第二章 控制系统的数学模型

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 引言引言2.2 系统的微分方程系统的微分方程2.3 传递函数传递函数2.4 结构图结构图2.5 信号流图信号流图2.6 输入输入-输出模型与内部状态模型的关系输出模型与内部状态模型的关系2.7 基于基于MATLAB的建模和仿真的建模和仿真2.8 小结小结控制系统时域：微分方程复域：传递函数频域：频率特性2.1 引言引言知识体系知识体系描述分析时域中分析复域中分析频域中分析评价系统的性能:稳定性快速性(动态性能)准确性(稳态性能)校正系统1.6 控制系统设计概述（回顾）控制系统设计概述（回顾） 2.1 引言引言数学模型数学模型: :描述系

2、统各变量之间相互关系的数学表达式描述系统各变量之间相互关系的数学表达式.微分方程与时域模型微分方程与时域模型：以时间为自变量，描述各变量的大小以：以时间为自变量，描述各变量的大小以及各变量的变化趋势（变量的导数）之间关系最基本的数学工及各变量的变化趋势（变量的导数）之间关系最基本的数学工具就是微分方程。这种在时间域上建立的数学关系称为时域模具就是微分方程。这种在时间域上建立的数学关系称为时域模型。型。 复频域模型复频域模型：对于线性定常系统，可以利用拉普拉斯变换和傅：对于线性定常系统，可以利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，将时域模型转换为复频域模型。里叶变换，将时域模型转换为复频域模型。无论是时域

3、模型还是复频域模型，只要描述的是系统外部输入无论是时域模型还是复频域模型，只要描述的是系统外部输入量和输出量之间的数学关系，就称其为量和输出量之间的数学关系，就称其为输入输入-输出模型输出模型。本章重点本章重点：建立控制系统的微分方程模型建立控制系统的微分方程模型 传递函数模型传递函数模型 结构图模型以及信号流图模型结构图模型以及信号流图模型 2.1 引言引言几种模型间的关系几种模型间的关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=jj =s系统 2.2 系统的微分方程系统的微分方程线性定常系统为本书主要研究的系统。线性定常系统为本书主要研究

4、的系统。线性系统线性系统：满足线性叠加原理。：满足线性叠加原理。直观地看：系统直观地看：系统输入值与输出值的函数波形不变化。输入值与输出值的函数波形不变化。本节要点本节要点：线性元件的微分方程，非线性微分方程的：线性元件的微分方程，非线性微分方程的线性化，线性系统微分方程的编写线性化，线性系统微分方程的编写线性叠加原理输入激励：u1(t), u2(t), 对应输出响应：y1(t), y2(t)有：若输入u1(t) + u2(t), 则输出响应：y1(t) + y2(t)2.2 系统的微分方程系统的微分方程列写物理系统的微分方程步骤：列写物理系统的微分方程步骤：(1)(1)定义系统及其组成元件，

5、确定各元件的定义系统及其组成元件，确定各元件的输入量输入量和和输出量输出量，确定系统的确定系统的输入量、中间变量和输出量输入量、中间变量和输出量。(2)(2)确定必要的假设条件。确定必要的假设条件。(3)(3)根据系统自身的物理根据系统自身的物理规律规律列写各组成元件的原始方程。列写各组成元件的原始方程。(4)(4)消去中间变量建立系统描述消去中间变量建立系统描述输出量输出量与与输入量输入量之间关系的微之间关系的微分方程。分方程。(5)(5)若是线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列若是线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列 输出量有关各项输出量有关各项= =方程左边方程左边 输入量有关各项输

6、入量有关各项= =方程右边方程右边 若为非线性方程，线性化处理。若为非线性方程，线性化处理。Fkxdtdxfdtxdm 22如如：输入输出3)-(2)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi 4)-(2)()()()( , , 0022022121tutudttduTdttudTTRC TRLTi 则则得得记记例2-1 列写RLC串联电路的微分方程，输入ui(t)，输出u0(t)uR(t)+uL(t)+uC(t)=ui(t)，消去i(t)得：RLC串联电路串联电路物理规律：基尔霍夫定律电压定律能量守恒定律)12( )0()(1)()()()()(0 CtCLRudssiC

7、tudttdiLtutRitu弹簧-质量-阻尼器系统例例2- -2 列写如图所示弹簧、列写如图所示弹簧、质量、阻尼器系统的微分方质量、阻尼器系统的微分方程，输入程，输入F(t) ，输出，输出 y(t)。物理规律：牛顿第二定理)5-2()()()()(22tkydttdytFdttydm )6-2()()()()(22tFtkydttdydttydm ymvmmaFsum )(所有外力之和所有外力之和假设壁摩擦为黏性摩擦，摩擦力为dy(t)/dt，为黏性系数；弹簧力为ky(t)，k为弹性系数。)()()(22tdttdMdttdJ 负载的转动惯量黏性阻尼系数扭转弹性系数输出 输入机械转动系统例例

