北理工 概率论 田第10讲(2012)

1、例例3 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率的概率分布分布.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 解：解：依题意依题意 )(rZP 例例4 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(i

2、eiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXP0),(riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，riirYPiXP0)()(例例5 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1, p),YB(n2, p),求求 Z=X+Y 的分布的分布. 我们可以按照前面的方法来求解，也可以换我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法一种方法. 回忆二项分布直观背景回忆二项分布直观背景,

3、设在一次试验中事件设在一次试验中事件A出现的概率为出现的概率为p. 将该试验分别独立重复将该试验分别独立重复n1次和次和n2次次, 设设 X 是是n1次次试验中试验中A出现的次数出现的次数, 设设Y 是是n2次试验中次试验中A出现的次出现的次数数. 故故 Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p，于是，于是 Z是以（是以（n1+n2，p）为参）为参数的二项随机变量，即数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).解解:.Z ,. 21的的概概率率分分布布次次数数全全班班同同学学试试验验成成

4、功功的的总总计计算算的的次次数数是是次次试试验验，其其中中试试验验成成功功个个同同学学做做了了如如果果第第验验同同学学重重复复进进行行同同一一个个试试下下每每个个个个同同学学，在在相相同同的的条条件件设设全全班班有有niiXXXXmin .,21次次独独立立重重复复试试验验进进行行了了全全班班同同学学一一共共是是设设每每次次试试验验成成功功的的概概率率nmmmmp Z试试验验成成功功总总次次数数).,(pmB例例6则则 例例6说明说明, 如果如果 Xi 服从二项分布服从二项分布B(mi, p), i=1,2, ,n. X1,Xn相互独立，则相互独立，则 Z=X1+XnB(m1+mp, p)2.

5、 连续型随机变量连续型随机变量(X, Y)函数函数Z = (X, Y)的分布的分布 设已知设已知(X, Y)的的概率密度概率密度f(x, y), 求求 Z = (X, Y)的分布。的分布。 当当Z为离散型随机变量时，求为离散型随机变量时，求Z的分布律即可。的分布律即可。例例7 设设X、Y的联合概率密度的联合概率密度概率函数为概率函数为其他,00,0,),()(yxeyxfyx其中其中 ， 为大于为大于0的常数。引入随机变量的常数。引入随机变量YXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布例例7 设设X、Y的联合概率密度的联合概率密度概率函数为概率函数为其他,00,0,),()(yxeyxfyx其中其中

6、 ， 为大于为大于0的常数。引入随机变量的常数。引入随机变量YXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布解：解：) 1(ZP)(YXPyxdxdyyxf),(y=x00ydydxeyx)(00yxydxedye0)1(dyeeyyYXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布解：解：) 1(ZP1)1(1ZP)0(ZP 当当Z= （X，Y）为为连续型随机变量时，求连续型随机变量时，求Z的的分布函数或密度函数。分布函数或密度函数。 FZ(z)=P(Z z) =P （X，Y） z zyxdxdyyxf),(),()()(zFzf.),0(), 0( ,222的概率密度的概率密度求求且均服从且均服从相互独立相互独

7、立已知已知YXZNYX 221( )exp22Xxfx 解解: 由于由于 22222exp21),( yxyxf221( )exp22Yyfy例例8且且X,Y 相互独立相互独立, 所以所以).(),(zfzFZZ设设Z的分布函数和概率密度分别为的分布函数和概率密度分别为0)(,0 zFzZ时时当当22YXZ )(,0zZPzFzZ 时时当当22zYXP zyxdxdyyxf22),(cos, 0,02sinxrryr rrryryxrxJ cossinsincos采取极坐标变量替换采取极坐标变量替换对应的雅可比行列式为对应的雅可比行列式为,0时时当当 z zyxZdxdyyxzF2222222

8、exp21)( cos( )2sin( )221exp 22x ry rr zrr drd222exp1z 其它其它 , 00,2exp1)(22zzzFZ 其它其它 , 00,2exp)(222zzzzfZ 综合可得综合可得于是于是, Z的概率密度为的概率密度为我们称上述分布或概率密度为瑞利分布我们称上述分布或概率密度为瑞利分布.例例9 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线

9、x+y =z 左下左下方的半平面方的半平面.将上述积分化成累次积分将上述积分化成累次积分,得得 yzZdydxyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()(固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量对方括号内的积分作变量代换代换, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(交换积分次序交换积分次序yu=zu 由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概的概率密度为率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一

10、般公式以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分的边缘密度分别为别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(例例10 设设X和和Y是两个相互是两个相互 独立独立的随机变量的随机变量,它们都服它们都服从从N(0,1)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 。dxxzfxfzfYXZ)()()(解解:

