Chapter 05 静定平面桁架

1、第五章静定平面桁架第五章静定平面桁架5-15-1概述概述桁架桁架是由若干是由若干直杆直杆组成且全为组成且全为铰结点铰结点的结构计算简的结构计算简图形式。图形式。一、理想桁架的概念：一、理想桁架的概念： 、各结点都是无摩擦的理想铰；、各结点都是无摩擦的理想铰；、桁各杆件轴线都是直线，且通过它两端铰中心；、桁各杆件轴线都是直线，且通过它两端铰中心；、荷载作用在结点上。、荷载作用在结点上。理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件。二力杆件。工程桁架结构构造上与理想桁架的假定有差距工程桁架结构构造上与理想桁架的假定有差距1 1）无轴线绝对平直的杆

2、件）无轴线绝对平直的杆件2 2）无真正理想铰接。）无真正理想铰接。 理想桁架的假定反应了一类结构的主要承载和受理想桁架的假定反应了一类结构的主要承载和受力特点。例如，各类屋架、钢结构构架及高压线塔架力特点。例如，各类屋架、钢结构构架及高压线塔架等，由一些截面和长度都较小的直杆构成，杆件自重等，由一些截面和长度都较小的直杆构成，杆件自重轻，主要承受结点荷载，在杆件中的弯矩较小。由于轻，主要承受结点荷载，在杆件中的弯矩较小。由于这类杆件的长细比较大，受压时会失稳，只能承受较这类杆件的长细比较大，受压时会失稳，只能承受较小的弯矩，主要以承受轴力为主。小的弯矩，主要以承受轴力为主。 利用理想桁架计算简

3、图计算杆件轴力（主内利用理想桁架计算简图计算杆件轴力（主内力）。杆件上的弯矩、剪力（次内力）可以由后面力）。杆件上的弯矩、剪力（次内力）可以由后面介绍的矩阵位移法计算。介绍的矩阵位移法计算。 以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆轴力计算。轴力计算。一、桁架的分类一、桁架的分类桁架也有不同的分类方法。桁架也有不同的分类方法。1 1）根据桁架的）根据桁架的外形外形，可分为平行弦桁架、折弦桁，可分为平行弦桁架、折弦桁架和三角形桁架；架和三角形桁架；2 2）按照）按照

4、竖向荷载是否引起水平支座反力竖向荷载是否引起水平支座反力，桁架可分，桁架可分为无推力桁架（梁式桁架）和有推力桁架（拱式桁为无推力桁架（梁式桁架）和有推力桁架（拱式桁架）；架）；3 3）桁架按其）桁架按其几何组成特点几何组成特点分：分： a.a.简单桁架简单桁架：由一个基本三角形依次加二元体组成：由一个基本三角形依次加二元体组成(a,b,c)(a,b,c)。 b.b.联合桁架联合桁架：由若干简单桁架依次按两刚片或（和）：由若干简单桁架依次按两刚片或（和）三刚片规则组成三刚片规则组成(d,e)(d,e)。 c.复杂桁架复杂桁架：除上述两类桁架以外的桁架：除上述两类桁架以外的桁架(f)。 5-2 5

5、-2 结结 点点 法法结点法是计算桁架内力的基本方法之一。结点法是计算桁架内力的基本方法之一。结点法结点法：依次取桁架中的单个结点为隔离体，由结点：依次取桁架中的单个结点为隔离体，由结点的平衡条件计算桁架内力的方法。的平衡条件计算桁架内力的方法。由于理想桁架假设，汇交于结点的各杆轴力均过铰结由于理想桁架假设，汇交于结点的各杆轴力均过铰结点中心，以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力点中心，以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系，只有两个独立平衡方程。系，只有两个独立平衡方程。截取结点的原则：一个结点只能截断两根待求杆件。截取结点的原则：一个结点只能截断两根待求杆件。例例5-2-1 5-2-1

6、 用结点法求图示桁架内力。用结点法求图示桁架内力。解：解：（1 1）求支座反力）求支座反力（2 2）结点法求内力）结点法求内力桁架杆轴力符号规定桁架杆轴力符号规定：轴力以使杆件受拉为正，受压：轴力以使杆件受拉为正，受压为负。为负。截开截面上的未知轴力以规定的正向画出，即画成正截开截面上的未知轴力以规定的正向画出，即画成正向拉力。向拉力。对结点来说，杆件正向轴力箭线箭头指出结点，杆件对结点来说，杆件正向轴力箭线箭头指出结点，杆件负向轴力箭线箭头指向结点。负向轴力箭线箭头指向结点。结点：结点： 由由Fx=0Fx=0Fy=0Fy=0得：得： FNFN1212= -20kN= -20kN，FNFN16