8、2- -3 考虑右图的机械传动考虑右图的机械传动系统，输入为外加转矩系统，输入为外加转矩M(t) ，输出为转角，输出为转角 (t)。)7-2()()()()(:22tMtdttddttdJ 即即物理规律：转动系统牛顿定律 JJJMsum )(所有外力矩之和所有外力矩之和输入输出电枢控制的他激直流电动机)8-2()()()()()1tutCtiRdttdiLaeaaaa 电电枢枢回回路路方方程程：)9-2()()()()()2tMtiCtdttdJcammm 机机电电耦耦合合转转动动方方程程：例2-4 Mc(t)为电机轴上的总负载转矩，确定电枢电压ua(t)为控制输入量，Mc(t)为扰动输入量，

9、角速度(t)为输出量，求系统微分方程。电枢反电势ea(t)电动机电磁力矩M(t)()()()()()()()(MMttttMttitutucaau 产生的输出分量产生的输出分量表示输入量表示输入量用用产生的输出分量产生的输出分量通过中间变量通过中间变量表示输入分量表示输入分量用用电枢控制的他激直流电动机）（10-2 )()()(titCdttdCJaummumm ）（11-2 )()()(22dttdidttdCdttdCJaummumm ）（12-2 )()()(tMtdttdJcMmMm 由上式可得：上述（2-10）和（2-11）代入（2-8）得：13)-(2)()(1)(1)()(22t

10、tuCtCCRdttdCCRJLdttdCCLJMaeumeamumeamamumeam )14-2()()()()12-2(tMCCRtCCRdttdCCRJcmeaMmeamMmeam 得得：由由式式子子：则则上上两两个个式式子子可可简简化化为为和和）有有（, ,时时较较小小，当当,/mmaameammeammeamaaRLCCRJCCRJCCRJLL 电枢控制的他激直流电动机从不同的角度研究同一系统可得到不同的数学模型。）（15-2)()()()(tRCCCCtuRCCCtdttdRCCRJMammemeaammemuuammeam )16-2()()()(tMRCCRtRCCRdttd

11、RCCRJcammeaMammeamMammeam )17-2()()()()(tMCCRRtuCCRCtdttdTcmeamaameammm 根根据据叠叠加加定定理理可可得得：为时间常数为时间常数meamammCCRRJT )18-2()()()()(22tMCCRRtuCCRCdttddttdTcmeamaameammm 为为输输出出，则则若若液位系统液位系统例例2-5 考虑右图的液位系考虑右图的液位系统，统，贮贮罐排放泵排放流量罐排放泵排放流量Q0为恒值，输入进液量为恒值，输入进液量Qi(t) ，输出，输出h(t) 。物理规律：流量平衡关系体积流量=横截面积x高度的变化量)19-2()(

12、)(oiQtQdttdhC 正位移泵输出量恒定，与罐内液面高度无关。Q0为常量。直接蒸汽加热器系统直接蒸汽加热器系统 例例2-6 加热器系统如图所示。采用少量蒸加热器系统如图所示。采用少量蒸汽直接加热冷流体温度达到工艺要求。汽直接加热冷流体温度达到工艺要求。 控制输入量控制输入量: 蒸汽流量蒸汽流量Qs(t)，扰动输入量扰动输入量: c(t)，输出量输出量: h(t)。 20)-(2)()()()()()()( tHQtwtctQtwtcQtwsshhhhcccc蒸汽带入热量：蒸汽带入热量：流体带出热量：流体带出热量：流体带入热量：流体带入热量： 物理规律：热量平衡关系吸热=放热流体热量=流体

13、质量流量流体比热温度气体热量=热焓质量直接蒸汽加热器系统直接蒸汽加热器系统 21)-(2)()()()(tcQtHQtcQdttdcVhccsccchc 考虑到蒸汽用量相对冷流体很少，QcQh, cc ch,所以得：22)-(2/)()()()(chsccchhhQVTtQcQHttdttdT ，整整理理：20)-(2)()()()()()()( tHQtwtctQtwtcQtwsshhhhcccc蒸汽带入热量：蒸汽带入热量：流体带出热量：流体带出热量：流体带入热量：流体带入热量： Qc=流体变化热量针对实际系统的具体情况，通过合理假设在抓住系统动态特性本质的同时简化了系统的描述。 2.2 系

14、统的微分方程系统的微分方程系统系统平衡状态平衡状态：静态数学模型，微分方程中各阶导数变化率：静态数学模型，微分方程中各阶导数变化率都为零，微分方程退化到各常量静态关系的代数方程。都为零，微分方程退化到各常量静态关系的代数方程。 如：如： u0(0)=ui(0)系统动态特性系统动态特性：本质上由各阶导数来主导，即各变量相：本质上由各阶导数来主导，即各变量相对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率主导系统动对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率主导系统动态特性。态特性。)()()()(00220221tutudttduTdttudTTi 2.2.2 微分方程的增量化与无因次化2.2 系统的微分方程系

15、统的微分方程微分方程的增量化表示方法微分方程的增量化表示方法)()()()(00220221tutudttduTdttudTTi )0()()0()()0()()0()(00002200221iiutuutudtutudTdtutudTT 26)-(2)()()()(00220221tutudttudTdttudTTi )0()()()0()()(000iiiututuututu ，2.2 系统的微分方程系统的微分方程27)-(2)()()()()()()()(tMCCRRtuCCRCtdttdTtMCCRRtuCCRCtdttdTcmeamaameammmcmeamaameammm 增量化微

