第三章最佳线性滤波器

1、第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener滤波的性能u互补Wiener滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述最优估计：在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随机变量或随机矢量作出估计。 在信息与通信工程领域常称为“波形估计”； 在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )s nv nx ns nv ny ns ns n信号在传输时引入加性噪声，接收信号，

2、希望经最佳滤波器滤波后的输出滤恢复最佳 波：。最优准则：包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定“平稳”和“各态历经”。000. . . nnIIRnnIIRnpFIR1过滤：用 时刻及以前的输入数据估计 时刻的信号值，对应为因果；2平滑：用过去、 时刻及未来的全部输入数据估计时刻的信号值，对应为非因果；3预最测：用 时刻及以前的佳线性滤波器的主要应用共 个输入数据预测未来某时刻的信号值，对应为场景：；最佳线性滤波器结构2(

3、)( )( )( )( ) (0,)vs nx ns nv nv nN为源信号，是获取的对象；为加输性噪声。入序列：LTI(h(n)( )x n( )( )y ns n+( )( )d ns n( )( )( )( )( )e nd ny ns ns n( )( )( )( ) ( )( )( ) ()iy ns nh nx nx nh nh i x ni输出序列：( )( )h nH z获得系统的单位脉冲响应，或传输函数设计目的：。( ),0,-1;( ),0 , ;( ),(- ,)FIRh n nNIIRh n nIIRnLThnI ：因果：）非因果：滤波。器的类型： ( )= ( )+

4、 ( ) ( )( )( )=( ) () is ns ne ne ns ns nh i x ni（） 由信号正交性理解最优设计准则 而，故解：正交分定理( )() ( ) ()0E e ne nx niix nii， 或 （正交方程）22 ( )( )( ( )( ) nE e nE s ns nMin设最计准则小均方误差准则，即：第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener滤波的性能u互补Wiener滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用 ( ) ()0 ( ( )( ) () () ( )

5、()( ) () ( )iiE e n x nmmE s nh i x ni x nmE s n x nWienerE x ni x nmHoh ipfm由正交方程方程： ()( )(0)xsxiRiiRmhm ( )( )( ) ( )( )()0 xxxxissRmh i R miRmx ns nR mxmWienerHopnf输入与信号的互相关函数；输入的自相方程关函数。1( )( ) ( )( )optoptZoptoptZWhnHizhnenerHHozpf求解的目的是得到最优的单位脉冲响应或系统传输函数方程的求解：01 . FIRWiener型滤波器(1 )xn N 1z1z1z1

6、Nh2Nh1h0h+-( )s n+( )( )y ns n( )e n( )x n(1)x n(2)x nN( )( )( ), (1), (1)Th nx nx n x nx nN输入时间序列（与等长）：(0), (1), (1)Thhhh N 有限单位脉冲响应序列： ( )( ) ( ) ( )(0),(1),(1)Txsxsxsx ns nPPEx n s nRRRN 与的互相关函数（ 为列矢量）：( ) ( )( )(0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2) (2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)TxxxxxxxxxxxxxxxxN Nx nEx n xnRRRR N

7、RRRR NRRRR NR NR NR NRR输入数据时间序列的自相关矩阵：Toeplitz对称阵 TTTWienerHopfPhPhh RRR 方程的矩阵形式：或-1 opthPR 滤波器单位脉冲响应的最优解：1-1-1 ( )( )( )()( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) TTTTToptTy ns nhx nPx nE s n xnE x n xnExsxnnnnxRR 滤波器输出：( )( )( ) ( ), ( -1)(1)s ns nX nx nx nx N是在信号空间，上的正交投影。观测信号为： ，试中 是方差为0.45的零均值白噪声，它与s(n）统

