弹性力学-05(变分法)

1、1. 弹性力学问题的弹性力学问题的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）几何方程）几何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）边界条件）边界条件jiijXn iiuu 应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件。位移边界条件。定定解解问问题题求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量）以位移为基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）边界条件。）边界条件。（b） 相容

2、方程；相容方程；（c） 边界条件。边界条件。（a） 归结为归结为求解联立的微分求解联立的微分方程组方程组；求解特点：求解特点：（b） 难以求得难以求得解析解解析解。 从研究从研究微小单元微小单元体入手，考察其体入手，考察其平衡平衡、变形变形、材料性质材料性质，建立基本方程：，建立基本方程：5-4 5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能2. 弹性力学问题的弹性力学问题的变分提法变分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。弹性力学

3、中的变分原理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原理 直接处理直接处理整个弹性系统整个弹性系统，考虑系统的，考虑系统的能量关系能量关系，建立一些泛函的，建立一些泛函的变分方程变分方程，将弹性力学问题归结为，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题值的变分问题。（变分解法也称（变分解法也称能量法能量法）（a）以）以位移位移为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小势（位）能原理最小势（位）能原理等。等。（b）以）以应力应力为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同时以）同时以位移、应力、应变位移、应力、应变为未知量

4、，为未知量，得到得到 广义（约束）变分原理。广义（约束）变分原理。 位移法位移法 力力 法法 混合法混合法 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等数值解法数值解法的理论基础。的理论基础。求解方法求解方法：里兹（里兹（Ritz）法，）法，伽辽金（伽辽金（Galerkin ）法，）法， 加权残值（加权残值（ 余量）法等。余量）法等。3. 弹性力学问题的弹性力学问题的数值解法数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 将将导数导数运算近似地用运算近似地用差分差分运算

5、代替；运算代替；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。典型软件：典型软件：FLAC实质：实质：将将变量离散变量离散。（b）对）对变分方程变分方程进行数值求解进行数值求解 有限单元法有限单元法、边界单元法边界单元法、离散单元法离散单元法 等等典型软件：典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析软件；基于有限元法的分析软件；UDEC 基于离散元法的分析软件；基于离散元法的分析软件；基本思想：基本思想：将求解将求解区域离散区域离散， 离散成有限个小区域（离散成有限个小区域（单元单元），），在小区域（单元）上

6、假设在小区域（单元）上假设可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。 将问题转变为将问题转变为求解求解大型大型的线性方程组的线性方程组。1. 形变势能的一般表达式形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在静载（缓慢加载）条件下，由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的件的形变势能（形变势能（变形能变形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx杆件的体积杆件的体积xxU211令：令： 单位体积的变形能，单

7、位体积的变形能，称为称为比能比能。三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：xyzxyzzyx, xyzyzzyyxxyxzzx三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序次序无关无关，只取决于最终的状态。，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的此时，单元体的形变比能形变比能：zzyyxxU2121211111222yzyzzxzxxyxy

8、 xyzxyz,（a）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz对于平面问题，对于平面问题，0,yz0zx 。0z ；在平面应力问题中，在平面应力问题中，0z 。在平面应变问题中，在平面应变问题中，因此，因此，（a）（b）11()2xxyyxyxyU 整个弹性体的整个弹性体的形变势能：形变势能：1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）2. 形变势能的应变分量表示形变势能的应变分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（在线弹性的情况下，由物理方程（2-16） ：代入式（代入式（b），整理得：），整理得：（d）（e）将式（将式（e）分别对）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理

9、方程个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，比较，得：得：)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (222212122(1)2xyxyxyEU 从而，从而，22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 1,xxU1,yyU1yzyzU（5-15）表明：表明： 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。3. 形变势能的位移分量表示形变势能的位移分量表示只需将几何方程代入式只需将几何方程代入式(e)，得：，得：222121()()2()2(1)2EuvuvuvUxyxyxy 2222A

10、1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyxyxy 在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。（f）由式由式(e)和和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠加原理不再适用。加原理不再适用。 0 1/2 ， U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。即弹性体的形变势能是非负的量。（5-16）外力的虚功：外力的虚功：体力：体力：;,ZYX面力：面力：ZYX, 外力外力A()()sWXuYv dxdyXuYv dS取应变或位移分量

11、为零时的状态为自然状态，此时外力的功和势能为零。取应变或位移分量为零时的状态为自然状态，此时外力的功和势能为零。A()()sVWXuYv dxdyXuYv dS 由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：外力势能为：（5-17）（5-18）11-2 11-2 位移变分方程位移变分方程1. 泛函与变分的概念泛函与变分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函数：函数：)(xfy x 自变量；自变量；y 因变量，或称自变量因变量，或称自变量 x 的函数。的函数。泛函：泛函：)(yFU x 自变量；自变量；y 为