16、分方程可以从非增量化微分方程消去常数项后（如式（2-19）中的），并将符号直接加在各变量前获得。采用增量形式的微分方程除了用于描述系统动态特性本质的需要外，也是建立传递函数数学模型的前提条件。 若不加说明，本书接下来讨论的均为增量化微分方程，故将省略符号。28)-(2)()(tQdtthdCi 2.2 系统的微分方程系统的微分方程微分方程的无因次化微分方程的无因次化因次：量纲因次：量纲无因次：去掉量纲。无因次：去掉量纲。研究相对变化量，不研究相对变化量，不是绝对变化量。是绝对变化量。无因次化是一种突出无因次化是一种突出共性的表示方法，微共性的表示方法，微分方程经过无因次化分方程经过无因次化后，

17、更便于研究系统后，更便于研究系统的本质，也便于在共的本质，也便于在共同的标准下比较不同同的标准下比较不同系统。系统。方法：将各增量除以方法：将各增量除以各自的平衡状态时的各自的平衡状态时的值。值。29)-(2)0()0()()0()0()()0()0()()0()0()(cccmeamaaaameammmMMtMCCRRuutuCCRCtdttdT 30)-(2)()0()0()()0()0()()(tMtutdttdTcMaum )0()()( tt 令：令：)0()()(aaaututu )0()()(cccMtMtM 31)-(2)0()0()0()0(cmeamaMameammuMCC

18、RRuCCRC 其中：其中：2.2 系统的微分方程系统的微分方程 由无因次化微分方程（由无因次化微分方程（2-32）的响应）的响应 (t)求取原微分方求取原微分方程（程（2-27）的响应）的响应 (t)的方法：的方法： 将时间横坐标放大将时间横坐标放大Tm倍，即使倍，即使 还原为还原为t= Tm，然后对，然后对各输出响应分量的纵坐标分别放大各输出响应分量的纵坐标分别放大ua(0) (0)和和Mc(0) (0)倍，倍，最后，运用线性叠加原理合并放大后的输出响应分量就求最后，运用线性叠加原理合并放大后的输出响应分量就求得原微分方程总的输出响应。得原微分方程总的输出响应。 32)-(2)()()()

19、( /mcmammmTMTuTdTdTt 无无因因次次：用用2.2 系统的微分方程系统的微分方程 线性与非线性特性：线性与非线性特性：绝大多数物理系统在某些工作范围内为线性特性。绝大多数物理系统在某些工作范围内为线性特性。当工作范围扩大或不加限制时，系统都会呈现为非线性当工作范围扩大或不加限制时，系统都会呈现为非线性特性，数学模型为非线性微分方程。特性，数学模型为非线性微分方程。如：弹簧受力过大、电阻承受电压或电流过大。如：弹簧受力过大、电阻承受电压或电流过大。非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化：y(t)=f(x(t)，工作点：，工作点：(x0, y0)增量化的微分方程：增量化的微分

20、方程： y(t)=f( x(t) y(t)=K x(t) 在工作点附近足够小的范围内考虑输入增量和输出增量在工作点附近足够小的范围内考虑输入增量和输出增量间的变化关系，可用在工作点附近用过该点的小范围的间的变化关系，可用在工作点附近用过该点的小范围的切线来进行研究。切线来进行研究。2.2.3 非线性微分方程的线性化）工工作作点点（201021)()(x,x,tx,txfy 2.2 系统的微分方程系统的微分方程线性化线性化：泰勒级数展开，要求：工作点附近连续可微：泰勒级数展开，要求：工作点附近连续可微 34)-(2! 2),(! 2),(! 1),(! 1),(),()(),()(2222212

21、212121222211121201021202101202101202101202101 xxxxfxxxxfxxxxfxxxxfxxftxtxftyxxxxxxxxxxxxxxxx35)-(2)()()(),()(),(),()(),()()(2211222111212010210202101202101txKtxKtxxxxftxxxxfxxftxtxfytytyxxxxxxxx x1=x1-x10 x2=x2-x20y0=f(x10, x20)2.2 系统的微分方程系统的微分方程在大多数情况下，控制系在大多数情况下，控制系统在工作点附近非线性程统在工作点附近非线性程度是不严重，因此，这

22、种度是不严重，因此，这种工作点附近的小偏差线性工作点附近的小偏差线性化方法对于基于偏差产生化方法对于基于偏差产生控制作用的反馈控制系统控制作用的反馈控制系统来说是可行的。来说是可行的。归纳几点注意事项：（1）在工作点附近感兴趣的区间内，函数连续可微的假设是必须的，否则不满足泰勒展开的条件，例如，工作点附近邻域具有严重非线性的继电器特性，必须用非线性微分方程的处理方法，这将在第九章专门讨论。（2）由泰勒展开式（）由泰勒展开式（2-34）可知，线性化近似的关键）可知，线性化近似的关键因素取决于所选择的工作点附近邻域大小以及在工作因素取决于所选择的工作点附近邻域大小以及在工作点处函数非线性化的严重程