8、计独立。设计一个长为N=3的FIR滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。例：设信号s(n)的自相关序列为：| |( )0.8 ,0, 1,msR mm ( )( )( )x ns nv n( )v n解：( ) ( ) (1) (2)Tx nx n x nx n ( )( )TE x n x nR (0) (1) (2)Thhhh( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)(2)(2(2)(2)s nv nEs nv ns nv ns nv ns nv ns nv n222(0)(1)(2)00(1)(0)(1)00(2)(1)(0)00sssvsssvssssvRR

9、RRRRRRR ( ) ( )PE x n s n |2|(0)1,(1 )( 1)0.8 ( )0.8,(2)( 2)0.640.4 5 sssssvmsRRRRRR m而， 所以-1-11.450.80.6410.53580.81.450.80.8= 0.20570.640.81.450.640.0914opthPR ( )( )( ) ( )(0)(1)(1)( )(1) ( )( 1)(2)(2)(2) ( )( 2)ssss nv ns n s nREs nv ns nEs ns nRs nv ns ns nR解： (0) (1) (2) (3)Thhhhh( ) ( ), (1),

10、 (2), (3)Tx nx n x nx nx n7220( )11 (0) ( ) ( )sin ()sin ()4842sis nniRE s n s nE计算确定信号的自相关函数：41(1 )( 1 )(1 ) ( )sinsin441(2 1 )2 1()4 coscos(1 )2444ssinnRE snsnEnER 试设计一个长为N=4的FIR滤波器对x(n)进行滤波得到 ，使得例：在测试某正弦信号 的过程中叠加有零均值、方差 的白噪声 ，即测试结果为： ( )sin(/4)s nn20.01v( )sin(/4)( )x nnv n( )s n它与 的误差的均方值最小。求该滤波

11、器的冲激响应并估计误差平均功率（ 与 不相关）。( )s n( )v n( )s n( )v n52(2)( 2)(2) ( )sinsin4412(22) 1 coscos0(2)244()4issnnRE s ns nEnER 63(3)( 3)(3) ( )sinsin4413(23)2 coscos(3)()441424sisnnRE s ns nEnER 2(0)(1)(2)(3)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(1)(3)(2)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1) )(0ssTTTsssssssssssssssvvx nE x n xnE s n snE

12、 vRRRRRRRnRRRRRRRRRvnRRR计算输入时间序列的自相关矩阵：I( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2(0)( ) ( )( 1)(1) ( )2 / 4 =( 2)(2) ( )0( 3)(3) ( )2 / 4ssssx ns nPE x n s nE s n s nRs n s nRs ns nERs ns nRs ns n 计算与之间的互相关矢量： 10.49500.350100.3501opthPR 21min2( )( )0.005 0.0113TvnE snPPdBR 平均功率误差：较降低 倍（）( )sin4ns n期望信号2( ),0.01vv

13、n白噪声( )( )( )x ns nv n观测信号opt ( )( )*( )s nx nhn维纳滤波器输出信号02 .IIRWiener非因果型滤波器( )( )() xsoptxiRmhi R mimm Wiener-Hopf 方程：双边Z变换在z域有最佳系统传输函数：( )( )( )xsoptxSzHzSz( )( )x ns n与的互功率谱( )x n的自功率谱( )( ) ( )( )mmxxxsxsmmSzR m zSzRm z03 .IIRWiener因果型滤波器Wiener-Hopf 方程：0( )( )(), 0 xsoptxiRmhi R mim因i取值范围的原因，直接

14、求解求hopt(i)非常困难。为此，令：输入2( )( ) (0,)x nnN2( )( )( )xR mR mm 220( )( )( )()( ), 0 xssoptoptiRmRmhimihmm 21( )( ), 0optshmRmm21( )( )sH zSz00( ) .( ) .( )sssSzSzRk表示:1 只取单位圆内的极点；2 只取的因果部分。一般情况，x(n)不为白噪声，需经两步获得因果IIR 传输函数：（1）利用 谱分解得到( )xSz( )B z ；（2）由211( )( )( )( )sF zGzSzB z与级联得到系统传输函数。将因果IIR滤波器看成两部分级联1

