精密度高准确度低，精密度高准确度低，精密度高准确度低，精密度低准确度低，精密度低准确度与精密度的关系准确度与精密度的关系准确度高，要求精密度一定高准确度高，要求精密度一定高但精密度好，准确度不一定高但精密度好，准确度不一定高 （存在大的系统误差）（存在大的系统误差

9、）准确度反映了测量结果的正确性准确度反映了测量结果的正确性精密度反映了测量结果的重现性精密度反映了测量结果的重现性精密度是保证准确度的前提精密度是保证准确度的前提精密度高，不一定准确度就高精密度高，不一定准确度就高 1. 1. 系统误差（系统误差（Determinate Error，可测误差）可测误差） 是由测定过程中某些经常性的、固定的原因造成的是由测定过程中某些经常性的、固定的原因造成的比较恒定的误差。比较恒定的误差。系统误差影响分析结果的准确度，系统误差影响分析结果的准确度，对精密度影响不大对精密度影响不大。 2. 2. 随机误差随机误差 (Indeterminate Errors，偶然

10、误差偶然误差) 由一些偶然的不确定的因素所引起。由一些偶然的不确定的因素所引起。偶然误差影响偶然误差影响 精密度精密度 2.2 2.2 误差的分类及减免误差的方法误差的分类及减免误差的方法3.3.系统误差产生的原因系统误差产生的原因方法误差：方法不恰当产生（方法误差：方法不恰当产生（如反应不完全； 干扰成分的影响；指示剂选择不当）仪器误差：仪器不精确产生（仪器误差：仪器不精确产生（如容量器皿刻度不 准又未经校正，电子仪器“噪声”过 大等造成）试剂误差：试剂中含被测组分或不纯组分产生试剂误差：试剂中含被测组分或不纯组分产生 （试剂或蒸馏水纯度不够）操作误差：操作误差： 操作方法不当引起（操作方法

11、不当引起（如观察颜色偏深 或偏浅，第二次读数总是想与第一次 重复等造成）(1)(1)重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现；重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现；(2)(2)单向性：测定结果系统偏高或偏低；单向性：测定结果系统偏高或偏低；(3)(3)恒定性：大小基本不变，对测定结果的影响固定。恒定性：大小基本不变，对测定结果的影响固定。(4)(4)可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正4.4.系统误差的性质系统误差的性质5. 系统误差的校正系统误差的校正n方法误差方法误差方法校正方法校正n操作误差操作误差对照实验校正（外检）对照实验校正（

12、外检）n仪器误差仪器误差对照实验校正对照实验校正n试剂误差试剂误差空白实验校正空白实验校正（1 1）对照试验：选择一种标准方法与所用方法作对比）对照试验：选择一种标准方法与所用方法作对比 或选择与试样组成接近的标准试样作试验，找出或选择与试样组成接近的标准试样作试验，找出 校正值加以校正。校正值加以校正。（2 2）空白试验：除了不加试样外，其他试验步骤与）空白试验：除了不加试样外，其他试验步骤与 试样试验步骤完全一样的实验，所得结果称为空试样试验步骤完全一样的实验，所得结果称为空 白值。白值。空白试验扣除空空白试验扣除空白值加以修正白值加以修正试剂或实验用水是否带入被测试剂或实验用水是否带入被

13、测成份或所含杂质是否有干扰成份或所含杂质是否有干扰是否存在系统误差是否存在系统误差 回收试验回收试验 在测定试样某组分含量（在测定试样某组分含量（x1）的基础上，加入已知）的基础上，加入已知量的该组分（量的该组分（x2），再次测定其组分含量（），再次测定其组分含量（x3） 。由回。由回收试验所得数据计算出回收率。收试验所得数据计算出回收率。%100213xxx回收率回收率由回收率的高低来判断有无系统误差存在。由回收率的高低来判断有无系统误差存在。常量组分常量组分: : 一般为一般为99%99%以上，以上，微量组分微量组分: 90: 90110%110%。6.6.随机误差的正态分布随机误差的正态