23、度。点处函数非线性化的严重程度。（3）泰勒展开的工作点不同，所得到的系数和值也可）泰勒展开的工作点不同，所得到的系数和值也可不同。不同。（4）明显地，单个自变量的非线性函数是上述两个自）明显地，单个自变量的非线性函数是上述两个自变量的特殊情况，而对于有两个以上自变量的非线性变量的特殊情况，而对于有两个以上自变量的非线性函数，可按多变量泰勒展开的方法类似地进行处理。函数，可按多变量泰勒展开的方法类似地进行处理。2.2 系统的微分方程系统的微分方程2.2 系统的微分方程系统的微分方程横截面积为横截面积为C的贮罐液位系统的贮罐液位系统 流入量：流入量：Qi(t), 流出量：流出量：Q0(t) 液位高

24、度：液位高度：h(t).液体体积流量变化的平衡关系得：液体体积流量变化的平衡关系得：36)-(2)()()(tQtQdttdhCoi 37)-(2)()()(thtStQo 由流体力学可知 （是出料阀的节流系数，S为出料阀流通面积） 38)-(2)()()()(tQthtSdttdhCi 2.2 系统的微分方程系统的微分方程)()()()(tQthtSdttdhCi 非线性的部分：)()()(thtStQo 设工作在(S0, h0)：39)-(2)()(1)()(121)()()(00000000000tShthRtShthhStSSQthhQtQhhhhSSSS 40)-(2)()(1)()

25、()()(0tShthRtQtQtQdtthdCioi 41)-(2. )(2)()()(00RCTtSShtRQthdttdhTi ，编写原则：编写原则：分解分解：先从工作原理入手划分控制系统的各组成环节，：先从工作原理入手划分控制系统的各组成环节，并列写它们的原始微分方程；若原始方程为非线性方程，并列写它们的原始微分方程；若原始方程为非线性方程，则需要线性化处理分为各个环节，先写各环节的微分方则需要线性化处理分为各个环节，先写各环节的微分方程（变复杂为简单）。程（变复杂为简单）。合并合并：消去中间变量合并方程，按一定的形式（如标准：消去中间变量合并方程，按一定的形式（如标准形式）整理得出描

26、述控制系统被控输出量与参考输入量形式）整理得出描述控制系统被控输出量与参考输入量和扰动输入量之间动态特性的线性微分方程和扰动输入量之间动态特性的线性微分方程。以电动机转速自动控制系统为例。以电动机转速自动控制系统为例。2.2 系统的微分方程系统的微分方程2.2.4 控制系统的微分方程参考输入：ur输出量：扰动量：Mc测量反馈：uf转速控制系统转速控制系统（1）比较元件 42)-(2)()()(tututufre （2）控制器 43)-(2)()()()(111tutuKtuKtufre 44)-(2)()()(1122 tudttduKtu 运算放大器I： 运算放大器II： 46)-(2)()

27、()(212 tudttduKKtuee （3）执行机构（功率放大器） 47)-(2)()(23tuKtua （4）被控对象（电动机） 48)-(2)()()()(tMKtuKtdttdTcMaum （5）测量装置 49)-(2)()(tKtuff )502()()()()()(2121212 tutuKKdttduKKdttduKKtufrfr 按控制系统连接的顺序消去中间变量，合并（2-24）（2-49）。将式（2-42）和（2-46）合并得： 转速控制系统)512()()()()(121321321 tuKKdttduKKKdttduKKKtufra 代入式（2-47）得： 53)-(2

28、)()()()()()()(321321tMKtdttdKKKKKtudttduKKKKtdttdTcMfurrum 由式（2-49）和式（2-52）得： 转速控制系统再代入式（2-48）得： 52)-(2)()()()()()()(321321tMKtudttduKKKKtudttduKKKKtdttdTcMffurrum 54)-(2)(1)()(1)()(321tMKKtudttduKKKKKtdttdTcMrrum ,321fuKKKKKK 设设 KKKKKKTTfumm 1321 转速控制系统55)-(2)()(1)()(321 tudttduKKKKKtdttdTrrum 56)-

29、(2)(1)()(tMKKtdttdTcMm 若Mc(t)为常量：若ur(t)为常量：2.3 传递函数传递函数 “三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=jj =s系统 CssIsUCssIdssiCsUtuLssIsUsLsIdttdiLsUtuRsIsUsRItRisUtuLtCCLLLRRR1)()()()(1L)()(L)()()()(L)()(L)()()()(L)()(L0 零初始条件下，时域与复域中电路元件的对应关系以例2-1为例，可见附表A-2。 )(1)()()()()(0tCLR

30、dssiCtudttdiLtutRitu2.3 传递函数2.3 传递函数传递函数RCTtRitudttduTscc 57)-(2)()()(微分方程：微分方程：）（拉拉氏氏变变换换得得：，零零初初始始条条件件下下，即即58-2 )()()1()()( 0)0(csRIsUTssUsTsUUsccc )(1)(sITsRsUsc 61)-(21)()()( TsRsIsUsGsc传传递递函函数数：2.3.1 线性系统传递函数的概念和定义60)-(2)(1)()(11sITsRLsULtuscc 65)-(2)()()(64)-(2)()()()(011n1nnn011m1mmm011m1mmm0