15、( )( )F zB z( )Gz白化滤波器( )( )( )x ns nv n( )n( )( )y ns n( )cHz( )( )/( )B zN zD z( )x n( )n白噪声最小相位LTI系统1211( )()( )()( )( )( )xxSzSzB zB zB zF zB z第一步：2211( )( )( )( ) 1( )( )( ) xxcHF zG zSzBzSzB zz第与级联二步：11( )( )()( )()xssxsSzSzF zSzB z( )( ) ()inf i x ni( ) ( ) ()( )()()*( )sxsxsiRmEn s nmf i Rmi

16、fmRm两端进行Z变换得：21( )1( )( )()xscSzHzB zB z11( )( )( )ZZf nF zB z实际上，设( )( )xsxSzSz用表示关键：(1)( )xSz对进行谱分解：3IIR（ ）计算因果维纳滤波器：1( )=( ) ()xSzB z B z21(2)( )/(xsSzB z对)进行因果和逆因果分解：111( )( )( )=(xsxsxsSzSzSzB zB zB z)因果部分（极点在单位圆内）逆因果部分（极点在单位圆外）4（ ）计算相应冲激响应：归纳起来，因果归纳起来，因果IIR维纳滤波器设计步骤：维纳滤波器设计步骤：1. .1( )( )2nccu

17、ch nHz zdzj21( )1( )( )()xscSzHzB zB z1( )x n（） 观测序列的功率谱及其谱分解( )s n例：观测信号 ，式中 是零均值、方差为1的白噪声。期望信号s(n)是一个AR(1)过程：( )( )( )x ns nv n( )0.8 (1)( )s ns nw n( )v n式中 是零均值、方差 的白噪声。期望信号s(n)与噪声 不相关，噪声 与 不相关。试设计一因果IIR维纳滤波器对观测信号进行滤波，并求 的估计 。( )w n20.36w( )v n( )v n( )w n( )s n解：期望信号s(n)的功率谱为AR功率谱，即：2110.36( )=

18、(10.8)(10.8 )(10.8)(10.8 )wsSzzzzz10.36( )=( )( )1(10.8)(10.8 )xsvSzSzSzzz1211(1 0.5)(1 0.5 )1.6( ) ()(1 0.8)(1 0.8 )zzB z B zzz11110.36( )( )0.36(1 0.8)(1 0.8 )=(1 0.5 )(1 0.8)(1 0.5 )(1 0.8 )xssSzS zzzzB zB zzzz)(因果部分) (逆因果部分)2（ ）1211(1 0.5)(1 0.5 )=1.6( )=()=(1 0.8 )(1 0.8 )zzB zB zzz，( ) ( ) ()

19、( ) ()( )xssRmE x n s nmE s n s nmR m( )( )xssSzSz11_1( )( )0.3=(1 00.6(1 0.8.5 )xsxsSzSzzB zB zzz)3IIR（ ）因果维纳滤波器传递函数21( )1( )( )()xscSzHzB zB z111110.6=(1 0.5)(10.375(100.8)1.6()51.8)0zzzz（4）滤波器输出：( )0.5 (1)0.375 ( )s ns nx n10.375( )( )( )( )(1 0.5)cS zHz X zX zz输出序列z变换：输出时域序列：滤波器冲激响应：0.375(0.5) ,

20、 0( )0, 0ncnh nn( )(1)( )(1) ( )( )( ) ( ) ( )( ) (0,) ( ) ( ) ( ) (0, ) ( ) ( )0 ninivvs nas nnARx ncs nv nEniQnNQSQE v n v iRv nNRSRE v n s i，设信号模型：（模更一般型）测量模型：（线性叠加）且有：地, ( ) ( )0,n iE v nin i2212-( 0);(3)(1);)( )1(4cGHIIRWienera RPRicatiQPPRc PcPGRc PfacGzf z则因果滤波器的设计步骤为：(1)求解方程得正解；(2)求维纳滤波器增益求维

