矩阵分析郝([])

1、一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论二、同构的有关结论一、同构映射的定义一、同构映射的定义设设 都是数域都是数域P上的线性空间，如果映射上的线性空间，如果映射 ,V V 具有以下性质：具有以下性质： VV ：则称的一个则称的一个同构映射同构映射，并称线性空间，并称线性空间 VV 是是 到到同构同构，记作，记作 VV 与与.VV ii) ()( )(),V iii) ,kkkPV i) 为双射为双射 为为V的一组基，则的一组基，则例例1、V为数域为数域F上的上的n维线性空间，维线性空间， 12,n :,nVF 12(,)na aa V 这里这里 为在为在 下的坐标，下的坐标，

2、12(,)na aa12,n 就是一个就是一个V到到Fn的同构映射，所以的同构映射，所以. nVF1、数域数域F上任一上任一n维线性空间都与维线性空间都与Fn同构同构.二、同构的有关结论二、同构的有关结论同构映射，则有同构映射，则有 00,. 1）2、设设 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间， 的的VV 是是 到到,V V 2）1122()rrkkk 1122()()(),rrkkk ,1,2, . iiVkFir 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）. 3）V中向量组中向量组 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）12,r 的充要条件是它们的象的充要条件是它们的象 12(), (

3、), ()r 4）dimdim.VV 5） 的逆映射为的逆映射为 的同构映射的同构映射.VV ：1 VV 到到由由上上可知，同构映射保持零元、负元、线性组合可知，同构映射保持零元、负元、线性组合注注及线性相关性及线性相关性6) 两个同构映射的乘积还是同构映射两个同构映射的乘积还是同构映射.中分别取即得中分别取即得01,kk 与与 00, 证：证： 1）在同构映射定义的条件在同构映射定义的条件iii) kk 2）这是同构映射定义中条件这是同构映射定义中条件ii)与与iii)结合的结果结合的结果.3）因为由因为由11220rrkkk可得可得1122()()()0rrkkk 反过来，由反过来，由11

4、22()()()0rrkkk 可得可得1122()0.rrkkk (证明证明 自学自学)而是一一对应，只有而是一一对应，只有 (0)0. 所以可得所以可得11220.rrkkk 因此，线性相关（线性无关）因此，线性相关（线性无关）12,r 12(), (), ()r 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）.4）设为设为V 中任意一组基中任意一组基.12,d,im,nVn 由由2）3）知，知， 为的一组基为的一组基. 12(), (), ()n 所以所以dimdim.VnV 11()() 任取任取 ,V 11,VVII I为恒等变换为恒等变换.1111()()()() 11()() 5）首先是首先是11对应，并且对应，并且1:VV 同理，有同理，有11()(),kkVkP 所以，为的同构映射所以，为的同构映射.1 VV 到到由于是同构映射，有由于是同构映射，有 再由是单射，有再由是单射，有 111()()() 证：设证：设 为线性空间的同构为线性空间的同构,:VVVV ：3、两个同构映射的乘积还是同构映射两个同构映射的乘积还是同构映射. kkk kk 任取