31、11n1nnnasasasabsbsbsbsUsYsGsUbsbsbsb sYasasasa 传传递递函函数数：则则：系统传递函数定义：在零初始条件下，线性系统系统传递函数定义：在零初始条件下，线性系统输出变输出变量的拉普拉斯变换量的拉普拉斯变换与与输入变量的拉普拉斯变换输入变量的拉普拉斯变换之比。之比。 62)-(2)()()()()()()()(0111101111tubdttdubdttudbdttudbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn 2.3 传递函数传递函数零初始条件下，各阶导数在零时刻都为0,有：2.3 传递函数传递函数说明：说明：（1）传递函数是

32、对）传递函数是对线性定常微分方程线性定常微分方程求拉普拉斯变换得到的，因此，求拉普拉斯变换得到的，因此，传递函数表达式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的传递函数表达式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的系数相对应，取决于系统的结构和参数。系数相对应，取决于系统的结构和参数。 （2）若传递函数的）若传递函数的分母多项式中的最高次为分母多项式中的最高次为n，则称系统为，则称系统为n阶系统阶系统。实际物理系统不可避免的含有惯性元件，并受到能源功率的限实际物理系统不可避免的含有惯性元件，并受到能源功率的限制，制，系统传递函数中分母多项式的阶数系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大或等于分子多

33、总是大或等于分子多项式的阶数项式的阶数m，即，即 n m。换句话说，实际系统的传递函数一定换句话说，实际系统的传递函数一定是真有理函数。是真有理函数。（3 3）一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单输入、单输出的关系。输入、单输出的关系。对于多输入、多输出情况，一般需要采对于多输入、多输出情况，一般需要采用传递矩阵来表示。用传递矩阵来表示。 ，放放大大倍倍数数，无无量量纲纲称称增增益益 , ,传传递递函函数数的的极极点点; ;分分母母多多项项式式的的零零点点: : 传传递递函函数数的的零零点点; ;分分子子多多项项式式的的零

34、零点点: : 式式中中, ,nmgliabKpz 2.3 传递函数传递函数零、极点表示的形式零、极点表示的形式 66)-(2)()()()()()()(11212101110111 nllmiignmgnnnmmmnmpszsKpspspszszszsKcscscsdsdsdsabsG2.3.2 传递函数的常用表现形式。放大系数放大系数为传递系数,为传递系数,：通常有量纲，称：通常有量纲，称；分母各因子的时间常数分母各因子的时间常数；分子各因子的时间常数分子各因子的时间常数 :KTli 67)-(2)1()1()1()1)(1()1()1)(1(11)(11212111111100 nllmi

35、inmnnnnmmmmsTsKsTsTsTsssKscscscsdsdsdabsG )(11 nllmiigpzKK2.3 传递函数传递函数时间常数表示的形式时间常数表示的形式 2.3 传递函数传递函数若考虑有若考虑有v个等于个等于0的极点情况，并划分实数极点和共的极点情况，并划分实数极点和共轭复数极点时，轭复数极点时， 68)-(2)2()()()(2122111111 nvnnvnvllllnvvljmiivgsspszssKsG 69)-(2)12()1()1()(2122111111 nvnnvnvllllnvvllmiivsTsTsTssKsG 便于确定随动系统的稳态误差系数，也便于

36、在求解系统的响应时，研究引起振荡响应的共轭极点对。2.3 传递函数传递函数70)-(20, 00, 1)( 1 ttt 71)-(21)( 1stL )72-2(0, 00,)( ttttr 73)-(21)(2strL 2.3.3 典型输入信号及其拉普拉斯变换单位阶跃函数 单位斜坡函数2.3 传递函数传递函数单位抛物线函数单位抛物线函数 单位脉冲函数，单位脉冲函数， -函数函数 74)-(20, 00,21)(2 ttttr 75)-(21)(3strL 76)-(2)(lim)(0tt 77)-(2, 00,10, 0)( tttt1)( dttS -函数的强度，也称单位脉冲函数的冲量定义

37、为: 1)( tL 2.3 传递函数传递函数单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数: 线性定常系统在单位脉冲输入信线性定常系统在单位脉冲输入信号激励下的输出响应，通常用号激励下的输出响应，通常用g(t)表示。表示。 80)-(2)()()(01110111asasasabsbsbsbsUsYsGnnnnmmmm 81)-(2)()()()()()(111tgsGLsUsGLsYLty 82)-(2)()(tgLsG 2.3.4 单位脉冲响应函数2.3 传递函数传递函数单位脉冲相应函数单位脉冲相应函数g(t)与传递函数的关系：与传递函数的关系：用途：用途：单位脉冲响应是线性定常系统的数学模型；单位脉冲