21、纳滤波器系数直接给出维纳滤波器的传输函数。222 0.8,1,0.36,10.64 0.360.610.6 0.3751 0.6 acQRRicattia RPPQPPPRc PPWienercPGRc PWiener在上例中，。方程：滤波器增益：滤波器系数：11 (1-)0.8(1-0.375)0.50.375 ( )11 0.5 ( )0.375 (0.5)( )cnfacGIIRWienerGHzfzzIIRWienerh nu n因果滤波器传输函数：因果滤波器单位脉冲序列响应：第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求

22、解uWiener滤波的性能滤波的性能u互补Wiener滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用Wiener滤波器为最佳线性滤波，对应最小均方误差：2min( )( ) ( )( ( )( ) ( ) ( )(0)esnE e nE e n s ns nE e n s nR1. .1( )( )2nesesu cRnSz zdzj1min. .1. .1. .1( )(0)( )21 ( )( )21 ( )( )( )2esesu csssu csoptxsu cnRSz z dzjSzSz z dzjSzHz Sz z dzj(1). 对IIR维纳滤波器均方误差的z域计算1.

23、误差性能误差性能111.101(1)11(1) ( )( )1 ( )( )( ),2 1( )1 ( ),()( )(1)!iZZnnniucinirnrniirz zAdd One Slidex nX zx nX z zdzRes X z zzjzX z zrdRes X z zzzzX z zrdz：设离散序列，则若 为在单位圆内的 阶留数定理，：极点则0111 2( ) ( ),()( )ininniiz zzX z zRes X z zzzz X z z若 为在单位圆内的单阶极点，则110.36 ( )( )( )(0.371 0.8)(1 05(1 0.5).8 )xssoptII

24、RWienerzSzS zHzzz举例：在上例的滤波器设计中，1min. .1. .11. .11( )(0)( )( )( )21 0.3(1( )( )210.36 (1)2(1 0.8)(1 0.8 ) 75(1 0.5 )essoptxsu coptsu cu cnRSzHz Sz z dzjHz Sz z dzjz dzjzzz0.0.5. .80.45(0.50.625 )(0.5)0.45(0.1 12(0.8)()0.8 11(0.8)(50.625 )0.45)(0.5)()0.80.8 (0. 0.50.62(57)3 5zu czdzjzzzzzzzzzz较214.3vd

25、B 降低）(2). FIR维纳滤波器均方误差的时域计算( )2min2222(1)( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Topte ns nToTptnE e nE e n s nE sns n s nE snhE x n s nE snhPEPPsnR 举例：在 上例中，FIR维纳滤波器的时域计算211min-21( )( )(0)1.450.80.641 110.80.640.81.450.80.80.640.81.450.64 0.2410(.TTsvnE snPPRPP RR 误差功率：较452.)7dB降低的()( )( )( )(

26、)( )xss v ssvssSzSzSzSzSz以非因果IIR线性滤波器为例，可分析和说明Wiener滤波器实现了最佳的线性滤波：( )( )( )xsvSzSzSz( )( )|( )|( )|( )|( )( )( )|( )( )|xsssoptoptxsvsvSzSzSHzHSzSzSzSS1, |( )|=0 |( )|0 |( )|=0,|( )|0voptsvSHSS，( )cH( )ssS( )vvS维纳滤波器与一般滤波器比较Wiener线性滤波一般线性滤波2. 实现问题实现问题问题一：实现精确度。问题一：实现精确度。Wiener滤波器最优权系数需要由输入信号的自相关函数矩阵

