02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)

1、柯西不等式与平均值不等式一、比较法1 求差比较法知道 a b? a b0, avb? a bv0,因此要证明 a b,只要证明 a b 0 即可，这种方法称为求差比较法.2.求商比较法aa由 a b 0?二二1 且 a 0, b 0，因此当 a 0, b 0 时要证明 ab，只要证明1即可，这种方法称为bb求商比较法.二、 分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实， 从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即执果索因”的证明方法.三、 综合法从已知条件出发，禾 U 用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立

2、，这种证明 方法称为综合法即 由因寻果”的方法.四、 放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的 目的.这种方法称为放缩法.五、 反证法的步骤1.作出否定结论的假设；2.进行推理，导出 矛盾；3 .否定假设，肯定结论.六、柯西不等式的二维形式1.柯西不等式的代数形式：设a, b, c, d 都是实数，则（a2*圧）“2* d2）（abd）2，其中等号当且仅当 aib2=a2bi时成立.a B为平面上的两个向量，则|a|3IP其由等号I且仅当两个向量方向xi, yi, X2, y2 R，那么 x2+ y1+寸 x2+ y2(xi X2)2+

3、 (yi y2)22.柯西不等式的向量形式：设相同或相反时成立.3.二维形式的三角不等式：设七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设b2）pibi+a2b2+ +anbn）2.ai, a2,，an,bi,b2,bn为实数，则(a2+a2+an) (b2+ b2+八、基本不等式的一般形式ai+ a2+annn)例 i：设 a, b 是非负实数，求证：a3+ b3 ab(a2+ b2).证明：由 a, b 是非负实数，作差得 a3+ b3 ab(a2+ b2)= a2；a(a. b) + b2.：b( b a) =7b)(h/a)5h/b)5).当 aPb 时，诵pb，从而(占)5晶5，得

4、血Vb)(fa)5 b)5)邛 当 ab 时，.a.b，从而(：a)5n(k= i,2,，n)，得亦斥孑当 k= i 时，齐帝不孑 当 k= 2 时,.in”i 丄 i 丄.1n 彳_ =一+-+ +一v - =1.2 2n n+ in + 22n ni i i当k=n时，2n=n+n 0,故 ab+ 1 a+ b. 本例条件不变，试比较logm(ab + 1)与 logm(a + b)(m 0 且m1)的大小.解： 0vav1,0vbv1 , (ab+ 1) (a+ b) = (a 1)(b 1)0.故 ab+ 1a+ b.当 m 1 时，y= logmX 在(0, + )上递增， logm

5、(ab + 1) logm(a + b)当 0vmv1 时 logmX 在(0, + 上单调递减，logm(ab+1)vlogm(a+b).例 5：设 n N, n 1，试比较 logn(n + 1)与 logn+1(n + 2)的大小.2 21 2 322logn 1n 2 logn 1nlogn 1n2nlogn 1n 1等式成立.2例 8:已知 m 0, a, b R,求证：a mb1 m证明：因为 m0,所以 1 + m0,所以要证2 m2ab+ b2)0即证(a-b)2 0 而(a-b)20显然成立，故a mb1 m例 9:设 x, y, z 为正数，求证：2(x3 * * * *+

6、 y3+ z3)Xy + z) + y2(x + z) + z2(x+ y) 证明：因为 x2+ y2 2xy0所以 x3+ y3= (x + y)(x2 xy + y2) xy(+y)，同理 y3+ z3 yz(+ z), z3+ x3 zx(z + x)，三式相加即可得 2(x3+ y3+ z3) xy(+ y) + yz(y + z) + zx(z + x)，又因为 xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)所以 2(x3+y3+z3)Xy+z)+y2(x+z)+z2(x+y)1 利用综合法证明不等式时， 应注意对已

7、证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a20(2)|a| ；(3)a2+ b22b;2等；ab(aQb0,)它的变形形式又有logn+1( n+ 2)logn(n + 1)解:=logn+1(n + 2) logn+mW=v2 2 2=1因此，logn(n + 1)logn+i(n + 2)a2 b2a一 b例 6：设 ab 0，求证：2丄h2-.2+ b2a+ b证明： 法一： a b0,A左边右边=(a-皿丫+第-(1+旳=厂+2一% 0，故原不等式成立2|从亠，(a2+b2)(a+b)a2 b2、,亠一a2+ b2a2 b2a+ b (a+ b)2* , 2ab、* 口亠c a b .