38、响应是线性定常系统的数学模型；基于卷积定理来描述系统输出的时域函数；基于卷积定理来描述系统输出的时域函数； 83)-(20,)()()(*)()(0 tdtrgtrtgty 84)-(20,)()()()()()(011 tdtrgsRsGLsYLty 2.3 传递函数传递函数在建立系统的传递函数数学模型后，已知输入激励量的拉在建立系统的传递函数数学模型后，已知输入激励量的拉普拉斯变换，对应的输出响应则为：普拉斯变换，对应的输出响应则为：利用留数求解有理函数的拉普拉斯反变换公式为：利用留数求解有理函数的拉普拉斯反变换公式为：)()()()(sDsNsFsF 表达为：表达为：将将 85)-(2)

39、()()()()(111sFLsUsGLsYLty 11( )Res(2-86)instspiLF sF(s)eRes(2-87)istspF(s)eResF(s), -pi为在极点-pi处的留数:2.3.5 求解系统输出响应的方法dssdDsD)()( 记：记：1 1F( )( )Res( ),1, 2,(2-88)( )iiststspspsN sF s eeinD s）情况 ：当有互不相同的单极点时， 89)-(2)()()(11 nitpiiiepDpNsFL互不相同极点互不相同极点重极点和重极点和有一组有一组：）情况）情况k-nk 2211111( )Res( )lim()(2-90

40、)(1)!( )ikstkstkspspdN sF s espekdsD s 91)-(2)()()()()(lim)!1(1)(111111 nkitpstkkkpsiesDsNesDsNpsdsdksFL海维赛（Heaviside）展开式:2.3 传递函数传递函数2.3 传递函数传递函数例例2-9 ，输入激励为单位阶跃输入，求输出响应，输入激励为单位阶跃输入，求输出响应 92)-(2 )1()(1)()( TssRsITsRsUsFsc2112112-88(2-89)( )( )Res( )(1),0(2-93)21iistcspitp tTiiu tLF sF s eReRetTp根据式

41、（）和得： TppsF/10)(21 ，有有两两个个单单极极点点解解：2.3 传递函数传递函数例例2-10 求下列有理函数的拉普拉斯反变换。求下列有理函数的拉普拉斯反变换。 94)-(2)(22 sssF21121( )Res( )22cos(2-95)iistspip tiiij tj tLF sF s epepeet jpjpsF 21)(，有有一一对对共共轭轭极极点点解解：2.3 传递函数传递函数例例2-11 考虑如下微分方程在单位阶跃输入激励下，系考虑如下微分方程在单位阶跃输入激励下，系统的输出响应统的输出响应y(t)。 96)-(2)()()(2)(2222tutydttdydtty

42、dnnn 3112122( )( )Res( ),0(2-97)(2)istspinnny tLF sF s eLts ss）（其中，其中，98-2)2()()()(222nnnssssUsGsF 解：2.3 传递函数传递函数212122)(21 )1pppspsssnn ：情情况况12311212210221122122212112221( )Res( )()()()()()()()()(2-100)()()iistspistnsstnispp tp tnnnLF sF s eespsps sps spespsps sps speep ppppppp）（99-2)()(212pspsssFn

43、 2.3 传递函数传递函数121 nnp122 nnp 101)-(2 0,1211211112111211)(1221221221222222 teeeetyttttnnnn 代入式子(2-100)得：2.3 传递函数传递函数10)1( 102)-(2cossinsincos111cos1sin111221221)(222ttetteeeeeeejejjejjtyddtddttjtjttjtjtdntjtddntjtddnnnddnddndndn ，21 nd arccos1arctan2 103)-(20,sin111)(2 ttetydtn 2211 j104)-(20,cos121)(

44、0)2( tteetyntjtjnn 时，时，当当2.3 传递函数传递函数222)(212nnnsss 时时，有有：当当情情况况npp 21两两重重根根：22222221Res( )lim()(21)!()limlim (2-106)nnnnnnststnnssnstststnnnssttndF s esedss sdeetedssssete 220110Res( )1(2-107)()2 ()ststnssF s eesps sp10( )( )Res( )Res( )1,0nnnststssttny tLF sF s eF s eetet （2-108）（105-2)()(212psssF

45、n 典型环节典型环节： 比例环节比例环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节 微分环节微分环节 振荡环节振荡环节 延迟环节延迟环节2.3 传递函数传递函数2.3.6 典型环节及其传递函数特点特点：输出量按一定比例复现输入量，成正比。输出量按一定比例复现输入量，成正比。线性方程线性方程： y(t)=Ku(t)，K为比例系数或者传递系数。为比例系数或者传递系数。传递函数传递函数：110)-(2)()()(KsUsYsG 比例环节比例环节K=-R2/R1特点：输出量的变化速度和输入量成正比。积分方程：传递函数：（K为比例系数，T为时间常数）积分环节 111)-(2)()(dttuKty 112)-(

46、21)()()(TssKsUsYsG 0 1111)1(1111)()( t,ey(t)/Tss/Tss/TsTssUsGs)YTt: :单单位位阶阶跃跃响响应应环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。传递函数：惯性环节惯性环节113)-(2)()()(tutydttdyT 112)-(211)()()( TssUsYsG微分方程：特点特点：含两个独立的储能元件，当输入量变化时，两个：含两个独立的储能元件，当输入量变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。微分方程微分方程：其中，其中，

