Ch3_连续型随机变量及分布

1、 分布函数分布函数 设设X随机变量，随机变量， 对任意实数对任意实数x， 事件事件X x的概率的概率P X x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即F(x)P X x。易知，对任意实数易知，对任意实数a , b (a b)有：有： P a X bPX bPX a F(b)F(a)。分布函数的性质分布函数的性质F(x)P X x1. 单调不减性：单调不减性：若若x1 x2, 则则F(x1) F(x2);2. 非负规范性：非负规范性：对任意实数对任意实数 x，0 F(x) 1，且且 )(lim)(xFFx )(lim)(xFFx01 3. 右连续性：右连续性：对任意

2、实数对任意实数 x0， )(lim) 0(00 xFxFxx).(0 xF 反之，具有上述三个性质的实函数，必反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的故该三个性质是分布函数的充分必要性质充分必要性质。 r.v. X的分布律为：的分布律为：X 3 4 5P 1/10 3/10 6/10求求 X 的分布函数。的分布函数。 r.v. X的分布律为：的分布律为：X 2 1 0 1 3P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求求 X 的分布函数。的分布函数。 一般的，对离散型随机变量一般的，对离散型随机变量 XPX= xk p

3、k, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 )(xXPxF xxkkkp: 一维连续性随机变量及其分布一维连续性随机变量及其分布1. 密度函数密度函数 )(xXPxF xxkkkp:一维离散型随机变量的分布函数为：一维离散型随机变量的分布函数为： 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x)，(- x + )，使对任意实数使对任意实数 x，都有都有 xduufxXPxF)()()(则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，简称简称概率密度概率密度或或密度函数。密度函数。 f (x)为为X的的概率密度函数概率密度函数，记为记为 X f (x) , (- x

4、 + ) xduufxXPxF)()()( baduufbXaP)()(2. 密度函数的性质密度函数的性质(1) f (x) 0，(- x )；.1)( dxxf(2)性质性质(1)、(2)是密度函数的是密度函数的充要充要性质；性质；(3) 若若 x是是 f (x)的连续点，的连续点，.)()(dxxdFxf 已知已知 r.v. X的密度函数为：的密度函数为： .,0,30,)(2其它其它xcxxf. )()3(; 31)2(;)1(:xFXPc 常常数数求求 已知已知 r.v. X的分布函数为：的分布函数为： .,1,1,ln,1,0)(exexxxxF. )()3(; 2)2(; 30)1

5、(:xfXPXP 求求 对对 b R，若若X f (x)，(- x 0的的指数分布指数分布。 0,00,1)(xxexFx指数分布常用来作为各种指数分布常用来作为各种“寿命寿命”分布的近似。分布的近似。指数分布的性质：指数分布的性质： s 0，t 0： sXtsXP,sXPsXtsXP sXPtsXP stsee )(te tXPsXtsXP )(1tF tXP 3. 正态分布正态分布(分布分布)若若正态分布有三个特性：正态分布有三个特性：(1) 单峰对称单峰对称 21记为记为N , 可表为可表为XN),(2 ),(2 其中其中 0 ， 为实数，则称为实数，则称X服从参数为服从参数为( ， )

6、的的正态分布正态分布, 2 其图形关于直线其图形关于直线 x = 对称；对称； f ( )max f (x) xexfXx,21)(222)( (2) 有两个拐点有两个拐点);(,( f)(,( f(3) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。线又高又瘦。 越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖；线又矮又胖； xexfXx,21)(222)(4. 标准正态分布标准正态分布可表为可表为N(0, 1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函数表示为为了区别于一般的

7、正态分布，其密度函数表示为.,21)(22 xexx分布函数表示为分布函数表示为 xdtexXPxxt,)(2212参数参数 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，1,02 N(0, 1)的性质：的性质：(1) (x)1 ( x)； XN(0, 1)。F(x)PX x xXP).( x Pa X bPa X b Pa X z = ，0 1则称则称 z 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 分位点分位点。x)(x 0z PX z =1， 1)(z即即 二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布1. 联合分布函数联合分布函数设设(X , Y )是二维随机变量，是二维随机变

8、量，(x , y ) R2, 则称则称F(X , Y )=PX x , Y y 为为(X , Y )的的分布函数分布函数，或，或 X与与Y 的的联合分布函数联合分布函数。对于对于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 ),则则P x1 X x2 , y1 Y y2 F(x2 , y2)F( x1, y2 )F (x2, y1) F (x1, y1).联合分布函数联合分布函数 F( x, y )具有如下性质：具有如下性质：(1)非负规范非负规范对任意对任意( x, y ) R2 ,0 F( x, y ) 1,且且F(+ , + )1;F( , ) ),(limyx

9、Fyx0,F(x, ) ),(limyxFy0,F( , y )= ),(limyxFx0。(2)单调不减单调不减对任意对任意 y R, 当当 x1 x2时，时， F( x1, y ) F( x2 , y )； 对任意对任意 x R, 当当 y1 y2时，时， F(x , y1 ) F(x , y2 ).(3)右连续右连续对任意对任意 y R ,);,(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx 对任意对任意 x R ,).,(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy (4)矩形不等式矩形不等式对于任意对于任意( x1, y1 ), ( x2, y2 ) R2, ( x1 x2

10、， y1 y2 ),F( x2 , y2 )F( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 )F ( x1 , y1 ) 0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数反之，任一满足上述四个性质的二元函数F( x , y )都可以作为某个二维随机变量都可以作为某个二维随机变量(X , Y )的分的分布函数。布函数。2. 边缘分布边缘分布FX(x)F (x, + ),(limyxFy PX x PX x，Y + 称为二维随机变量称为二维随机变量(X , Y )关于关于X的的边缘分布函数边缘分布函数；FY( y)F (+ , y),(limyxFx PY y PX + ，Y y 称为二维随机变量称为