7、16=0=0（默认水平方向为轴）（默认水平方向为轴）结点：结点： 杆杆1212的轴力已求出，取该结点可的轴力已求出，取该结点可求得另两个杆力。在受力图中，求得另两个杆力。在受力图中，已知力（结点上的荷载，已求出已知力（结点上的荷载，已求出的杆轴力）一般按实际方向画出的杆轴力）一般按实际方向画出由由Fy= 0Fy= 0得：得：F FN26N26sin+10sin+1020=020=0已知已知sin=1/5sin=1/5， cos=2 /5 cos=2 /5 代入上式代入上式, ,得得F FN26N26= 105 kN = 105 kN 由由Fx=0Fx=0得：得： F FN23N23F FN26

8、N26cos=cos= F FN23N23= =20kN20kNS/l = X/lx = Y/lySXYlylxl注意：注意：当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度l和它的两个投影长度和它的两个投影长度lx、ly组成的直角三角形与斜杆组成的直角三角形与斜杆轴力轴力S S和它的两个投影和它的两个投影X X、Y Y组成的三角形是相似三角组成的三角形是相似三角形。两三角形对应边成比例关系，力和杆长比例关系：形。两三角形对应边成比例关系，力和杆长比例关系： l l、lx、ly是已知的，只要求出是已知的，只要求出S,X,YS,X,Y中任一个就可由该式计算出另中任一个

9、就可由该式计算出另两个。两个。对于斜杆轴力可按坐标轴分解，先求分力再求合力。对于斜杆轴力可按坐标轴分解，先求分力再求合力。结点的受力图和计算如下：结点的受力图和计算如下：Fy= 0Fy= 0 F F26Y26Y+10+1020=0 20=0 ，F F26Y26Y=10kN=10kN由比例关系：由比例关系： F FN26N26=( F=( F26Y26Y/l/l26Y26Y) )l l2626 =105 kN =105 kNF F26X26X= ( F= ( F26Y26Y/l/l26Y26Y) )l l26X26X =20 kN =20 kNFxFx F FN23N23+F+F26X26X=0

10、 =0 F FN23N23= =20kN20kN结点：结点： Fx= 0 FFx= 0 FN65N65 = 20 kN = 20 kNFy= 0 FFy= 0 FN63N63 = =10 kN10 kN 结点：结点： FyFy F F35Y35Y10 kN10 kN F FN35N35 = ( F = ( F3535y/ly/l3535y)y)l l3535 = =105 kN105 kN F F35x35x = ( F = ( F3535y/ly/l3535y)y)l l3535x =x =20 kN20 kNFx= 0, FFx= 0, FN34N34 = 0 = 0 结点：结点：Fy=F

11、y=F FN45N45+20+2010=0 F10=0 F2626y =y =10 kN 10 kN 由结点校核，满足。由结点校核，满足。各杆轴力见图。各杆轴力见图。注明：注明：本例是一个简单桁架。在计算中，按照拆二本例是一个简单桁架。在计算中，按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体，每个结点只有两个待求轴力杆件。体，每个结点只有两个待求轴力杆件。简单桁架的内力可全部用结点法计算。简单桁架的内力可全部用结点法计算。有些特殊结点，掌握其平衡规律，可以给计算带来有些特殊结点，掌握其平衡规律，可以给计算带来很大的方便。很大的方便。1 1）

12、L L形结点形结点结点无荷载时，两杆内力结点无荷载时，两杆内力0 0，零杆零杆 2）T T形结点形结点结点无荷载时，共线两杆内力相等结点无荷载时，共线两杆内力相等（符号相同），第三杆为（符号相同），第三杆为零杆零杆3 3）X X形结点形结点结点无荷载时，共线两杆内力相等结点无荷载时，共线两杆内力相等4 4）K K形结点形结点结点无荷载时，非共线两杆内力大小结点无荷载时，非共线两杆内力大小相等，符号相反相等，符号相反在桁架的内力计算中，利用特殊结点的特点可事先判在桁架的内力计算中，利用特殊结点的特点可事先判定其内力（或判定零杆），能加快计算速度，减少出定其内力（或判定零杆），能加快计算速度，减少