11、 由卷积公式由卷积公式2221)(tetdxeexzx2)(22221dxeezxz22)2(421dxeezxz222)21(2)2(421212122)2(2221ze例例10 设设X和和Y是两个相互是两个相互 独立独立的随机变量的随机变量,它们都服它们都服从从N(0,1)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 。dxxzfxfzfYXZ)()()(22)2(2221ze所以，所以，Z=X+Y)2( , 0(2N则有则有),(222121NYXZ可以类似地证明，若可以类似地证明，若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 此结论此结论可以推广到可以推广到两个两个独立随机变量独立

12、随机变量线性组线性组合合的情形的情形.可以证明可以证明: ),(22221221babaNbYaXZ若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX更一般地更一般地, 可以证明可以证明:有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.为确定积分限为确定积分限, 先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例11 若若X和和Y 独立独立, 分别分别有概率密度有概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 ., 010, 1)(其它xxfXdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx1

13、10其它, 010, 1)(yyfY为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(例例11 若若X和和Y 独立独立, 分别分别有概率密度有概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 ., 010, 1)(其它xxfX)()(zZPzFZ解解: 用分布函数法用分布函数法其它, 010, 1)(yyfY)(zYXPzyxdxdyyxf),(zyxYXdxdyyfxf)()(其它, 010, 1)(xxfX)()(zZPzF

14、Z其它, 010, 1)(yyfYzyxYXdxdyyfxf)()(; 0)(, 0zFzZ当zxzZzdydxzFz002; 2/)(, 10当xyx+y=zx+y=z其它, 010, 1)(xxfX)()(zZPzFZ其它, 010, 1)(yyfYzyxYXdxdyyfxf)()(12/2 )(, 2121001110zzdydxdydxzFzxzzzZ当1)(, 2zFzZ当x+y=zx+y=zxy11综合综合,有有2, 121, 12/210, 2/0, 0)(22zzzzzzzzFZ所以所以其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf3. M=max(X,Y)及及N

15、=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y), 我们我们来求来求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函的分布函数数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布的分布函数为函数为: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于 z 等价于等价于X和和Y都不大都不大于于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 类

16、似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i =0,1，, n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: 特别

17、，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX例例12. 设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1, L2连接而连接而成，连接的方式分别为（成，连接的方式分别为（1）串联；（）串联；（2）并联；（）并联；（3）备用。设备用。设L1, L2的寿命分别为的寿命分别为X，Y,他们的概率密度他们的概率密度分别为分别为: ,0, 00,)(xxexfxX

18、0, 00,)(yyeyfyY其中，其中， 0, 0, 。试分别就以上三种连接方。试分别就以上三种连接方式写出式写出L的寿命的寿命 Z 的概率密度。的概率密度。 解：（解：（1） Z =min (X，Y) ,0, 00,)(xxexfxX0, 00,)(yyeyfyY解：（解：（1） Z =min (X，Y)的分布函数为的分布函数为 ,0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(yyeyFyY)(1)(1 1)(zFzFzFYXZ0, 00,1)(zzez于是，于是， Z =min (X，Y)的概率密度为的概率密度为 0, 00,1)()(zzezFzZ0, 00,)()()(zzezf

19、zZ例例12. 设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1, L2连接而连接而成，连接的方式分别为（成，连接的方式分别为（2）并联。设）并联。设L1, L2的寿命的寿命分别为分别为X，Y,他们的概率密度分别为他们的概率密度分别为: 解：（解：（2） Z =max (X，Y) 的分布函数为的分布函数为,0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(yyeyFyY)()()(zFzFzFYXZ0, 00),1)(1 (zzeezz于是，于是， Z =max (X，Y)的概率密度为的概率密度为 0, 00,)()()(zzeeezfzzzZ0, 00),1)(1 ()(zze

20、ezFzzZ例例12. 设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1, L2连接而连接而成，连接的方式分别为（成，连接的方式分别为（3）备用。设）备用。设L1, L2的寿命的寿命分别为分别为X，Y,他们的概率密度分别为他们的概率密度分别为: 解：（解：（3） Z =X+Y 的概率密度为的概率密度为0, 00,)(yyeyfyY,0, 00,)(xxexfxXdxxzfxfzfYXZ)()()(为确定积分限为确定积分限, 先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 00 xzx也即也即xzx00, 00,)(yyeyfyY,0, 00,)(xxexfxXdxxzfxfzfYXZ)()()(被积函数不为被积函数不为0的区域的区域 所以所以xzx00, 00,)()(