高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法练习北师大版选修1

1、精品教案可编辑2.1复数的加法与减法目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1 .复数加法与减法的运算法则(1)设zi=a+bi,Z2=c+di是任意两个复数，则zi+z2=(a+c)+(b+d)i,ziZ2=(ac)+(b一d)i.(2)对任意zi,Z2,Z3C,有zi+Z2=Z2+zi,(zi+Z2)+Z3=zi+(z2+z3).2 .复数加减法的几何意义如图：设复数zi,z2对应向量分别为OZi,0Z2,四边形OZiZZ2为平行四边形，则与zi+z2对应的向量是0Z,与zi-z2对应的向量是ZlZi.情境导学我们

2、学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设zi=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考2当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？答一致思考3复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考4实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答

3、满足，对任意的Z1,Z2,Z3CC,有交换律：Zl+Z2=Z2+Z1.结合律：(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3).证明：设zi=a+bi,z2=c+di,zi+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+zi=(c+a)+(d+b)i,显然，Zl+Z2=Z2+Zl,同理可得(Zi+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).思考5类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.例i计算：(i)(i2i)(2i)(2i)(i2i)；精品教案(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式=(122+1)+(2+112)i=2.(2)原式=1+(i1)+(

4、1+2i)+(12i)=(1111)+(1+22)i=2+i.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练1(1)计算2i(32i)3(13i)；(2)计算(a+2bi)(3a4bi)5i(a,beR).解(1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=9i.(2)原式=-2a+6bi5i=2a+(6b5)i.探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设&1,0Z2分别与复数a+bi,c+di对应，则有&1=(a

5、,b),&2=(c,d),由向量加法的几何意义OZ1+oZ2=(a+c,b+d),所以0Z1+0Z2与复数(a+c)+(b+d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数Z1-Z2对应的向量？可编辑答z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与Z1-Z2对应的向量(如图).图中OZl对应复数Z1,&2对应复数Z2,则ZlZl对应复数Z1Z2.例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,2+4i.求：(1)AO表示的复数；(2)对角线CA表示的复数；对角线OB表示的复数.解(i)因为A

6、O=OA,所以AO表示的复数为一32i.(2)因为CA=OAOC,所以对角线CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线oB=OA+oC,所以对角线OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用.跟踪训练2复数zi=1+2i,Z2=-2+i,Z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解设复数Z1,Z2,Z3在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,yCR),如图.则AD=(5d-o

7、A=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BC=OCOB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.,.Ad=BC,.(x-1)+(y-2)i=1-3i.x1=1x=2,解得y-2=-3y=-1故点D对应的复数为2i.探究点三复数加减法的综合应用例3已知|Z1|=|Z2|=|Z1Z2|=1,求|Z1+Z2|.解方法一设Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dCR),.Z1|=|Z2|=|Z1-Z2|=1,.a2+b2=c2+d2=1,(a-c)2+(b-d)2=1,由得2ac+2bd=1,，21+在|=4a+c2+b+d2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=/.方法二

8、设O为坐标原点，Z1,Z2,Z1+Z2对应的点分别为A,B,C.Zl|=|Z2|=|Z1Z2|=1,，怎AB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60。，边长为1的菱形，且|Z1+Z2|是菱形的较长的对角线OC的长，.Z1+Z2|=|OC|=oA|2+|AC|2-2|Oa|AC|cos1203.反思与感悟(1)设出复数Z=x+yi(x,yCR),利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x,y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.(2)在复平面内，Z1,Z2对应的点为A,B,Z1+Z2对应的点为C,O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|zi+Z2

9、|=|ziZ2|,则四边形OACB为矩形；若|zi|=|Z2|,则四边形OACB为菱形；若|zi|=|Z2|且|zi+Z2|=|ziZ2|,则四边形OACB为正方形.跟踪训练3例3中，若条件变成|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=2.求|Z1Z2|.解由|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=3，知Z1,Z2,Z1+Z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|Z1Z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|Z1Z2|=、.1,复数zi=2i,Z2=2i,则zi+Z2等于（）A. 03 5B.-+-i2 25 3D_-i2 2答案解析zi + Z2= (2 +) (+ 2)i =-5一i

