现代控制理论

1、第第4 4章章 控制系统稳定性控制系统稳定性 对于多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论对于多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年发表年发表运动稳定性一般问题运动稳定性一般问题，提，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论适用于单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统的稳定论适用于

2、单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统的稳定性分析，使得性分析，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。几个柱石之一。本章的主要内容为本章的主要内容为1. 引言引言2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义李亚普诺夫意义下稳定性的定义3. 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法5. 线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性4. 线性连续系统的稳定性线性连续系统的稳定性6. 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定7. 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析4.1 4.1 引言引言 李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方

3、法。李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性

4、来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例例4-1 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。下微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）选取状态变量选取状态变量xx 112xxx 则系统的状态方程为则系统的状态方程为212fxkxx21xx （2）在任意时刻，系统的总能量在任意时刻，系统的总能量2122212121),(kxxxxE（3）显然，当显然，当 时时 ，而当，而当 时时0 x0)(xE0 x0)(0E而总能量随时间的变化率为而总能量随时间的变化率为2

5、22211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可见，只有在可见，只有在 时，时， 。在其他各处均有。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。什么是系统平第二法是研究系统平衡状态稳定性的。什么是系统平衡状态呢？衡状态呢？ex 如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 ，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定

6、性问题。0ex平衡状态平衡状态 一般地，系统状态方程为一般地，系统状态方程为 ，其初始状态，其初始状态为为 。系统的状态轨线。系统的状态轨线 是随时间而变化的，若存在是随时间而变化的，若存在 状态状态点点 ，当系统运动到该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间，当系统运动到该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，则称变化，则称 为系统平衡状态。为系统平衡状态。),(txfx )(0tx)(txexex4.2 4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义李亚普诺夫意义下稳定性的定义0ex),(txfx （6）（5）0),(0tetxx)(0),(0t定义定义 对于任意给定的实数对于任意给定的实

7、数 ，都对应存在实数，都对应存在实数 ，使得由满足不等式使得由满足不等式0的任意初始状态的任意初始状态 出发的轨线出发的轨线 有有00)(xxt)(txetxx)( 对所有对所有 t t0成立，则称成立，则称 为为Lyapunov意义下是稳定的。意义下是稳定的。0ex4.2.1 稳定的定义稳定的定义nxx1x则则221nxxx非线性时变系统非线性时变系统（4）表示求欧几里德范数。表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）（即：表示空间距离）Lyapunov意义下稳定渐进稳定渐进稳定4.2.2 渐近稳定渐近稳定0ex如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态 是稳定的。是稳定的。从平衡状态的某个充分小的

8、邻域内出发从平衡状态的某个充分小的邻域内出发的状态轨线的状态轨线 ，当，当 时，收敛于时，收敛于 ，则称，则称 为渐近稳定。为渐近稳定。0ex)(txt0ex更精密的叙述如下：更精密的叙述如下：0exetxx )()(tx0ex如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态 ，对于，对于 ，存在，存在 和和，当，当 时，从时，从 出发的出发的 ，都有，都有并且并且 充分大时，充分大时， 就充分小。则称就充分小。则称 为为Lyapunov意义下意义下渐近稳定。当渐近稳定。当 与与 、 无关时无关时 ，则称，则称 为一致渐近稳定。为一致渐近稳定。0tT Tt etxx)(0T0ex0tT4.2.3 大范围渐

9、进稳定大范围渐进稳定如果如果 是整个状态空间中任一点，并且都有是整个状态空间中任一点，并且都有则为大范围渐近稳定或称为则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。意义下全局渐近稳定。00)(xxtettxx)(lim当稳定性与当稳定性与 的选择无关时，称一致大范围渐近稳定。的选择无关时，称一致大范围渐近稳定。0t不稳定4.2.4 不稳定不稳定对于任意的实数对于任意的实数 ，存在一个实数，存在一个实数 ，不论，不论 取的多么小，在满足不取的多么小，在满足不等式等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状的所有初始状态中，至少存在一个初始状态态 ，由此出发的轨线，由此出发的轨线 ，不满

10、足，不满足00exx00 x)(txexx称称 为为Lyapunov意义下不稳定意义下不稳定0ex4.3 4.3 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法0)(xV定义定义 如果标量函数如果标量函数 ，并且当，并且当 时，时， ；仅当；仅当 时，时， ；则称；则称 为正定的。除了为正定的。除了 以外，还有以外，还有状态使状态使 ，称，称 为正半定的。为正半定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定义定义 如果标量函数如果标量函数 ，并且当，并且当 时，时， ；仅当；仅当 时，时， ；则称；则称 为负定的。除了为负定的。除了 以外，还有以外