12、一变函数；为一变函数；F 为函数为函数 y 的函数，的函数，称为称为泛函泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 弯矩方程弯矩方程梁的形变势能：梁的形变势能：ldxEIxMU02)(21ABlx 泛函泛函例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz)(xfF例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因为因为所以，所以，U 被称为被称为形变势能泛函形变势能泛函。（2）变分与变分法）变分与变分法设：设：)(xfy 当自变量当自变量 x 有一增量：有一增量：01xxx函数函数 y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(0

13、1xfxfxxfy)( dy 与与 dx ，分别称为自变量，分别称为自变量 x 与与函数函数 y 的的 微分。微分。 研究研究自变量的增量自变量的增量与与函数增量函数增量的关系的关系 微分问题微分问题P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：设：)(xyUU 函数函数 y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：设：)(xyUU 函数函数 y 也有一增量：也有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyU 函数的增量函数的增量y 、泛

14、函的增量、泛函的增量 U 称为变分称为变分。 研究研究自变函数的增量自变函数的增量与与泛函泛函的增量的增量间关系间关系 变分问题变分问题。微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如：微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如：UUyyydydxx变分的运算变分的运算变分与微分运算：变分与微分运算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(2222xfdxdxfdxd变分运算与微分运算互相交换变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分与积分运算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分

15、：复合函数的变分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一阶变分：一阶变分：0lFFUyy dxyy复合函数的变分：复合函数的变分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一阶变分：一阶变分：0lFFUyy dxyy二阶变分：二阶变分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。2. 位移变分方程位移变分方程建立：弹性体的建立：弹性体的形变势能形变势能与与位移位移间间变分变分关系关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位移边

16、界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：uSSS位移场：位移场：);,(zyxuu );,(zyxvv ),(zyxww 应力场：应力场：);,(zyxxx);,(zyxyy满足：平衡方程、几何满足：平衡方程、几何方程、物理方程方程、物理方程、边界条件。、边界条件。 称为称为真实解真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：）任给弹性体一微小的位移变化：wvu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。）不破坏约束条件，即为约束所允许。任给弹性体一微小的位移变化：任给弹性体一

17、微小的位移变化：wvu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为）不破坏约束条件，即为约束所允许。约束所允许。qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su变化后的位移状态：变化后的位移状态：, uuu, vvvwwwwvu, 称为称为位移的变分位移的变分，或，或虚位移虚位移。由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：A()()sWX uY v dxdyX uY v dSA()()sVX uY v dxdyX uY v dS 由于虚位移为由于虚位移为微小的微小的、为约束所允许

18、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。（5-19）（5-20）（2）考察弹性体的能量变化）考察弹性体的能量变化：从而引起形变势能的变分为：从而引起形变势能的变分为：()()()()xyxyuvuvxyxy， 上式中的应力分量也是在位移变分发生之前存在的，是恒力，所以没上式中的应力分量也是在位移变分发生之前存在的，是恒力，所以没有系数有系数1/2。由于位移的变分，引起的应变的变分为：由于位移的变分，引起的应变的变分为：()xxyyxyxyAUdxdy

19、由能量守恒原理：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少（也就弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少（也就等于外力所做的功，即外力虚功）。等于外力所做的功，即外力虚功）。（在没有温度改变、动能改变的情况下）（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：设：U 表示弹性变形势能的增量；表示弹性变形势能的增量；W 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。势能的减少。（5-21） 式（式（5-22）称为）称为位移变分方程位移变分方程，也称，也称 Lagrange 变分方程变分方程。则有：则有：WUA()()sUX uY v

20、dxdyX uY v dS（5-22）它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。等于外力在虚位移上所做的虚功。 根据式（根据式（5-22），可推导出弹性力学中的），可推导出弹性力学中的极小势能原理极小势能原理。 将式（将式（5-22）写成，）写成，A()()0sUX uY v dxdyX uY v dS上式中外力是恒力，因此第二项就是外力势能的变分，上式中外力是恒力，因此第二项就是外力势能的变分，A()()sVX uY v dxdyX uY v dS （a）而第一项就是形变势能的变分，证

21、明如下：而第一项就是形变势能的变分，证明如下：1111()xyxyAAxyxyUUUUU dxdydxdy()xxyyxyxyAUdxdy 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。从而，从而，因此，式因此，式(a)可以写为：可以写为：()0UV式（式（5-23）表明，在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能）表明，在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为的变分为0. （5-23）其中：其中：VU 形变势能与外力势能的总和，形变势能与外力势能的总和， 称为称为系统的总势能。系统的总势能。0VU其中：其