27、以及输入信号与期望输出的互相关函数矩阵进行计算。实际中，这两个参数是未知的，需要通过估计得到，而一致性估计需要观测无限长信号；问题二：计算复杂度。问题二：计算复杂度。求最优滤波器单位脉冲响应时需要矩阵求逆，其计算复杂度量级是滤波器长度的三次方。(1)(2)FIRIIRIIRFIRIIRIIR总之，实现最简单，因果可实现，非因果不可实现；的输出误差最大，因果次之，非因果最小。解决办法：改进算法。解决办法：改进算法。由于存在这些问题，实际实现Wiener滤波时，并不是直接计算得到最优Wiener滤波器的抽头系数，而是代之以LMS, RLS, Kalman等自适应滤波器。Kalman滤波器的主要特点

28、：Kalman滤波是Wiener滤波的发展, 它最早用于随机过程的参数估计, 并在各种最佳滤波器和最佳控制中获得极其广泛的应用。其主要特点是： (1)采用递推算法结构。 (2)具有RLS类自适应滤波器的框架。 (3)具有标量型和矢量型两种结构，由标量型地推算法 可直接写出矢量型算法的矩阵形式。第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener滤波的性能u互补互补Wiener滤波器设计滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用(1) ( ) ( ) ()0,( )( )( )(2)( ) exWienerRj

29、E e n x njjx ns nv ns nWienerWienerWiener由滤波器设计的正交方程：要求是平稳时间序列；若时间序列不是平稳随机的或类平稳随机的， 则严格意义上不满足滤波器设计条件，需要对滤波器结构进行调整， 设问题的提计互出补：滤波器。112212( ) ( )( )( );( )( )( )( )( )s nx ns nv nx ns nv nv nv n设信号的两次测量结果：其中，为低频色噪，为高频色噪。采用如图的滤波结构进行并行处理：+11( )( )( )x ns nv n22( )( )( )x ns nv n1( )G z( )G z( )s n高通(HP)低

30、通(LP)12 ( )( )( )(1( )( ) ( )( )( ),S zS zV zG zV z G zs nG z上图中的输出：若为平稳时间序列（随机性），则可按最小均方误差准则设计使输出误差功率最小。11122( ) ( ) ( )( )- ( ) ( ) ( )( ) ( )-)(s nWienerS zS zV zS zS zG zG zv n v nV zV z若为确定序列，则不符合滤波理论的要求，不能进行最佳滤波器设计。为此，将上述滤波器的输出变形为：滤波器的输入实际为：是随机序列，最佳线性滤波器的条件满足。因此，Wiener互补滤波器的结构为：+11( )( )( )x n

31、s nv n22( )( )( )x ns nv n( )G z( )( )s ns n+12 ( )-( )v n v n1 ( )v n211122(1)( )( )( )( ); ( )( )( )(2) ( )( )WienerG zLPv nv nv nHPv nv nv ns ns n互补滤波器的特点：为滤波器，滤除，通过，再抵消也可设计为，滤除，通过，再抵消。相对的时延小，实时性能好。(1)+ +(2) Wiener互补滤波器的应用案例：飞机盲着陆（无线电导航 高频噪声与自主定位 低频噪声）血液净化系统中漏血可靠监测（滤除电磁干扰，抵消检测噪声）第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线

32、性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener滤波的性能u互补Wiener滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用 ( )1. ( ),- ( )(1) ( ),-1()(1)( -1-1)nKalmanIIRWieners nnx iins nnxs n ns nniins n 一、标量型滤波器因果滤波器输出的递推算法结构。符号约定：用 时刻及以前的所有测量数据对的最佳线性估计；用时刻及以前的所有测量数据对的最佳线性估计；：一0( )( )nInnovationGP nn步预测的新息（）；递推过程中对一步预测新

