解直角三角形的应用

1、备课时间：9.6 上课时间：9.10课型：新授课 课时：1课时§1.5 解直角三角形的应用课时安排 1课时从容说课 本节在前两节的基础上进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力.因此本节选取了现实生活中的几个题材：船右触礁的危险吗，小明测塔的高度，改变商场楼梯的安全性能等，使学生真正体会到三角函数在解决实际问题中必不可少的重要地位.提高了学生学习数学的兴趣. 因此，本节的重点是让学生亲历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，能够将实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行三角函数的计算

2、，并能进一步对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.教学时，教师可让学生在审清题意的基础上，自己画出示意图，将实际问题转化为数学问题，这是本节课的重点也是难点.同时，让学生对“三角学”的发展史有所了解.第六课时课 题 §1.5 解直角三角学的应用教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. (二)能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.在经历弄清实际问题题意的过

3、程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教具重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法 探索发现法教具准备 多媒体演示教学过程 .创设问题情境，引入新课 师直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，

4、都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) .讲授新课 师我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 生应该是“上北下南，左西右东”. 师请同学们根据题意在练习

5、本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.生首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下. 师货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 生根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较. 师这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，

6、有哪些已知条件呢? 生已知BC°20海里，BAD55°，CAD25°. 师在示意图中，有两个直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢? 生在RtACD中，只知道CAD=25°，不能求AD. 生在RtABD中，知道BAD=55°，虽然知道BC20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD. 师那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑? 生我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.

7、 师有何联系呢? 生在RtABD中，tan55°，BD=ADtan55°；在RtACD中，tan25°，CDADtan25°. 生利用BCBD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°20. 师太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完. 师生共析解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55°，CDADtan25

8、6;，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55°-ADtan25°20. AD(tan55°-tan25°)20， AD=20.79(海里). 这样AD20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. 师接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确

9、到1 m) 师我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角? 生当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指DAC，60°的仰角指DBC. 师很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导) 生首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边，在RtADC中，tan30°=， 即AC在RtBDC中，tan60°=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得 -=50. 解得CD43(m)

10、， 即塔CD的高度约为43 m. 生我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高. 师这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? 生示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CC43 m，则CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m. 师同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下. 多媒体演示：某商场准备改

11、善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法) 生在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.ACB是原楼梯的倾角，ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为： 如图，ABDB，ACB40°，ADB35

12、°，AC4m.求AD-AC及DC的长度. 师这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧! 生解：由条件可知，在RtABC中,sin40°，即AB4sin40°m，原楼梯占地长BC4cos40°m. 调整后,在RtADB中，sin35°，则ADm.楼梯占地长DB=m. 调整后楼梯加长AD-AC-40.48(m)，楼梯比原来多占DCDB-BC= -4cos40°0.61(m). .随堂练习 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地

13、面成40°夹角，且DB5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少? 解：在RtCBD中，CDB=40°，DB=5 m，sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 在RtEDB中，DB=5 m， BE=BC+EC2+5sin40°(m). 根据勾股定理，得DE=7.96(m). 所以钢缆ED的长度为7.96 m. 2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD6 m，坡长CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135°. (1)求ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么

14、建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3) 解：过A、D分别作AEBC，DFBC，E、F为垂足. (1)在梯形ABCD中.ADC135°， FDC45°，EFAD=6 m.在RtFDC中，DC8 m.DFFCCD.sin45°=4 (m). BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在RtAEB中，AEDF=4 (m). tanABC0.308. ABC17°821. (2)梯形ABCD的面积S(AD+BC)×AE = (6+30)×4 =72 (m2). 坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72 10182.34(m3). 综上所述，ABC17°821，建筑大坝共需10182.34 m3土石料. .课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和 (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4， 1.7) 过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫. 结果(1)过点B作BDAC.垂足为D. 依题意，得BAC30°，在RtABD中，BD= AB=×