11、，还有状态使状态使 ，称，称 为负半定的。为负半定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，具有连续一阶偏导数，并且满足：并且满足：1） 为正定；为正定； 2） 为负定。为负定。 则则 为一致渐近稳定的。为一致渐近稳定的。如果如果 时时 ， ，则，则 是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定的。的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV0ex例例4-24-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。系统的状态方程如下，判别系统稳定性

12、。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得)()(2221xxVx可见，可见， 是负定的，即满足是负定的，即满足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统 是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV222122121)(21)(xxxxVx选取选取Lyapunov函数，函数，00)(00)(xxxxVV显然是正定的，即满足显然是正定的，即满足定理定理4-24-2 设系统状态方程为设系统状态方程为)

13、(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导具有连续一阶偏导数，并且满足：数，并且满足：1） 为正定；为正定； 2） 为半负定；为半负定；3）除了）除了 平衡状态外，平衡状态外，还有还有 的点，但是不会在整条状态轨线上有的点，但是不会在整条状态轨线上有 则则 为一致渐近稳定的。为一致渐近稳定的。如果如果 ， ，则，则 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。 0ex)(xV0)(xV（注：本定理是将定理注：本定理是将定理4-14-1的条件稍微放宽了一点）的条件稍微放宽了一点）例例4-3

14、4-3 系统的状态方程为系统的状态方程为1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。为大于零的实数。判别系统的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而221122)(xxxxVx将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可见，当可见，当 和任意的和任意的 时，有时，有 ，而，而 和任意和任意 时，时， 。又因为又因为 ，只要，只要 变化变化 就不为

15、零，因此就不为零，因此在整条状态轨线上不会有在整条状态轨线上不会有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统 是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV定理定理4-34-3 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 0ex)(xVx0ex)(xV)(xV0ex在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导具有连续一阶偏导数，并且满足：数，并且满足：1） 为正定；为正定；2） 为半负定；为半负定； 则则 为一致稳定的。为一致稳定

16、的。如果如果 ， ，则，则 是大范围一致稳定的。是大范围一致稳定的。 )(xV（注：本定理只是比定理（注：本定理只是比定理4-2少了第少了第3个条件，不能保证个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）渐近稳定，只能保证一致稳定。）)(xV因为因为 0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则系，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳是一致稳定的。定的。0)(xV0ex例例4-44-4 系统的状态方程为系统的状态方程为1221xxkxx其中，其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡

17、状态的稳定性。为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 为为Lyapunov意义下一致稳定。意义下一致稳定。 0ex定理定理4-44-4 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，具有连续一阶偏导数，并且满足：并且满足： 1） 为正

18、定；为正定； 2） 为正定或半正定；为正定或半正定； 则则 为不稳定的。为不稳定的。)(xV例例4-54-5 系统的状态方程为系统的状态方程为21221xxxxx分析系统平衡状态的稳定性。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不稳定的。是不稳定的。 0ex 应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造应该指出：到目前为止，人类还没有找到构

19、造Lyapunov函数函数的一般方法。因为的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。没有得出结论）。4.4 4.4 线性连续系统的稳定性线性连续系统的稳定性对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为对线性时变系统，其相应的齐次状态方

20、程为xAx)(t由第由第2章介绍的方法求出其解为章介绍的方法求出其解为由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定；由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定；如果发散，则都不稳定。如果发散，则都不稳定。)(),()(00ttttxx 首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵nnnnnnqqqqqqqqq212222111211Q当它的所有主子式均大于零时，则当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定是正定的。即：的。即：011q022211211qqqq,0212222111211nnnnnnqqqqqqqqq对线性定常系统对线性定常系统 ，可以

21、用，可以用Lyapunov第二法。第二法。xAx)(t 如果方阵如果方阵Q 是正定的，则是正定的，则Q 就是负定的。负定的矩阵主子式就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。负正相间。Lyapunov函数函数 为状态变量为状态变量 的二次型函数，即的二次型函数，即)(xVxPxxxTV)(如果如果P 为为 维正定的对称常数矩阵，则维正定的对称常数矩阵，则 为正定的。为正定的。nn)(xVxPAPAxPxxx)()(dd)(TTTtV令令 ，其中，其中Q 为正定实数矩阵，且满足为正定实数矩阵，且满足 QxxxTV)(QPAPAT如果给定正定矩阵如果给定正定矩阵Q，若能够推出，若能够推出P 为正定的，

