CH92二重积分计算

1、1一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结三、小结 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算2如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 3应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy

2、.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdxdyyxfD Dyxfdxdyyxf. 0),(.),(假假定定计计算算问问题题先先从从几几何何上上讨讨论论4.21,dd1.所所围围及及由由其其中中计计算算例例 yxxyDyxxyD解解 Dxydxdy 212xxydydxdxxx 212)4(21.89 .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf )(2xy abD)(1xy x型区域的特点型区域的特点： 从下往上看，入口曲线从下往上看，入口曲

3、线 和出口曲线均只有一条曲线或直线组成和出口曲线均只有一条曲线或直线组成x型区域先定型区域先定x 的限的限!5)(2yx )(1yx Dcd.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型cd)(2yx )(1yx D.21,dd1所所围围及及由由其其中中计计算算例例 yxxyDyxxyD6 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于x x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. . Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于y y轴的直轴

4、的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. .)(轴投影轴投影向向 X )()(21xyxbxaD )(轴投影轴投影向向Y )()(21yxydycD 7 如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为x型型区域又可表示为区域又可表示为y型型区域区域, ,且且 f (x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有： Dbaxxyyxfxyxf)()(21d),(dd),( .d),(d)()(21 dcyyxyxfy 采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构. .8xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分

5、区域如图9xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图10解解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 11.162,52所所围围成成的的闭闭区区域域与与直直线线是是由由抛抛物物线线其其中中化化为为累累次次积积分分将将例例 xyxyDxydxdyID解解两曲线的交点两曲线的交点),4 , 5( ,)2, 1(1622 xyxy Dxydxdy 421262yyxydxdy12 d

6、yey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 13.,ddsin2所所围围由由其其中中又又如如：计计算算xyxyDyxyyD 14如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区区域域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，重积分，再根据重积分对区域可加

7、性， 在各个标在各个标准区域上的积分之和就是准区域上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.15围围成成的的区区域域。，由由其其中中：计计算算例例xyxyxyDxdxdyD 1221,2,8y=2xx+y=12y=x/21D2D:1Dxyxx22, 40 :2Dxyxx 122, 84 Dxdxdy 841224022xxxxdyxdxdyxdx 8440)212()22(dxxxxdxxxx96| )216(| )6132(84324033

8、xxxx)4 , 8()8 , 4(:和和两两交交点点解解16计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应的几何形状确定的，因此计算二重积分应先先画出积分区域画出积分区域 D 的图形的图形.2) 第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二，而第二次积分中的上、下限一定是次积分中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于，且下限要小于上限上限.3)

9、积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单且区域的划分要尽量地简单.17例例9 9解解. 10, 11:.d|2 yxDxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 d)(d)(d321222 DDDDxyyxxy 1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511 18., 2ln161525, 0)1(2tstyxtxyst求求已已知知所所围围成成区区域域的的面面积积，与与是是由由设设 dydxdxdysDttxtxt 221252解解：)2,21(tt)21,2(tttt

10、ttxtxtxdxxtxt22222212)ln2125()25( 22)2ln1615(t 利用二重积分可以计算平面图形的面积利用二重积分可以计算平面图形的面积.D2ln1615 22,212 tt.454cossin围围成成图图形形面面积积在在和和求求曲曲线线又又例例： xxyxy19利用二重积分可以计算空间立体的体积利用二重积分可以计算空间立体的体积.为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为侧侧面面，抛抛物物面面为为底底，圆圆柱柱面面面面上上的的圆圆域域：求求以以222222211| ),()2(yxzyxyxyxDxoy .322所围成立体的体积所围成立体的体积与平面与平面求由曲面

11、求由曲面如：如： zyxz20 DDDDdxdyyxfI21),(轴轴对对称称关关于于xD) 1 ( 1),(),(2),(0DyyxfdxdyyxfyyxfI为为偶偶函函数数关关于于为为奇奇函函数数关关于于轴轴对对称称关关于于yD)2( 1),(),(2),(0DxyxfdxdyyxfxyxfI为为偶偶函函数数关关于于为为奇奇函函数数关关于于利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分21关关于于原原点点对对称称D)3( 1),(),(),(2),(),(0DyxfyxfdxdyyxfyxfyxfI1: yxDdxdyxyID，其其中中例例：1D2D3D4

12、D为为偶偶函函数数关关于于关关于于原原点点对对称称，yxxyDD,21 314321,DDDDDD为为偶偶函函数数关关于于关关于于原原点点对对称称，yxxyDD,43为偶函数为偶函数关于关于轴对称，轴对称，关于关于xxyyDDxxydydxxydxdyI220)(;dd)sincos(4)(;dd2)(;ddsincos2)()(dd)sincos()1, 1()1 , 1(),1 , 1(1111DyxyxxyCyxxyByxyxAyxyxxyDDxOyDDDDD 则则在在第第一一象象限限部部分分，是是为为顶顶点点的的三三角角形形域域，和和平平面面上上以以是是：设设

13、例例A 23AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分24.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r的的外外部部在在积积分分区区域域极极点点DO)125AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积

14、分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(的的边边界界上上在在积积分分区区域域极极点点DO)226 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0的的内内部部在在积积分分区区域域极极点点DO)327为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为侧侧面面，抛抛物物面面为为底底，圆圆柱柱面面面面上上的的圆圆

15、域域例例：求求以以222222211| ),(yxzyxyxyxDxoy 28 DxyxDdyxI2:,12222 ：计计算算例例cos20 ,22| ),(: rrD解解 22cos202 drrd原原式式 223cos38 d932 .),(, )(22的的一一部部分分时时用用极极坐坐标标或或积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆为为一一般般情情况况下下，被被积积函函数数xyfyxf 29 DxyxDdxdyxy21:,322：求求例例 2104:rdrdI 解解2643 )23,21( A)23,21( B 3432cos21: rdrdtg原原式式解解=0法二法二:积分区域关于积分区域关

16、于x轴对称轴对称,为奇函数为奇函数关于关于yxy0 原式原式.0,0,1,4,darctan 22222围围成成由由其其中中求求例例 xxyyyxyxDxyID 30解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 31| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2);1(4)()1(4222220RRxRedxee 所求广义

17、积分所求广义积分 02dxex2 .32. 0, 0,:,. 122222 yxayxaxDyxdxdyD求求的的累累次次积积分分为为极极坐坐标标下下化化 1011222)(. 2xxdyyxfdxI.)sin,cos(. 30sin20直直角角坐坐标标下下的的累累次次积积分分为为化化 rdrrrfdI33为极坐标下的累次积分为极坐标下的累次积分化化练习练习 1011222)(2xxdyyxfdxI sincos10 , 02:1 rD解解：10 ,20:2 rD 201002sincos10)()( rdrrfdrdrrfdIxy1D2D1 r sincos1 r34. 10 , 10:,)

18、2(. 42322 yxDdyxyID 求求 yydxyxfdydxyxfdyI1224221),(),(. 5 化化简简.sin. 6102arcsindyyxdxx 求求35. 1:),(),(81),(. 72222 yxDdxdyyxfdxdyyxfyxyxfDD，其中，其中求求，设设 .:),()(, 0, 10 , 10, 2),(.9tyxDdxdyyxftFyxyxfD ，其中，其中求函数求函数其他其他设设.)(,)(. 81012dxxfdtexfxt 求求36二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序

19、）三、小结三、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型37二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 38设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题39 1)(xdyyf不不能能直

20、直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf40故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 41 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题42,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradr

21、fdrI 43一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题44 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._. 6 6、将二次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改换积分次序改