14、分布u 由一些无法控制的不确定因素所引起的，如：环境由一些无法控制的不确定因素所引起的，如：环境 温度、湿度、电压、污染情况等的变化引起试样温度、湿度、电压、污染情况等的变化引起试样 质量、组成、仪器性能等的微小变化。质量、组成、仪器性能等的微小变化。u 操作人员实验过程中操作上的微小差别。操作人员实验过程中操作上的微小差别。u 其他不确定因素其他不确定因素u 误差值时大时小，时正时负，难以找到具体的原因，误差值时大时小，时正时负，难以找到具体的原因， 更无法测量该值。更无法测量该值。u 多次测量结果表明，随机误差仍符合一定规律。多次测量结果表明，随机误差仍符合一定规律。 测定次数无限多；测定

15、次数无限多； 系统误差已经排除。系统误差已经排除。前提前提6.1 6.1 随机误差分布特性随机误差分布特性 对称性：大小相近的正负误差出现的概率相等对称性：大小相近的正负误差出现的概率相等, , 误误 差分布曲线对称差分布曲线对称 单峰性单峰性: : 小误差出现的概率大，大误差的概率小。误小误差出现的概率大，大误差的概率小。误 差分布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势差分布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势(3) (3) 有界性：由随机误差造成的误差不可能很大，即大误有界性：由随机误差造成的误差不可能很大，即大误 差出现的概率很小；差出现的概率很小；(4) (4) 抵偿性；误差的算术平均值

16、的极限为零。抵偿性；误差的算术平均值的极限为零。niinnd10limxu横坐标：随机误差的值横坐标：随机误差的值纵坐标：误差出现概率大小纵坐标：误差出现概率大小x x di i222/)(21)(xexfyy：概率密度；：概率密度； x：测量值：测量值：总体平均值，即无限次测定数据的：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系统误差时即为真值；反平均值，无系统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。映测量值分布的集中趋势。：标准偏差，反映测量值分布的分散：标准偏差，反映测量值分布的分散程度；程度； 值值小，数据集中，曲线瘦高小，数据集中，曲线瘦高； 值大，数据分散，曲线矮胖值大，数据分散，

17、曲线矮胖x-：随机误差：随机误差高斯方程高斯方程正态分布曲线反映出随机误差的规律：正态分布曲线反映出随机误差的规律：小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，特别大的误差出现的概率极小，正误差和负误特别大的误差出现的概率极小，正误差和负误差出现的概率是相等的。差出现的概率是相等的。由于正态分布曲线的形状随由于正态分布曲线的形状随 而异，若将横坐标改用而异，若将横坐标改用u表示，则正态分布曲线都归结为一条曲线，此时得到的曲表示，则正态分布曲线都归结为一条曲线，此时得到的曲线与线与 的大小无关。这样的分布称为的大小无关。这样的分布称为标准正态分布标准正态分布。

18、6.2 6.2 误差范围与出现的概率之间的关系误差范围与出现的概率之间的关系xux-u概率-,+-1,168.3%-1.96,+1.96-1.96,+1.9695%-2,+2-2,+295.5%-3,+3-3,+399.7%置信度置信度( (Confidence Level) ) ：在某一定范围内测定值或误差出现的概率在某一定范围内测定值或误差出现的概率 68.3%, 95.5%, 99.7% 68.3%, 95.5%, 99.7% 即为置信度即为置信度，22，3 3 等称为置信区间。等称为置信区间。置信度选得高，置信区间就置信度选得高，置信区间就宽。宽。 一定置信度下，一定置信度下，知道了任

19、何单次测定值，无知道了任何单次测定值，无限次测量的算术平均值限次测量的算术平均值的可能范围（的可能范围（u），称为称为置信区间置信区间。 有限次测定无法计算总体标准差有限次测定无法计算总体标准差和总体平均和总体平均值值, ,则随机误差并不完全服从正态分布，服从类似则随机误差并不完全服从正态分布，服从类似于正态分布的于正态分布的 t 分布。分布。 t 的定义与的定义与 u 一致一致, , 用用 s 代替代替，nsxt t 分布曲线随自由度分布曲线随自由度 f (f = n - 1)而变，当而变，当 f 20时，与正态分布曲线很近似，当时，与正态分布曲线很近似，当 f 时，二者一致。时，二者一致。