11、二维随机变量(X , Y )关于关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数. 二维连续型随机变量及其密度函数二维连续型随机变量及其密度函数 对于二维随机变量对于二维随机变量(X , Y )，若存在一个非若存在一个非负可积函数负可积函数 f (x , y )，使对使对 (x , y ) R2，其分布其分布函数可以写成函数可以写成 xydudvvufyxF,),(),(则称则称 (X , Y )为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量， f (x, y )称称为为(X , Y )的的密度函数密度函数(概率密度概率密度)，或或X与与Y的的联合密度函数联合密度函数， 可记为可记为 (X , Y ) f (x

12、, y )， ( x, y ) R2联合密度联合密度 f (x , y )的性质的性质(1)非负性：非负性： f ( x, y ) 0, ( x, y ) R2;(2)完备性：完备性： 反之，具有以上两个性质的二元函数反之，具有以上两个性质的二元函数 f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，此外，f (x, y)还有下述性质还有下述性质);,(),(2yxfyxyxF (3)若若 f (x, y)在在(x, y) R2处连续，则有处连续，则有; 1),( dxdyyxf(4)对于任意平面区域对于任意平面区域G R2, P(X, Y )

13、 G Gdxdyyxf.),( 已知二元已知二元 r.v.(X , Y )的概率密度函数为：的概率密度函数为： 其其它它,042, 20, )6(),(yxyxAyxf（1）求）求A；（2）D为为XOY平面内由不等式平面内由不等式 x+y 0、 0、| |1，则称，则称(X , Y )服从参数为服从参数为 , , , , 的二维正态分布，可的二维正态分布，可记为记为1 2 1 2 1 2 1 2 边缘密度函数边缘密度函数设设(X , Y ) f (x , y ), (x , y ) R2, 则称则称 dyyxfxfX),()(FX(x) PX x ;FY( y) PY y 为为(X , Y )

14、关于关于X的的边缘密度函数边缘密度函数；同理，称同理，称 dxyxfyfY),()(为为(X , Y )关于关于Y的的边缘密度函数边缘密度函数。 已知二元已知二元 r.v.(X , Y )的概率密度函数为：的概率密度函数为： 其其它它,00, 10, )2(8 . 4),(xyxxyyxf求边缘概率密度函数。求边缘概率密度函数。 已知二元已知二元 r.v.(X , Y )的概率密度函数为：的概率密度函数为： 其它其它,01, 1,)1(4),(2)1(3yxexyyxfy求边缘概率密度函数。求边缘概率密度函数。 已知二元已知二元 r.v.(X , Y ) N( ) 求边缘概率密度函数。求边缘概

15、率密度函数。,121),()()(2)()1(212212222212121212 yyxxeyxf ,222121 即若即若(X，Y ) N( )，则则X N( )，Y N( )。 ,222121211, 222, 随机变量的独立性随机变量的独立性1. 随机变量相互独立的一般定义随机变量相互独立的一般定义 设设X1，X2，Xn为为n 个随机变量，若个随机变量，若对任意对任意( x1, x2, , xn ) Rn，有有PX1 x1, , Xn xn PX1 x1PXn xn 即即 F(x1, x2, , xn)FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn ),则称则称X1，X2，Xn 相互独立相互

16、独立。2. 随机变量相互独立的等价定义随机变量相互独立的等价定义 设设X1，X2， , Xn 为一个为一个n维离散型随机变量，维离散型随机变量，若对任意的若对任意的 x1，x2， , xn 有有:PX1= x1 , X2= x2 , , Xn = xn = PX1= x1PX2= x2 PXn = xn 则称随机变量则称随机变量X1，X2， , Xn相互独立相互独立。若对若对任意的任意的 i、j，有有pij pi . p. j，则称随机变量则称随机变量X与与Y相互独立相互独立。 设设(X, Y ) f (x, y), (x, y) R2, fX(x), fY(y)分分别为别为X与与Y的边缘密度

17、，则的边缘密度，则X与与Y 相互独立相互独立等价于等价于 f (x, y) fX(x) fY(y)，对任意对任意(x, y) R2几乎处处成立几乎处处成立。 设设X和和 Y为为二个相互独立的二个相互独立的 r.v.，XU(0, 1)，Y的的密度函数为：密度函数为： 0,00,)(2yyeyfyY（1）求）求X和和Y的联合密度函数；的联合密度函数；（2）设含有）设含有a的二次方程为的二次方程为a2+2Xa+Y=0，求，求a有有实根的概率。实根的概率。 已知二元已知二元 r.v.(X , Y ) N( ) ,121),()()(2)()1(212212222212121212 yyxxeyxf ,

18、222121. 0),(222121 相相互互独独立立与与则则若若定定理理YXNX上述可以推广到上述可以推广到 n维连续型随机变量的情形维连续型随机变量的情形: 设设X1，X2，Xn为为n 个连续型随机变个连续型随机变量，若对任意的量，若对任意的( x1, x2, , xn ) Rn， f (x1, x2, , xn ) fX1(x1) fX2(x2) fXn(xn )几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立相互独立。 设设(X1,X2, , Xn )与与(Y1, Y2,，Yn )相互独相互独立，则立，则Xi (i=1, 2, , m )与与Yj ( j=1, 2, , n )相互相互独立；又若独立；又若h , g是连续函数，则是连续函数，则h(X1,X2, , Xn )与与g( Y1, Y2,，Yn )相互独立。相互独立。 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数1. 一维变量的情形一维变量的情形(1) 一般方法一般方法若若X f(x), - x z1 PX1 z, , Xn z1PX1 z PXn z.)(1 11 niizF 特别，当特别，当X1, X2, , Xn独