8、a2 b2a ba- ba2+ b2a ba2+ b2a2+ b2a + ba2+ b2a+ ba + b例 7：(1)设 xl,y1,证明y+x+(xy)2xy(x+y)+1;(2)设 1vawbc 证明 logab+ logbc+ logca4ogba+ logcb+ logac.111解：(1)由于 x1y1,所以 x+y+xy1,y1,所以(xy 1)(x 1)(y 1) ，从而所要证明的不等式成立.1 1 1(2)设 logab = x, logbc= y,由对数的换底公式得logca = y, logba=;, logcb=y logac= xy.111于疋，所要证明的不等式即为x

9、+ y +x_1,y= logbc做由(1)可知所要证明的不a+-23a(a2+ b2)(a + b)a2+ mb2仝1 + m a2+ mb2三 1 + m ，即证(a + mb)2w(+ m)(a2+ mb2),即证 m(a22+ b2它的变形形式又有(a+ b)24b, 节鸟 乞上2222+ m311111例 12：求证：2 n+v1+ 2+32+孑 k2 k(k 1), k2, 将上述不等式相加得:1111即厂即厂n+T尹尹尹尹11111 v2v ；34322311+11+ + 2334,1d1- + 辽3丄丄v1+存存存存+v2 丄丄(1)在不等式的证明中，放”和缩”是常用的推证技巧

10、.放”和缩”的方向与放”和缩”的量的大小是由题目 分析得出的常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1,g ,一,1k2k(k 1) k2k(k+1)k 1 Vka a + mN+, k 1.利用函数的单调性， 真分数性质 若 Ovavb, m0,则 b .上面不等式中 k.i k + ： ； k+ 1放”和解：因为 x0 , y 0, x y 0, 2x+x12 2xy+y1 12y= 2(x y) +2= (x y) + (x y) +2x yx yx y22= 3，所以 2x+1x2 2xy+ y22+3.1113 _1 _11113证明：因为 a, b, c 为正实数，由平均不等式可得

11、+ 73 + -33盲盲二，即二+仁+二芦匸abc V a b c abc abc a/ abc= 2 近.所以卡+*+g+abc3.11133所以 了+ b+ 臣+ abc養匕。養匕。+ abc.而 ObC + abc2、例 15:若 n 为大于 1 的自然数，求证：nn+ 1vn+ 1 +: +；+ - +123n证明：由柯西不等式右边二1+1+1+2+1+1+1+n=2+2+十十5+专专:223咋=n %+ 1 =左边. 2 寻器故不取等号.不等式 n*n+ 1vn+1 +* + 3+半成立.1例 16：已知 f(x)= x2+ px + q,求证f(1), f(2), f(3)中至少有

12、一个不小于？.号a b例 10:设 m 是a, b和 1 中最大的一个，当x m 时，求证：&+ x2证明由已知ma, m 羽| m 又凶m,. |x| |a|, |x| |b|, |x|=1+右右v1+N=2.迸迸+?|v2成立.例 11：已知 a0, b0, c0, a+ bc.求证：+1 + a 1 + b 1 + caabbaba + b- -,- -1- -1 + a 1 + a +b1 + b 1 + a+ b 1 + a 1+ b 1 + a + b1+x=11+x在O+s上递增，且a+bc,f(a+b)f(c),则1+b1+c所以宀+-L-?-，则原不等式成立.1 +

13、a 1 + b 1 + cv2.+x2=計曽v怜诗证明： a 0, b 0,而函数 f(x)=例 13:已知 x, y 均为正数，且xy，2x+ x2 2xy+ y2(2)在用放缩法证明不等式时,1111例14：设a,b,c为正实数，求证：芦芦?+abc23.添加或减少项，利用有界性等.1证明：假设 f|, |f(2)|, |f(3)|都小于2，则 |f(1)| + 2|f(2)| + |f(3)|V2.而 f(1)|+ 2|f(2)|+ |f(3)| 我| + f(3) - 2f(2)| = |(1 + p+ q)+ (9 + 3p + q) - (8 + 4p+ 2q)|= 2，与 |f(

14、1)| + 2|f(2)| + |f(3)|v2 矛盾, |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| 中至少有一个 不小于；1111 1 1例 17： 设 a、b、c 均为正数，求证： ；A- 1- 1- .2a2b2cb；cc；a a； b1111111111一z，当 a = b 时等号成立；-(；)汽一,2b2 ab a ； b22b 2c 丿 2 . be b ； c一. . 1 . 1 . 1、1 . 1 .2a 2b 2c b； c c+证明：Ta、b、c 均为正数，22a1 , , , , ,A，当 a = c 时等号成立. 三个不等式相加即得 才；益；TTA 1c； a片“ _

15、，一+吉，当且仅当a=b=c时等号成立.1=彳 12+12+12)21111c _2(1； 9)abc3a2b21-X2x2例 20：已知 a, b 为正实数.(1)求证：匚+ %+ b; (2)利用(1)的结论求函数 y=；(0VXV1)b aX1 X的最小值.a2b2a3b3解: (1)证明：法一：Ta0, b 0, (a； b) 一 一 = a2； b2；初2+ b2； 2ab= (a； b)2babab ab a“(a 0),尹 b 2(b 0),；+ 0,由(1)的结论，函数 y=-；ab.又Ta 0, b0,ab，a2刊当且仅当a=b时等号成立 7+：溯+ b2X11 一X2当且仅当 1 X=X即X=1时等号成立.函数 y=- ；2Xx21A(X)；X=1.21 - x(0VXV1)的最小值为1.n n+12例 18：已知：an=1 X2+2X3 +3 用+ n n+ 1