47、 阻尼比阻尼比00 10，此时振荡环节的输出响应表现为振幅随时间按指数衰减的振荡，故称为阻尼振荡。 对于=0为无阻尼理想情况，称为自由振荡。dttduCtidttiCtRidttdiLtuRLCi)()()(1)()()(0 电电路路)32()()()()(00202 tutudttduRCdttudLCi11)(2 RCsLCssG振荡环节 消去中间变量i(t)得到运动方程传递函数：回顾例2-1解中的式（2-3）：特点: 输出量与输入量的导数成正比微分环节微分环节119)-(2)()(dttdutyd 120)-(2)(ssGd 传传递递函函数数： 121)-(2)(11)(11tLssLt

48、yddd 单位阶跃响应：单位阶跃响应： 在实际系统或元件中的惯性是普遍存在的，理想的纯微分关系是很难实现的。在实际工作中，微分环节可采用近似的实现方法。 123)-(21)1()(11 sTsTsG 特点特点：输出量经一段延时后输出量经一段延时后，完全复现输入信号，即，完全复现输入信号，即:微分方程：微分方程：延时环节延时环节125)-(2)()()(sesUsYsG 传递函数：传递函数：y(t)=u(t ) 为常延迟时间为常延迟时间 (2-124)系统中的信号传递和物流输送等都需要花时间，因此，时延是普遍存在的。 流体输送常时延效果2.3 传递函数传递函数例例2-12，分别求理想和实际的传递

49、函数，分别求理想和实际的传递函数1）对于理想情况下，设运算放大器的放大倍数 K 为无穷大126)-(2)(1)(112RsUsCRsUio sTRRsCRsCRsUsUIio111)()(121112127)-(212）（CRTI 2）实际情况下，K不为无穷大，B点的电压不为零，128)-(2)()(1)()(112RsUsUsCRsUsUBiBo KsUsUoB)()( 2.3 传递函数传递函数132)-(2111111)()(11121212sCKRRRKsCRRRsUsUio ，510 K11112 RRK133)-(21111)()(12sTKsTRRsUsUIIIio 为为积积分分时

50、时间间12CRTI 为积分增益为积分增益21RRKKI 反相单位阶跃响应： 说明：电路中，利用复数阻抗可直接写出传递函数：R, Ls, 1/Cs方块图方块图+ +传递函数传递函数= =函数方块图或动态结构图函数方块图或动态结构图，简称结，简称结构图构图结构图：组成系统的结构图：组成系统的各环节用方块表示各环节用方块表示，方块，方块内标出内标出其传递函数其传递函数，输入输出量用拉，输入输出量用拉氏氏变换后的量表示。变换后的量表示。组成组成：四要素：四要素等效变换：表等效变换：表2-12-1结构图是一种图形化了的数学模型结构图是一种图形化了的数学模型。它不但能清楚地。它不但能清楚地表明系统的结构组

51、成和信号的传递方向，而且能清楚表明系统的结构组成和信号的传递方向，而且能清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系，是控制理地表示出系统信号传递过程中的数学关系，是控制理论中得到广泛应用的数学模型。论中得到广泛应用的数学模型。2.4 结构图结构图1.1.结构图组成结构图组成的四要的四要素素 (1)(1)函数方块函数方块 (2)(2)信号线信号线 (3)(3)分支点分支点 (4)(4)相加点相加点(a)函数方块(b)信号线(c)分支点(d)相加点2.4 结构图结构图2.4.1 结构图的组成与建立2.4 结构图结构图2.函数方块的三种连接结构 (1)串联；(2)并联；(3)反馈)()()()(321

52、sGsGsGsG )()()()(321sGsGsGsG )()(1)()(sHsGsGsGR2.4 结构图结构图3、系统结构图的建立、系统结构图的建立 （1 1）建立系统各组成元件或环节的函数方块；）建立系统各组成元件或环节的函数方块； （2 2）按照信号传递顺序依次将各元件或环节的函数方块连接）按照信号传递顺序依次将各元件或环节的函数方块连接起来，并将信号变量的拉普拉斯变换标在信号线附近；起来，并将信号变量的拉普拉斯变换标在信号线附近； （3 3）按需要添加相加点和形成分支点，最后，完成整个系统）按需要添加相加点和形成分支点，最后，完成整个系统的结构图。的结构图。例例2-9：求转速控制系统

53、的结构图：求转速控制系统的结构图 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 说明：说明：1) 1) 结构图变换相当于在结构图上进行数学方程的代结构图变换相当于在结构图上进行数学方程的代数运算。数运算。2) 2) 结构图变换必须遵循的原则是：结构图变换必须遵循的原则是： 变换前、后有关部分的输入量、输出量之间变换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变（信号守恒）。的关系保持不变（信号守恒）。因此，结构图变因此，结构图变换是一种等效变换。换是一种等效变换。3 3）结构图等效变换的最大好处是不必关注数学运算结构图等效变换的最大好处是不必关注数学运算关系，而只是关系，而只是根据直观的图