33、息加权的系数；递推过程中一步预测的均方误差（功率）；递推过程中各步预测的测量信：均方误差（功率）；递号测量信号实际信号实际信号实际推过程预测均方误差（功率）的信号：稳定值。12.( )( -1)( ) ( )( )( ) ( )(1)1 ()(11)( ) ncnns nas nnx ncs nv nIIRWienerGHzfacGf zs n nf s nnGx n递推算法结构： 设信号模型：测量模型： 由因果滤波器的传输函数：其中，有： (11)(11) ( )nas nnacnxGsnn3.(1)( -1)(11) ( ) (1)(11)(11)(2)(1)( ) 1 ) 1ns nns

34、 ns nas nnacsnas nns nnnnx n递推算法的物理意义：用 时刻的最佳估计值，由信号模型对的一步预测：用一步预测值由测量模型预测： (1)(1)(11)x n ncs n nacs nn(3).( ): ( )(11)(4).(5).( ) ()(1) ( )(11) ( )(11) nnnnnx nacs nnG x nacs nx nx nacs nns nns n ns n nGn：与其一步预测的误差，称为新息：选择加权系数对新息的加权；新息加权后对的一步预测值进行修正，得到 时刻的最佳估计值： (11) ( )(11)nas nnG x nacs nn024.(1)

35、 (2)( )(3) ( )( )(); ( )( )( ) ( )min0nnnGnne ns ns n nnE e nnnGG加权系数的计算式递推算法的构造：问题： 确定各步递推的加权系数；确定各步递推的最小均方误差及其稳定值 ； 选择合适的递推初值。时刻的估计误差：均方误差：最佳估计：准则：( )()()( ) ( )()(1)0nnnne ns n ns n nex ncs n nnee nEnE实际上，估计误差,而新息加权修正后,故：1121( ) ( )( )(1)( ) ( )( )e ne ns ns n nP nP nE e n设信号的一步预测误差为：对应的一步预测误差功率为

36、：( )( )(11)111( )()( )(1)( )(1) ( )( )( )(1) ( )( )( )( )(1) ( ) ()(1ncs nv nas nnnnnns ns n ns ns n nGx ncs n ne nG ce nG v ncG e nG v ncs nv ncs nxn nencnns于是，1 ( )( )ce nv n21121( )( )( )( (1) ( )0 ) ( )( )( )()( )1( )nnnnnnnnx ncs n nce nvcPe ne nG cnGRe nG v nGc PEEccG P nGcGRPR P ncnGnnn或显然，即：

37、一步预测误差功率越大，为需要的加权时刻的最修正量也佳加越大。权系数。 ( )( )() ( ) ()0( )e ns ns n nE e n snn n最佳由此，可线性估计的均方误差以推出以下三个重要的计算式：的关系：0(1) ( ) (1)( ( )(1) ( ) (1) ( ) ( )(1) ( ) (1) 0 nnE eE e nE e ns n nG xs nncs n nE e n s nnnncs nGx nn0 (2) ( ) ( )(1) ( ) ( ) ()01)E e n x ncs n nE e n x nEce n s n nE e n x n(3) ( ) ( ) (

38、 )( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0E e n x nE e n cs nv ncE e n s nE e n vE e n s nEne n v nc于是，21( )( ) ( ) ( )()1 ( ) ( ) ( ) ( )1 (1) ( )( ) ( ) (1)()nnnnnnE e nE e n s ns n nE e n s nE e n v nccG e nG v n v ncGRcccGRP nGn )(1) ( )ncG P n( )( )nnGnP ncG由于最佳权系数加权，使最佳线性估计的误差功率较一步预测误差功率减少“”。2

39、21 ( )( )( )( ( )(1( )P nE e nE sP nns n nn与的递推关系：2222 (1)( )(11) (1)( ) (1)(1)(11)(1)( ( 1) 1) eE as nnans ns nas nnE aenQnEnnenn式中，000 lim ( )lim ( -1(1)()nnnnnnnG RGnnRc随着递推次数 的增加，递推动态过程趋于稳定，且有由，代最小均方误入和 以及差的稳定值 ：的稳定值：2220022220(1) +0( )aRc QRQa ca cn求解该一元二次方程，取正值即得到的稳定值 。请推导请推导Kalman归纳起来，标量滤波器递推