20、t 值与置信度值与置信度p和自由度和自由度 f 有关。有关。由式：由式：nsxt 置信区间的宽窄与置信度、测定值的精密度和置信区间的宽窄与置信度、测定值的精密度和测定次数有关，当测定值精密度测定次数有关，当测定值精密度(s s值小值小) )，测定，测定次数愈多次数愈多( (n n)时，置信区间时，置信区间，即平均值愈接近，即平均值愈接近真值，平均值愈可靠。真值，平均值愈可靠。 得：得：ntsx 平均值的置信区间平均值的置信区间 它表示在一定置信度下，以平均值它表示在一定置信度下，以平均值 为中心，为中心，包括总体平均值包括总体平均值 的范围。在一定置信度下的范围。在一定置信度下 (如如95%)

21、，真值真值( (总体平均值总体平均值) ) 将在测定平均值附近的一将在测定平均值附近的一个区间即（个区间即（ ）之间存在，把握程度）之间存在，把握程度 95%。 ntsx 置信度置信度，置信区间，置信区间，其区间包括真值的，其区间包括真值的 可能性可能性，一般将置信度定为，一般将置信度定为95%或或90%。 是客观存在的，没有随机性，不能是客观存在的，没有随机性，不能说它落在某一区间的概率是多少；只能说说它落在某一区间的概率是多少；只能说某区间包括总体平均值的概率是多少。某区间包括总体平均值的概率是多少。例例 测定测定 SiO2 的质量分数，得到下列数据，求平均值、标准偏的质量分数，得到下列数

22、据，求平均值、标准偏差、置信度分别为差、置信度分别为90%和和95%时平均值的置信区间。时平均值的置信区间。 28.62, 28.59, 28.51, 28.48, 28.52, 28.63解：解：查表查表 2-2 置信度为置信度为 90%，n = 6 时，时，t = 2.015。56286632852284828512859286228.x06016070040080050030060222222.).().().().().().(s0505628606057125628.置信度为置信度为 95% 时：时：置信度置信度置信区间置信区间0705628606057125628. 测定钢中含铬量

23、时，先测定两次，测得的质量分数为测定钢中含铬量时，先测定两次，测得的质量分数为1.12%和和1.15%；再测定三次；再测定三次, 测得的数据为测得的数据为1.11%, 1.16%和和1.12%。计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（。计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（95%置置信度）。信度）。 查表查表 2-2，得，得 t95% = 12.7%.%.%.x14121511210210120150015022.).().(s%.%.%.W19014120210712141Cr解：解： n = 2 时时例例查表查表 2-2，得，得 t95% = 2.78%.%.%.%.%.%.x13151

24、21161111151121022012.)(nxxs%.%.%.W03013150220782131Cr在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可使置信区间显在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可使置信区间显著缩小，即可使测定的平均值与总体平均值著缩小，即可使测定的平均值与总体平均值接近。接近。 公差：生产部门对于分析结果允许误差的一种表示法公差：生产部门对于分析结果允许误差的一种表示法 超差：分析结果超出允许的公差范围。需重做。超差：分析结果超出允许的公差范围。需重做。公差的确定：公差的确定： （1 1）组成较复杂的分析，允许公差范围宽一些；）组成较复杂的分析，允许公差范围宽一些； （

25、2 2）一般工业分析，允许相对误差在百分之几到）一般工业分析，允许相对误差在百分之几到 千分之几；千分之几； （3 3）原子质量的测定，要求相对误差很小；）原子质量的测定，要求相对误差很小； （4 4）国家规定。）国家规定。2.2.3 3 分析结果的数据处理分析结果的数据处理 个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是该弃去？个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是该弃去？ 测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？ 相同方法测得的两组数据或用两种不同方法对同一试样测得的两相同方法测得的两组数据或用两种不同方法对同一试样测得的

