变量间的相关关系

1、变量间的相关关系变量间的相关关系肥城市第一高级中学肥城市第一高级中学 邹邹 筠筠. 一、一、变量间关系的研究变量间关系的研究3、 数学成绩的好坏对物理成绩的影响数学成绩的好坏对物理成绩的影响4、 商品销售收入与广告支出经费商品销售收入与广告支出经费5、 粮食生产量与施肥量粮食生产量与施肥量6、人体的脂肪量与年龄、人体的脂肪量与年龄1、球的体积与该球的半径、球的体积与该球的半径; 2、匀速直线行驶车辆的行驶距离与时间、匀速直线行驶车辆的行驶距离与时间; 函数关系函数关系-自变量和因变量之间的关系是相互确定的。自变量和因变量之间的关系是相互确定的。相关关系相关关系- 自变量取值一定时，因变量自变量

2、取值一定时，因变量的值，的值，带有一定随机性带有一定随机性。相关关系与函数关系的异同：相关关系与函数关系的异同： 相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种不同点：函数关系是一种确定关系确定关系，相关关系是一种，相关关系是一种非确定的关系非确定的关系。 通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定的判断找出其中的规律，对其相关关系作出一定的判断.研究方法：研究方法：二、二、 探究探究 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有

3、怎样的关系？样的关系？人体的脂肪百分比和年龄人体的脂肪百分比和年龄年龄23273941454950脂肪9.517.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年龄53545657586061脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为称该图为散点图散点图。如图：65O202530 35 4045 505560年龄脂肪含量510152025303540从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位从刚才的散点图发现：

4、年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关正相关。但有的但有的两个变量的相关，不太一样，如下图所示：两个变量的相关，不太一样，如下图所示：高原含氧量与海拔高度的相关关高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出散点图高，含氧量越少。作出散点图发现，它们散发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又汽车的载重和汽域内。又汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，都称它们为平均路程，都称它们为负相关负相关.O 我们

5、观察图像发现这些点大致分布在我们观察图像发现这些点大致分布在一条直线附近一条直线附近,像这像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系,这条直线叫做这条直线叫做回回归直线归直线，该直线的方程叫，该直线的方程叫回归方程回归方程。 那么，我那么，我们该怎样来求们该怎样来求出这个回归方出这个回归方程？程？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540. 方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与它、先画出一条直

6、线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如图 ：. 方案方案2、在图中选两点作直线，使直线在图中选两点作直线，使直线两侧两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540 方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距

7、的平均值作为回归直求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。线的斜率和截距。而得回归方程。 如图如图: 我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？准科学吗？准确吗？怎样的确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540 实际上实际上,求回归直线的关键是求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画如何用数学的方法来刻画“从整从整体体上看上看,各点到此直线的距离最小各点到此直线的距离最小”.1122211nniii iii

8、nniiiix x y yxy nxyb,x xxnxa y bx ()()()即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最最小二乘法小二乘法。Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 + (yn-bxn-a)2 问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体偏差最小即总体偏差最小.经运算经运算a,b的值由下列公式给出：的值由下列公式给出：三三 例解：例解：例例1：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归直线方程求两变量间的

9、回归直线方程解：解：列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149xiyixiyi计算得计算得:0, 0yx110,1101011012yxxiiiii1010110010110101010122101iiiiixxyxyxb000aybxb 所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x第一步：列表第一步：列表 第二步：计算第二步：计算 第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值的值第四步：写出回归直线方程第四步：写出回归直线方程211nniiiiix , y ,x y ,x求线性回归直线方程的步骤：求线

10、性回归直线方程的步骤：例例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；般规律；(3)求回归方程；求回归方程；(4)如果某天的气温是如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。20解解: (1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数(3)从散点图可以看出，这些点大致分布从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。在一条直线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当）当x=2时