22、中：VU 形变势能与外力势能的总和，形变势能与外力势能的总和， 称为称为系统的总势能系统的总势能 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变分为零。分为零。等价于总势能等价于总势能 U+V 取驻值。取驻值。 极值势能原理极值势能原理平衡状态：平衡状态：（1）稳定平衡状态；）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状态；）随宜平衡状态；稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随宜平衡随宜平衡02VU 势能取势能取极小值极小值02VU 势能取势能取极大值极大值02VU 不定不定： 在给定的外力作用下，

23、满足位移边界条件在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡稳定平衡时，总时，总势能取极小值，通常也为最小值。势能取极小值，通常也为最小值。虚功方程虚功方程应用位移变分方程，还可以推导出弹性力学中的另一个重要方程：应用位移变分方程，还可以推导出弹性力学中的另一个重要方程：虚虚功方程。功方程。()xxyyxyxyAUdxdy （5-21）A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）因此，因此，A()()sUX uY v dxdyX uY v d

24、SA()()sUX uY v dxdyX uY v dS()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虚功方程虚功方程：如果如果在虚位移发生前，弹性体处于在虚位移发生前，弹性体处于平衡平衡状态，状态，则则在虚位移发生过程中，在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程虚功方程 是是有限单元法有限单元法的理论基础，也是许多的理论基础，也是许多变分原理变分原理的基础。的基础。实际存在的位实际存在的位移应满足：移应满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；

25、（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。）应力边界条件。（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）位移变分方程。）位移变分方程。因而，有：因而，有： 位移变分方程位移变分方程（1）平衡方程；）平衡方程；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（可互相导出）（可互相导出）（最小势能原理）（最小势能原理）（1）位移变分方程）位移变分方程（2）虚功方程）虚功方程位移变分方程小结：位移变分方程小结：也称也称 Lagrange 变分方程变分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理0VU（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）

26、对虚功方程，也适用）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虚功方程虚功方程前节课内容回顾：前节课内容回顾：1. 能量法的基本思想：能量法的基本思想： 不依赖于自变量不依赖于自变量 x 变化的函数的变化的函数的增量增量（1）在）在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；

27、或者，为在或者，为在真实解附近真实解附近寻求最接近于精确解的寻求最接近于精确解的近似解近似解。2. 变分与泛函的极值变分与泛函的极值（2）将定解问题转变为）将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。)(yFU （1）泛函：）泛函：)(xfFyU,0 x自变量自变量 x 的变分恒为零。的变分恒为零。（2）变分：）变分：（3）变分的运算：）变分的运算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd变分与微分运算变分与微分运算变分与积分运算变分与积分运算dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。变分运算与微分运算互相交换变分运

28、算与微分运算互相交换。复合函数的变分复合函数的变分dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy 一阶变分：一阶变分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0 自变量自变量 x 的变分的变分 x 0二阶变分：二阶变分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。泛函的极值泛函的极值泛函取得的条件：泛函取得的条件：0U02U02U02U 取得极小值取得极小值 取得极大值取得极大值 不定，由高阶变分判别。不定，由高阶变分判别。3.3.弹性体的形变势能弹性体的形变势能4.4.位移变分方程

29、位移变分方程位移变分方程位移变分方程虚功方程虚功方程最小势能原理最小势能原理平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件应力边界条件等价等价位移变分方程与弹性力学基本方程的等性位移变分方程与弹性力学基本方程的等性本章内容回顾：本章内容回顾：1. 形变势能的计算：形变势能的计算：（1）一般形式）一般形式（2）应变分量表示形式）应变分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyxyxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移变

30、分方程）位移变分方程（2）虚功方程）虚功方程也称也称 Lagrange 变分方程变分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理0VU（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虚功方程虚功方程5-6 5-

31、6 位移变分法位移变分法1. 里兹里兹（Ritz）法法基本思想：基本思想：设定位移函数设定位移函数的表达形式，使其的表达形式，使其满足位移边界条件满足位移边界条件，其中含，其中含有若干待定常数，然后有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数利用位移变分方程确定这些常数，即，即得位移解。得位移解。设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0（5-25）其中：其中：,mmAB为互不相关的为互不相关的 2m 个系数；个系数；00,u v为设定的函数，且在边界上有：为设定的函数，且在边界上有：,0uus0svv),(zyxuumm),(zyxvvmm为为边界上为零