13、出错；有时，是一条必经的关键解题路徑。错；有时，是一条必经的关键解题路徑。5-3 5-3 截截 面面 法法截面法是计算桁架内力的另一基本方法。截面法是计算桁架内力的另一基本方法。截面法截面法：假想用一个截面将桁架的某些杆件切开，：假想用一个截面将桁架的某些杆件切开，使桁架分成两部分，利用任一部分计算被切断杆件使桁架分成两部分，利用任一部分计算被切断杆件的轴力的方法。的轴力的方法。由于桁架被切开后的任一部分没有对其所含的结点数由于桁架被切开后的任一部分没有对其所含的结点数的限制，截面法所取的隔离体应是平面一般力系，只的限制，截面法所取的隔离体应是平面一般力系，只能列出三个独立的平衡方程，截面法切

14、断的待求轴力能列出三个独立的平衡方程，截面法切断的待求轴力杆件最多是杆件最多是三根三根。例例5-3-15-3-1 用截面法计算图示桁架中杆用截面法计算图示桁架中杆a a、b b、c c的轴力。的轴力。解解：1 1）求支座反力）求支座反力（2 2）计算杆件轴力）计算杆件轴力取截面取截面以左：以左： Fy=0，FNC2/2+10080=0FNC= 28.28kN取截面取截面以左：以左：Fax3+1006403=0Fax= 160kNMM4 4=0=0FNa=(Fax/lax)la= 164.92 kNFay=(Fax/la)lay= 40kNFy=0, FbyFay+40100=0, Fby=20

15、 kNFNb=(Fby/lby)lb=33.33kN FNa= 164.92kN, FN =33.33kN, FNc= 28.28 kN5-4 5-4 结点法与截面法联合应用结点法与截面法联合应用 在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。尤其当（）只求某几个杆力时用。尤其当（）只求某几个杆力时; ;（）联合桁（）联合桁架或复杂桁架的计算。架或复杂桁架的计算。例例5-4-15-4-1求图示桁架中杆求图示桁架中杆a a、b b的轴力。的轴力。 分析：分析：本例是简单桁架。支座反力求得后，从两本例是简单桁架。支座反力求得后，从两侧任一侧开始依次截取

16、结点计算均可，但要多次侧任一侧开始依次截取结点计算均可，但要多次的截取。若仅用截面法截取任一截面，则超出所的截取。若仅用截面法截取任一截面，则超出所要求的未知量数，要解联立方程。为了减少计算要求的未知量数，要解联立方程。为了减少计算步骤，采取结点法和截面法联合应用。步骤，采取结点法和截面法联合应用。解法：解法：（）求支座反力（）求支座反力（）计算杆件轴力（）计算杆件轴力结点：结点：Fx=0Fx=0 Fcx= Fcx= Fax Fax 则：则：F FN Nc= c= FNa , Fcy= FNa , Fcy= FayFay先由结点的平衡得出杆、轴力的相互关系。先由结点的平衡得出杆、轴力的相互关系

17、。截面截面左：左：Fy=0,2Fay+FFy=0,2Fay+FP P/3=0,Fay=/3=0,Fay=F FP P /6 /6F FN Na=(a=(F FP P/6)/6)5/3 =5/3 =5F5FP P/18/18MMB B=0,F=0,FNbNb6+(F6+(FP P/3)/3)8=0,8=0,F FNbNb= =4F4FP P/9/9解法：解法： 取截面取截面左：左：MMB B=0, =0, F FNbNb6+(F6+(FP P/3)/3)8=0,8=0,F FNbNb= = 4F4FP P/9/9取截面取截面左：左： MMC C=0, Fax=0, Fax6 6（4F4FP P/

18、9/9）6+(F6+(FP P/3)/3)12=012=0Fax= Fax= 2F2FP P/9, F/9, FN Na=(a=(2F2FP P/9)/9)5/4= 5/4= 5F5FP P /18 /18静定结构内力计算小结静定结构内力计算小结在静定结构的内力计算这部分，研究了静定梁、静定在静定结构的内力计算这部分，研究了静定梁、静定刚架、静定桁架、静定拱及静定组合结构等的内力分刚架、静定桁架、静定拱及静定组合结构等的内力分析和计算。析和计算。一、静定结构的特性：一、静定结构的特性：、几何组成特性；、几何组成特性；静定结构是无多余约束的几何不变体系。静定结构是无多余约束的几何不变体系。、静力特性、静力特性 静定结构的内力和反力有唯一静力平衡解。静定结构的内力和反力有唯一静力平衡解。 二、静定结构的内力计算原理二、静定结构的内力计算原理静定结构的内力和反力的计算，依据静力平衡原理。即，静定结构的内力和反