40、算法公式为：22(1) ()(11) ( )(11)(2) ( )(1)(3)( ) ( )(4) nns n nas nnG x nacs nnP nanQcP nGRc P n递推主公式：一步预测预测误差功率：最佳加权修正系数：各步估计均方误差： ( )(1) ( )nnRnGcG P nc递推计算初值的选择：(0 0)s(0)1G(1)P12(0 0) (0)( (0)(0 0) min(0) 2 (0)(0 0)0(0 0 (0 0) (1)0)0(0 0)sGE ssE sEsssss 例如，若选择和为递推初应如何选择值，呢？的选择：12111 ( ) ( )0 (1)(1)= (1

41、)(11)(1) (1)(0 0)( (1)(0 0)(1) (1) (1)(1)( (0(10) (1)0)2E e n x nE exEssxEsasG xacsxE sxacGGE sGxE x由前面分析有，所以的选择：111( )(11)( )(1)(0 0)(1)(0 0)(0 0)0 (1 (0 0) (1)0(0 0nx nacs nnxEnxacsxxsxsss而，（的新息），所以 于是2112222222 (1) (1)(1)0 (1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1)(0) (1)(1)(1)(0)( )(1ssE sxG E xE sxGE xE sx

42、E csE svcRE xE c sE vc RRs nas n接上页：2122)( )(0)1 1) (scQGc QaRQnRa1(1)( )0.8 (1)( )( )( )( )( ) (0,0.36), ( ) (0,1)( )( )( ) (1)( ) (2)( )( ) (3)(0 0)()nARs ns nnx ns nv nnNv nNv nx nnKalmans nP nGnGss n n例：已知信号的模型：，测量模型：。其中，与和不相关。试设计滤波器：给出最佳估计均方误差的稳定值；给出参量、的表达式；选择合适的和，对进行00 (4) 1 . () 2 .( )s n nns

43、 n递推求解；递推稳定后，给出的递推算法表达式；时刻及以前测量数据估计的表达式。02220022222000000.8,1,0.36,1,(1)(1)+ +0 0.640.720.360 (0.80.3)0(0.82037)51.acQRac QRQa ca c解：由题设，于是求解 的方程为02020(2) 1( )(1)0.64 (1)0.36( )( ) 2( )1( ) 3( )(1) ( )(1) ( )( ) 1( )nnnnP nanQncP nP nGRc P nP nncG P nG P nP nGP n各中间参量表达式：1122(3)(0 0) (0 0) (0)00.36

44、0.5(1)0.360.36()sGsE scQGc QaRs n n先进行初值和的选择：再进行递推计算，求：n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+.( )P nnG( )n()s n n0111()0.375 ( )(1)(2)0.375()242iis n nx nx nx nx ni() 0.8(11 ) ( ) 0.8(11 )nsnnsnnG xnsnn 000(4) 0.375,1 . ()0.8 (11) ( )0.8 (11) 2 .( )11(

45、)00.3.375 ( )(1)(20.375 ( )0.5 (11)750.3 547opts n ns nnx ns nnns ns n nx nGx nxx nnnns递推稳定后，有时刻及以前测量数据估计的表达式:02)1 0.375()2iix ni与本与本PPT P31结果一致。即：结果一致。即：Wiener滤波输出是滤波输出是Kalman滤波的稳态解。滤波的稳态解。(0 0)(0)s若选择和为初值，则递推计算流程为：( )(1) ( )nncG P n2( )( )ncP nGRc P n2( )(1)P nanQ( )n1z1z(1)x n n(11)s nn(1)s n n(