32、边界上为零的设定函数的设定函数 显然，上述显然，上述函数满足位函数满足位移边界条件移边界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分, uv只能由系数只能由系数 Am、Bm的变分来实现。的变分来实现。00,u v与变分无关。与变分无关。,mmmAuummmvvB（a）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：（b）mmmAAUUmmmBBUmmmmmUUABAB将式（将式（a）、（）、（b）代入位移变分方程（）代入位移变分方程（5-22），有：），有：mmmmmUUABABmmmmAmXuAYvBdxdymmmmsmXuAYvBdS将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，

33、可得：mmmAsmmUXu dxdyXu dSAA,mmAB完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程0mmmAsmmUYu dxdyYu dSBB1,2,m 说明：说明：（1）由由 U 的位移表达式（的位移表达式（5-16）可知，）可知，U 是系数是系数,mmAB的二次函数，的二次函数，因而，方程（因而，方程（5-26）为各系数的）为各系数的线性方程组线性方程组。,mmAB互不相关，

34、因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）,mmAB求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3） 在假定位移函数时，须保证其在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件满足全部位移边界条件。mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程1,2,m 例：例：图示薄板，宽为图示薄板，宽为 a，高度为，高度为 b，左边和下边受连，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力杆支承，右边和上边分别受有均布压力

35、 q1和和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。作用，不计体力。试求薄板的位移。解：解：（1）假设位移函数）假设位移函数),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）满足边界条件：满足边界条件： , 00 xu 00yv试在式（试在式（a）中只取两个系数：）中只取两个系数：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）计算形变势能）计算形变势能 U将式（将式（b）代入（）代入（5-16），有），有（平面应力情形下形变势能公式）（平面应力情形下形变势能公式） abBAEU00212121dxdyBA112积分得：积分得：112121221BABAEabU（c）1

36、12121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力, 0YX, 1m有有,11dsuXAUdsvYBU11,1qX在右边界：在右边界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上边界：在上边界：,1byvdxds bdyqdsuXa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU将式（将式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab联立求解，得：联立求解，得：,211EqqA,121Eq

37、qB（f）代入位移表达式（代入位移表达式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）讨论：讨论：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一些）中再多取一些系数如：系数如：A2、B2等，但是经计算，等，但是经计算，这些系数全为零。这些系数全为零。（2）位移解（位移解（g）满足几何方程、平衡）满足几何方程、平衡方程和边界条件。方程和边界条件。表明：表明：位移解（位移解（g）为问题的）为问题的精确解精确解。Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其）假设位移函数，使其满足边界条件满足边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入代入Ritz 法方程求解

38、待定系数；法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。）回代求解位移、应力等。本章内容回顾：本章内容回顾：1. 形变势能的计算：形变势能的计算：（1）一般形式）一般形式（2）应变分量表示形式）应变分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyxyxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移变分方程）位移变分方程（2）虚功方程）虚功方程2.位移变分方程小结：位移变分方程小结：也称也称 Lagrange 变分方程变

39、分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理0VU（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虚功方程虚功方程Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其）假设位移函数，使其满足边界条件满足

40、边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入代入Ritz 法方程求解待定系数；法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。）回代求解位移、应力等。3. 位移变分法位移变分法里兹（里兹（Ritz）法）法例例:图示矩形薄板，宽为图示矩形薄板，宽为2 a，高度为，高度为2 b，左右两，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：边和下边均被固定，而上边的给定位移为：, 0u,122axv（h）不计体力。试求薄板的位移和应力不计体力。试求薄板的位移和应力。解解:（1）假设位移函数）假设位移函数取取 m =1, 将位移分量设为：将位移分量设为：bybyaxaxAu11221byaxv

41、221bybyaxB11221（i）显然，可满足位移边界条件：显然，可满足位移边界条件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby例例:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求梁的挠曲线方程。试求梁的挠曲线方程。 PEIABlxy解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：设位移试探函数为（取一项）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。0)(, 0)0(lww（2）计算形变势能）计算形变势能 U：dxdxw

42、dEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSuXdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243讨论：讨论： （1） 中点的挠度：中点的挠度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlx两者比较：两者比较：式（式（a）的结果偏小）的结果偏小2%。如果取如下位移函数：如果取如

43、下位移函数：mmxlmAwsin式中项数式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数所取的位移函数必须满足位移边界条件必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例例:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2222)1

44、 (lxlxw式中：式中：A1、A2 为待定常数。为待定常数。显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:0)(, 0)0(lww（2）计算：）计算：dxdxwdEIUl20222梁的形变势能梁的形变势能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例例:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解

45、解:位移函数位移函数lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PAlEI,1631EIPlA EIPlA64532所求挠曲线方程所求挠曲线方程 :lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求挠曲线方程所求挠曲线方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中点挠度中点挠度:EIPlwlx10242132而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww015625. 0%5625. 1说明：说明：（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；（2）亦可用亦可用最小势能原理最小势能原理