10、. 22.若z+32i=4+i,则z等于()A. 1 +i8. 1+3i答案B解析z=4+i-(3-2i)=1+3i.3 .在复平面内，O是原点，OA,OC,AB表示的复数分别为2+i,3+2i,1+5i,则BC表示的复数为()A.2+8iB.66iC.4-4iD.4+2i答案C解析EBC=0C-0B=(OC-(AB+0A)=4-4i.4 .若|z1|=|z+1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案B解析,Z-1|=|z+1|,点Z到(1,0)和(一1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(一1,0)为端点的线段的中垂线上即虚轴上.5 .已知复数Z1=(a

11、2-2)+(a-4)i,Z2=a(a22)i(aCR),且z1一Z2为纯虚数，则a=答案1a2a2=0,解析Z1Z2=(a2a2)+(a4+a22)i(aeR)为纯虚数，解得a2+a6金0a=-1.呈重点、现规律1 复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、基础过关1 .若复数z满足z+i3=3i,则z等于（）A0B2iC6D62i答案D解析z=3-i-（i-3）=6-2i.2 复数ii2在复平面内表示的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析i+i2

12、=1+i,对应的点在第一象限.3 .复数zi=3+i,Z2=1i,则ziZ2等于（）A2B22iC42iD42i答案C4 .设zi=2+bi,z2=a+i,当zi+z2=0时，复数a+bi为（）A. 1 +i B. 2 + iC. 3 D. - 2-i答案D解析,.a+bi=-2i.5 .已知|z|=3,且z+3i是纯虚数，则z=.答案3i解析z=a+bi(abCR),则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数，.a=0,b+3w0,冲|=3,，b=3,z=3i.6 .计算：(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(2008+2009i)+(2009-2010i)

13、+(2010+2011i)=.答案1005+1005i解析原式=(12+34+2008+2009-2010)+(2+34+5+2009-2010+2011)i=-1005+1005i.7 .计算：(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(2)(；+；i)+(2-i)-(；-；i);3232已知zi=2+3i,z2=1+2i,求zi+z2,ziz2.解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(32i)=-7i+5-9+8i+3-2i=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.1143(2)(；+；i)+(2-i)-C-；i)3232=_+_i+2-i-+-i=4+24)+(11+3)i

14、=1+i.3322(3)z+z2=2+3i+(1+2i)=1+5i,ziz2=2+3i-(-1+2i)=3+i.、能力提升8 .如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数是L1答案小解析设这个复数为x+yi(x,yR)-x+yi+yjx2Ty2=5+yjsi,9 .若|z2|=|z+2|,则|z1的最小值是L答案1解析由|z2|=|z+2,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(一2,0)距离相等的点，即虚轴.|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离.11min=1.m2+m10 .设mCR,复数zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,若zi+Z2是虚数，则mm+2的取值范围是-

15、答案mw5,mw3且mw-2(mCR)m2+m解析-zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,m+2m2+m.zi+Z2=-2+(m-15)+m(m-3)im+2mm4二+(m2-2m-15)i.m+2,Z1+Z2为虚数，/.m2-2m-15wo且mw2,解得mw5,mw3且mw-2(mR).11 .复平面内有A,B,C三点，点A对应的复数是2+i,向量对应的复数是1+2i,向量元对应的复数是3-i,求C点在复平面内的坐标.解-.AC=BC-BA,A3对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,设C(x,y),则(x+yi)(2+i)=23i,.x+yi=(2+i)+(2-3i)

16、=4-2i,故x=4,y=2.C.点在复平面内的坐标为(4,2).12 .已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,i,2+i,求点D对应的复数.解方法一设D点对应的复数为x+yi(x,yCR),则D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,1),C(2,1).AC中点为2,2,BD中点为x,y-21.平行四边形对角线互相平分，3x一=一22x=3.即点D对应的复数为3+5i.y1y=52=2方法二设D点对应的复数为x+yi(x,yR).则AD对应的复数为(x+yi)(1+3i)=(x1)+(y3)i,又BC对应的复数为(2+i)(i)=2+2i,.AD=BC.x1)+(y3)i=