26、两 组数据间的差异是否在允许的范围内？组数据间的差异是否在允许的范围内？ 可疑数据的取舍可疑数据的取舍过失误差的判断过失误差的判断 分析方法的准确度（可靠性）分析方法的准确度（可靠性）系统误差的判断系统误差的判断测定碱灰总碱量（测定碱灰总碱量（%Na2O)得到得到6个数据，按其大个数据，按其大小顺序排列为小顺序排列为40.02，40.12，40.16，40.18，40.18，40.20。第一个数据可疑，不舍去第一个数据，这。第一个数据可疑，不舍去第一个数据，这组数据的平均值是组数据的平均值是40.14；若舍去第一个数据，五；若舍去第一个数据，五个数据的平均值是个数据的平均值是40.17。必须按

27、照科学的统计方。必须按照科学的统计方法来决定数据的取舍。法来决定数据的取舍。2.3.1 可疑数据的取舍可疑数据的取舍1. Grubbs 法法（4）由测定次数和要求的置信度（置信度选择）由测定次数和要求的置信度（置信度选择95%），）， 查表得查表得G 表表（5）比较）比较 若若G计算计算 G 表表弃去可疑值，反之保留。弃去可疑值，反之保留。 sXXGsXXGn1计计算算计计算算或或（1）排序：将测量的数据按大小顺序排列）排序：将测量的数据按大小顺序排列 x1,x2, x3, x4 xn, x1 x2 x3 Qx 舍弃该数据舍弃该数据, （过失误差造成）（过失误差造成） 若若 Q Qx 保留该数

28、据保留该数据, （随机误差所致）（随机误差所致） 测定某药物中测定某药物中Co的含量（的含量（10-4）得到结果如下：）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，用用Grubbs 法和法和 Q 值检验法判断值检验法判断 1.40 是否保留。是否保留。查表查表 2-3，置信度选，置信度选 95%，n = 4，G表表 = 1.46 G计算计算 G表表 故故 1.40 应保留。应保留。3610660311401.计算计算G解：解： 用用 Grubbs 法：法： x = 1.31 ； s = 0.066 用用 Q 值检验法：可疑值值检验法：可疑值 xn600251401311401

29、11.xxxxQnnn计计算算查表查表 2-4， n = 4 ， Q0.90 = 0.76 Q计算计算 t t表表 ，则与已知值有显著差别，则与已知值有显著差别( (存在系统误差存在系统误差) )若若 t t计算计算 t t表表，正常差异（随机误差引起的）。，正常差异（随机误差引起的）。例例 用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为11.7 mg/kg的标准试样，进行五次测定，所得数据为：的标准试样，进行五次测定，所得数据为： 10.9, 11.8, 10.9, 10.3, 10.0判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。判断该方法是否可行？（是否存在系统

30、误差）。解：计算平均值解：计算平均值 = 10.8，标准偏差，标准偏差 S = 0.7查表查表 2-2 t 值表，值表，t(0.95 , n = 5) = 2.78 t计算计算 t表表说明该方法存在系统误差，结果偏低。说明该方法存在系统误差，结果偏低。872570711810.nsxt2.2.3 3.3 .3 两个平均值的比较两个平均值的比较相同试样、两种分析方法所得平均值的比较（缺标准值时）相同试样、两种分析方法所得平均值的比较（缺标准值时） 系统误差的判断系统误差的判断 对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价；对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价； 对两个单位测定相同试样所得结果

31、进行评价；对两个单位测定相同试样所得结果进行评价； 对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；判断方法：判断方法： t t 检验法检验法+ +F F 检验法检验法前提前提： 两个平均值的精密度没有大的差别。两个平均值的精密度没有大的差别。F F 检验法检验法也称方差比检验也称方差比检验: :22小小大大SSF 若若 F F计算计算 F F表表, ,被检验的分析方法存在较大的系统误差被检验的分析方法存在较大的系统误差212121nnnnSxxt合合t t 检验式：检验式：S S大大和和S S小小分别代表两组数据中分别代表两组数据中标准偏差大的数值和小的数