22、则系统在为正定的，则系统在 为稳为稳定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。若不能推出若不能推出P 为正定，则系统在为正定，则系统在 不稳定。不稳定。0ex（注：为简便起见，通常选取（注：为简便起见，通常选取Q=IQ=I（单位阵）。）（单位阵）。）0ex例例4-64-6 线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为xx1110-判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex为简单起见，可以令为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵阵为单位矩阵I。IPAPAT10011110111022

23、21121122211211PPPPPPPP解得解得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有有可见，可见， P 为正定的矩阵，故为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。为大范围一致渐近稳定的。0ex4.5 4.5 线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为线性定常离散系统的状态方程为)() 1(kkGxx（8）0ex系统的平衡状态为系统的平衡状态为0ex假设假设G 为为 维非奇异常数阵，维非奇异常数阵， 是唯一的平衡状态。是唯一的平衡状态。nn选取选取Lyapunov函数函数)()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P

24、 为为 正定的对称常数，因此正定的对称常数，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分为的差分为)()()()() 1() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 处渐近稳定，要求处渐近稳定，要求 为负定的。所以为负定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 为正定。为正定。给定一个正定对称常数阵给定一个正定对称常数阵Q ，求，求P 阵，并验证其正定性。阵，并验证其正定性。QP-PGGT（10）例例4-74-7 线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。线性定常离散系统的状态方程如下，试

25、判别其稳定性。)(02110) 1(kkxx解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex为简单起见，可以令为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵阵为单位矩阵I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各阶主子式均大于零，即的各阶主子式均大于零，即0380035可见，可见， P 为正定的矩阵，故为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。为大范围一致渐近稳定的。0ex4.6 4.6 有界输入有界输入- -有界输出稳定有界输出稳定4.6.1 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定Bounded Input Bound

26、ed Output (BIBO) Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为为BIBO系统。系统。如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 uu1K如果输出如果输出 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的线性定常系统。描述的线性定常系统。CxyBuAxx为初始松弛系统。其输出向量的解为为初始松弛系统。其输出向量的解为ttttd)()(

27、)(0uHy（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有，有td)(0H3K或者对于或者对于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例例4-8 线性定常系统方程为线性定常系统方程为uaxxcxy atcth e)(分析系统是否分析系统是否BIBO稳定。稳定。解解001dd)(00aaacecha可见，只有当可见，只有当 时，才有有限值时，才有有限值 存在，系统才是存在，系统才是BIBO稳定稳定的。的。3K0a4.6.2 BIBO稳定与

28、平衡状态稳定性之间的关系稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统对于线性定常系统CxyBuAxx（12）平衡状态平衡状态 的渐近稳定性由的渐近稳定性由A 的特征值决定。而的特征值决定。而BIBO的稳定性的稳定性是由传递函数的极点决定的。是由传递函数的极点决定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有极点都是的所有极点都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含处的渐近稳定就包含了了BIBO稳定，而稳定，而BIBO稳定却可能不是稳定却可能不是 处的渐近稳定。处的渐近稳定。

29、)(sG那么在什么条件下，那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？渐近稳定呢？结论是：如果（结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。0ex0ex4.7 4.7 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析4.7.1 用用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性第二法分析非线性系统稳定性到目前为止，尚没有构造到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。

30、以下是两种比较有效的方法。都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。1. 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非线性定常系统的状态方程为非线性定常系统的状态方程为00)()(fxfx 其中其中 和和 均为均为n维向量。维向量。 为非线性多为非线性多元函数，对各元函数，对各 都具有连续的偏导数。都具有连续的偏导数。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni构造构造Lyapunov函数如下函数如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 为为 正定对称常数矩阵正定对称常数矩阵nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(d

31、dd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xxfxJ其中其中称为雅可比矩阵称为雅可比矩阵（16）)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是负定的，则是负定的，则 是负定的。而是负定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致渐近稳定的。如果是一致渐近稳定的。如果 ， ，则，则是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 ，这时，这时)(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST例例4-104-10 非线性定常系统状态方程为非线性定常系统状态方程为3221211xxxxxx试分析试分析 的稳定性。的稳定性。0ex解解3221211)(xxxxxxxf雅可比矩阵雅可比矩阵222212211131101)()(xxfxfxfxfxxfxJ选择选择 W=I 则则222222621123110131011)()()(xxxTxJxJxS检验检验 的各阶主子式：的各阶主子