46、)x nnnGcccRaa()s n nQ( )P n KalmanKalmanAR二、矢量型滤波器是标量型滤波器的推广；适用于通过观测数据对多个独立的一阶或一个高阶的时间序列的估计。2 ( )(1)( )(1,2,)( ) (0,1.)iii iiiqARs na s nniqnN对于 个独立的一阶模型的时间序列，有状态方程：式一阶状态，方程中。121212 ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )(1)( )0000 00TqTqqq qs ns n s ns nnnnns nAs nnaaAa令则有矢量形式：其中， 1121 ( )()( )( )( )( ),( )

47、 ( ) (1)()qiiqTqqqARs na s nins nAsnnAa aasns n s ns nq对于 个 阶模型时间序列：也有类似的一阶状态方程的矢量形式：式中，2( )(1,2, ,) ( )( )( )(1,2, ,)( )(20,).iiii iiivnkx n ik kqx nc s nv nik kqv n设 时刻有 个测量数据，测量模型为式中，观测方程。1212 ( )( )( )( ) , ( ) ( )( )( ) ( )( )( )TTkkx nx n x nx nv nv n v nv nx nCs nv n令则观测方程的矢量形式：12000000 00000

48、kk qccCc（注：仅考虑了一个测量数据受一个信号约束的上式中， 情况。）标量运算与矩阵运算对照：标量矩阵a bA BabAB2aTA A2a bTA B A1ab1()ABKalman标量与矢量滤波器参量对照：标量型矢量型a系数c系数nG最佳加权系数QR白噪声功率 、( )P n一步预测误差功率( )n最佳估计均方误差( ) ()nqqA系数矩阵：阶方阵(一般为对角阵)( ) ()nkqC系数矩阵：阶矩阵( ) ()nqkG最佳加权系数矩阵：阶矩阵( ) ()( ) ()nqqnkkQR白噪声功率：-阶、-阶对角阵( ) ()nq qP一步预测误差功率矩阵：阶矩阵( ) ()nqq最佳估计

49、均方误差矩阵：阶矩阵1()( ) (11)( ) ( )( ) ( ) (11)( )( ) (1)( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )TTTKalmans n nn s nnn x nnn s nnnnnnnnnnnnnnnnnAGCAPAAGPCCPCRIGCP于是，参照标量滤波器的递推公式有：矢量型参量第三章第三章 最佳线性滤波器最佳线性滤波器u最佳线性滤波概述最佳线性滤波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener滤波的性能u互补Wiener滤波器设计u卡尔曼滤波器的递推算法u卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用000( )( )

50、( )( )( )(1)(1)(1)(1)( )KalmannnnnnnTTnnnnn应用一：雷达跟踪系统中的滤波器设时刻 目标与雷达的径向距离为，表示平均距离，表示平均距离偏移量。目标的径向速度为；方位角为，方位角速度为。雷达旋转周期为 秒， 秒后的径向距离、径向速度、方位角、方位角速度分别为、。假设雷达每旋转一周，则完成一次对目标径向距离偏移量( )nKalman和方位角的测量。试建立矢量滤波器的状态方程、测量方程，并进行递推初值选择。(1)n( )n(1)n( )n( )n(1)n0( )n0(1)n雷达目标目标雷达跟踪目标示意图121(1)( )( ) (1)( )( )( )( )(

51、 )( )( )(1)( )( ) TnnTnnnTnnnnnnnnTn解： 据题设，若 不太大，则近似有：外界（如气流）和内部因素可能引起和的随机变化，分别用随机序列和表示：2( )(1)( )( )nnnTn112212( )(1)0 ( )(1)0,( )( )0EnnEnnn mEnm一般有，2211222122( )( ) ( )( )nnEnEn和满足平稳性，并假设：12341122213344421( )( ),( )( ),( )( ),( )( )(1)( )( )(1)( )( ) (1)( )( )(1)1)( )( )( ) ( )s nns nns nns nns ns nTs ns ns nns ns nTs ns ns nns ns n s设状态变量状态方程：状态方程为：令，23412( )( )( ) ,( )0( )