32、值标准偏差大的数值和小的数值) 1() 1() 1() 1(21222121nnnsnss合241.甲甲x331.乙乙x531017002102222.).().(小小大大计计算算SSF再进行再进行 t t 检验：检验：查表查表 2-2 t 值表值表 f = n1 + n22 = 3 + 42 = 5，n=6, 置信度置信度 95% t表表 = 2.57，t计算计算t表表 表明二人采用的不同方法间表明二人采用的不同方法间存在显著性差异存在显著性差异212121nnnnSxxt合合02002430170140210132112221222211.).)().)()()(nnSnSnS合合9054

33、3430200331241.t计算表明甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异；计算表明甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异；如何进一步查明哪种方法可行如何进一步查明哪种方法可行: :分别与标准方法或使用标准样品进行对照试验，根据实验结果分别与标准方法或使用标准样品进行对照试验，根据实验结果进行判断。进行判断。系统误差有多大系统误差有多大:本例中两种方法所得平均值的差为：本例中两种方法所得平均值的差为：其中包含了系统误差和偶然误差。其中包含了系统误差和偶然误差。09021.xx 分析结果包含了多步计算；分析结果包含了多步计算； 每个测量值的误差将传递到最后的结果中去，每个测量值的误差将传递到最

34、后的结果中去， 传递方式随误差的性质而不同。传递方式随误差的性质而不同。2.2.4 4.1 .1 系统误差的传递公式系统误差的传递公式 如以测定量如以测定量 A、B、C 为基础，得出分析结果为基础，得出分析结果 R1.1.加减法运算：加减法运算： R = A + B C 分析结果最大可能的绝对误差：分析结果最大可能的绝对误差：各个测定值绝对误差之和各个测定值绝对误差之和 (R)max= A + B + C2. 2. 乘除法运算：乘除法运算： R = AB / C分析结果最大可能的相对误差：各个测定值相对误分析结果最大可能的相对误差：各个测定值相对误差之和差之和CCBBAARR max 最大可能

35、误差，即各测定量的误差相互累加。最大可能误差，即各测定量的误差相互累加。但在实际工作中但在实际工作中, ,各测定量的误差可能相互部分抵消各测定量的误差可能相互部分抵消使得分析结果的误差比计算的最大可能误差要小。使得分析结果的误差比计算的最大可能误差要小。若若R = m（ AB / C ），误差传递公式同上。），误差传递公式同上。2.2.4 4.2 .2 随机误差的传递公式随机误差的传递公式1.1.加减法运算：加减法运算： 2222CBARSSSS 式中：式中：S S 为标准偏差，为标准偏差，S SA A 即即 A A 的标准偏差。的标准偏差。2.2.乘除法运算乘除法运算2222CSBSASRS

36、CBAR分析结果的标准偏差的平方是分析结果的标准偏差的平方是各测量值标准偏差的平方之和各测量值标准偏差的平方之和分析结果的相对偏差的平方等于各测量值的相对偏差平方之和分析结果的相对偏差的平方等于各测量值的相对偏差平方之和 2.2.5 5.1 .1 有效数字有效数字 1. 1. 实验过程中遇到的两类数字实验过程中遇到的两类数字 （1 1）非测量值）非测量值 如测定次数；倍数；系数；分数；常数如测定次数；倍数；系数；分数；常数( () ) 有效数字位数可看作无限多位。按计算式中需要而定。有效数字位数可看作无限多位。按计算式中需要而定。 （2 2）测量值或计算值）测量值或计算值 有效数字：有效数字：