54、形关系在图上操作根据直观的图形关系在图上操作即即可。为了做到这一点，必须熟悉常用的结构图基可。为了做到这一点，必须熟悉常用的结构图基本变换，见表本变换，见表2-1所示。所示。 2.4 结构图结构图2.4.2 结构图的等效变换法则一和法则二：法则一和法则二：YZXZYX 2.4 结构图结构图（表（表2-1）XGGXGGY1221 GYGXYGXZ) /1( YGXGGYXZ )( 法则三和法则四：相加点的移动法则五和法则六：法则五和法则六：信号分支点的移动信号分支点的移动（信号（信号Y Y不变化）不变化）2.4 结构图结构图（表（表2-1）法则七：相邻分支点与相加点的移动（信号Z不变化）2.4

55、结构图结构图（表（表2-1）法则八：并联（信号Y不变化） ：法则九：反馈1（信号Y不变化） ：法则十：反馈2 （信号Y不变化）：2.4 结构图结构图总结下列几条结构图变换规则总结下列几条结构图变换规则（信号不变化原理信号不变化原理）：）：1）各支路信号相加或相减与加减的次序无关；）各支路信号相加或相减与加减的次序无关；2）在信号线路上引出支路时，与引出的次序无关；）在信号线路上引出支路时，与引出的次序无关；3）信号线路中的负号可在线路上前后移动，并可越过函）信号线路中的负号可在线路上前后移动，并可越过函数方块，但不能越过相加点和分支点；数方块，但不能越过相加点和分支点；4）在环节前面加入信号，

56、可变换成在环节后面加入；）在环节前面加入信号，可变换成在环节后面加入；5）在环节后面加入信号，可变换成在环节前面送入。）在环节后面加入信号，可变换成在环节前面送入。 2.4 结构图结构图例例2-14 利用结构图变换求解传递函数利用结构图变换求解传递函数Y(s)/R(s)。2.4 结构图结构图例例2-14 利用结构图变换求解传递函数利用结构图变换求解传递函数Y(s)/R(s)。2.4 结构图结构图 结构图简化需注意以下两点：结构图简化需注意以下两点： 结构图结构图简化的关健是解除环路与环路的交叉简化的关健是解除环路与环路的交叉, ,应应设法使其分开设法使其分开, ,或形成大环套小环的形式或形成大

57、环套小环的形式; ; 解除交叉连接的有效方法是移动解除交叉连接的有效方法是移动相加相加点或分支点或分支点点。一般，相邻的相加点可交换，相邻的分支一般，相邻的相加点可交换，相邻的分支点也可交换。但当分支点和相加点相邻时，它点也可交换。但当分支点和相加点相邻时，它们不能简单交换。们不能简单交换。2.4 结构图结构图信号流图的定义：信号流图的定义：由若干节点以及连接这些节点的由若干节点以及连接这些节点的有向线段构成的图形，是一组信号（变量）线性关有向线段构成的图形，是一组信号（变量）线性关系的图解表示系的图解表示 。与结构图一样，信号流图也与结构图一样，信号流图也是用图形表示的系统是用图形表示的系统

58、数数学模型。学模型。信号流图的优点信号流图的优点：既能方便地进行代数运算，又能既能方便地进行代数运算，又能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。（对复杂系统而言尤为突出）（对复杂系统而言尤为突出） 2.5 信号流图信号流图2.5 信号流图信号流图节点节点：节点代表系统中的一个信号（变量），其符号为节点代表系统中的一个信号（变量），其符号为“o”。 支路支路：支路是连接两个节点的有向线段，其中的箭头表示支路是连接两个节点的有向线段，其中的箭头表示信号的传送方向，用符号信号的传送方向，用符号“”表示。表示。 传输传输：两个节点之间的增益叫传输，增益即为

59、两个节点所两个节点之间的增益叫传输，增益即为两个节点所代表的两个信号之比，支路的传输标在支路旁边代表的两个信号之比，支路的传输标在支路旁边。GXY单元结构图2.5.1 信号流图及有关术语2.5 信号流图信号流图除了基本三要素外，信号流图的有关术语还有：除了基本三要素外，信号流图的有关术语还有：1）输入节点或源点）输入节点或源点： 只有输出支路的节点，叫输入节点或源点，一般置于只有输出支路的节点，叫输入节点或源点，一般置于信号流图的左面，图中的信号流图的左面，图中的x1、x4。2）输出节点或阱点： 只有输入支路的节点，叫输出节点或阱点。一般放在信号流图的右面，x5 3）混合节点： 既有输入支路，

60、又有输出支路的节点称为混合节点，x2，x32.5 信号流图信号流图通路通路：沿支路箭头的方向穿过各相连支路的途径叫通：沿支路箭头的方向穿过各相连支路的途径叫通路，如图中路，如图中x1x2x3x5。开通路开通路：如果通路与任一节点相交不多于一次就叫开：如果通路与任一节点相交不多于一次就叫开通路，如图中通路，如图中x4x3x5 。回路回路：如果通路的起点就是通路的终点，且与其它节：如果通路的起点就是通路的终点，且与其它节点相交不多于一次的闭合通路，叫回路，如图中点相交不多于一次的闭合通路，叫回路，如图中x2x3x2 。2.5 信号流图信号流图前向通路前向通路： 输入节点到输出节点且通过其他节点不多