37、就是在实验中实际测到的数字，就是在实验中实际测到的数字，数据位数反映数据位数反映 测量的精确程度。测量的精确程度。 可疑数字：可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不 准确。一般有效数字的最后一位数字有准确。一般有效数字的最后一位数字有1 1个单位的误差个单位的误差如根据滴定管上的刻度可以读出：如根据滴定管上的刻度可以读出：12.312.34 4 mL mL，该数字是从实验中得到的，该数字是从实验中得到的，因此这四位数字都是有效数字。最后一位数字因此这四位数字都是有效数字。最后一位数字4 4是估计值，是可疑数字。是估计值，是可疑数字。又如用万分

38、之一天平称样品质量得又如用万分之一天平称样品质量得0.10530.1053克，此四位数字就是有效数字。克，此四位数字就是有效数字。2.2. 有关有效数字的有关有效数字的讨论讨论 （1 1）正确记录实验数据）正确记录实验数据 （2 2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地 反映测量的精确程度。反映测量的精确程度。 （3 3）一般有效数字的最后一位数字有）一般有效数字的最后一位数字有1 1个单位的误差，个单位的误差， 而其它各位数都是确定的。而其它各位数都是确定的。 结果结果 绝对偏差绝对偏差 有效数字位数有效数字位数 0.51800 0.

39、00001 5 0.5180 0.0001 4 0.518 0.001 3（4 4）数据中零的作用）数据中零的作用 数字零在数据中具有双重作用：数字零在数据中具有双重作用： a. 作普通数字用，如作普通数字用，如 0.5180；4位有效数字位有效数字 5.180 101 b. 作定位用，如作定位用，如 0.0518；3位有效数字位有效数字 5.18 102（5）注意点注意点 a. 容量器皿容量器皿: 滴定管滴定管, 移液管移液管, 容量瓶；容量瓶；4位有效数字位有效数字 b. 分析天平（万分之一）取分析天平（万分之一）取4位有效数字位有效数字 c. 标准溶液的浓度，用标准溶液的浓度，用4位有效

40、数字表示位有效数字表示: 0.1000 mol/L 3 3、确定有效数字的位数确定有效数字的位数 有零的数字有零的数字 1.0008 5 1.0008 5位位 0.0382 30.0382 3位，位， 0.1000 4 0.1000 4位位 整数：整数： 4318 4 4318 4位；位； 54 254 2位位 对数值：对数值： 其有效数字的位数仅取决于其有效数字的位数仅取决于小数部分小数部分( (尾数尾数) ) 数字的位数。数字的位数。 pH 5.1 1位位 pH 8.72 2位位 H+=1.910-9 mol.L-1 lgX = 2.38 2位位 lg(2.4 102) 分数、倍数：视为无

41、限多位有效数字。如：分数、倍数：视为无限多位有效数字。如：1/21/2， 100010002.2.5 5.2 .2 有效数字的修约规则有效数字的修约规则1. 1. 为什么要进行修约？为什么要进行修约？ 有效数字位数能正确表达实验的准确度，有效数字位数能正确表达实验的准确度， 舍去多余数字的过程，称为数字修约舍去多余数字的过程，称为数字修约2. 2. 修约规则：修约规则：“四舍六入五留双四舍六入五留双” （1）当多余尾数）当多余尾数4时舍去尾数，时舍去尾数，6时进位。时进位。 （2）尾数正好是）尾数正好是5时分两种情况：时分两种情况： a. 若若5后数字不为后数字不为0，一律进位，一律进位，0.1067534 b. 5后无数或为后无数或为0，采用，采用5前是奇数则将前是奇数则将5进位，进位，5前是偶前是偶 数则把数则把5舍弃，简称舍弃，简称“奇进偶舍奇进偶舍”。 （1）示例：保留四位有效数字，修约：）示例：保留四位有效数字，修约： 14.2442 14.24 26.4863 26.49 15.0250 15.02 15.0150 15.02 15.0251 15.03（2）一次修约到所需位数，不能分次修约，否则产生较大误差）一次修约到所需位数，不能分次修约，否则产生较大误差 如将如将2.5491 修约为两位。修约为两位。 一