用待定系数法求二次函数的解析式1

1、 说说 一一 说说y y3x3x2 2y yx x2 22x2x1 1说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: :y= -2x2+3y= - 4(x+3)2y= (x-2)2+121温温 故故 而而 知知 新新二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：yax2+bx+c (a0) 顶点式：顶点式：ya(x-h)2+k (a0)特殊形式特殊形式 交点式：交点式：ya(x-x1)(x-x2) (a0)回顾：用待定系数法求一次函数的解析式回顾：用待定系数法求一次函数的解析式 已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）

2、和（）和（-2，-12），求），求这个一次函数的解析式。这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.步骤：一设，二代，三解，四写2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），），通常设抛物线解析式为通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.3,交点式交点式:已知抛物线与已知抛物线与x 轴的两个交点轴

3、的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为析式为_ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)3、求抛物线解析式的三种方法、求抛物线解析式的三种方法解：设解：设所求的二次所求的二次函数的解析式为函数的解析式为y=ax2+bx+c例例1 已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），），求抛物线的解析式求抛物线的解析式.故所故所

4、求的求的抛物线解析式为抛物线解析式为 y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式a-b+c=0a+b+c=0c=1解得解得 a=-1, b=0, c=1一般式：一般式： y=ax2+bx+c两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k解：解： 设所求的二次设所求的二次函数为函数为y=ax2+bx+c由由条件得：条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解解方程得：方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象

5、过点（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？oxy例例2解：解：设所求的二次设所求的二次函数为函数为y=a(x1)2-3由由条件得：条件得：已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴交点为轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？yox点点( 0,-5 )在抛物线上在抛物线上a-3=-5, 得得a=-2故所故所求的求的抛物线解析式为抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5一般式：一般式： y=ax2+bx+c两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-

6、h)2+k例例3已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(-1,0），），B(3，0)，并且过点，并且过点C(0,-3)，求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x3）由条件得：由条件得：点点C( 0,-3)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(01)(03)3得：得： a1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y= (x1)(x3)即：即：y=x22x3一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例4一般式：一般式： y=ax2+

7、bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例5 已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在(3,-2),且与且与x轴两交点轴两交点的距离为的距离为4,求此二次函数的解析式求此二次函数的解析式.解：解：设函数关系式设函数关系式 y=a(x-3)2-2抛物线与抛物线与x轴两交点距离为轴两交点距离为4,对称轴为对称轴为x=3过点过点(5,0)或或(1,0)把把(1,0)代入得代入得, 4a=2a=21y= (x-3)2-221练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2

8、) ， (2，3) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(3)、图象经过、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。课堂练习课堂练习数的解析式。）三点，求这个二次函，（），），（，经过（、一个二次函数的图象式。求这个二次函数的解析时，与当，时，函数值变量、一个二次函数，当自9111002. 0212101yxyx1、已知二次函数的图像过点、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,3)，(2,-7)三点，则该二次函数关系式为三点，则该二次函数关系式为_。21522yxx 2、若二次函数的图像有最高点为、

9、若二次函数的图像有最高点为(1,6)，且经过点，且经过点(2，8），则此二次函数的关系式），则此二次函数的关系式_22(1)6yx 3、若二次函数的图像与、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为，则此二次函数的关系式为_2(1)(2)yxx练练 一一 练练有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它现把它的图形放在坐标系里的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛，求抛物线的解析式物线的解析式 设抛物线的解析式为设

10、抛物线的解析式为y=ax2bxc，解解法法一：一：根据题意可知根据题意可知:抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为218255yxx 知知 识识 应应 用用0,58,251cba解得有一个抛物线形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解解法法二二根据题意可知根据题意可知

11、 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 知知 识识 应应 用用设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 有一个抛物线形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 知知 识识 应应 用用xy1620-204、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值的最大值是是2，图象顶点在直线，图象

12、顶点在直线y=x+1上，并且图上，并且图象经过点（象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x用待定系数法确定二次函数解析式的用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步

13、完成：基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设、二代、三解、四还原一设一设:指先设出适当二次函数的解析式指先设出适当二次函数的解析式二代二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于解析式，得到关于a、b、c的方程组的方程组三解三解:指解此方程或方程组指解此方程或方程组四还原四还原:指将求出的指将求出的a、b、c还原回原解析式中还原回原解析式中方方 法法 小小 结结解：解： 根据题意得顶点为根据题意得顶点为(1,4)由条件得与由条件得与x轴交点坐标轴交点坐标(2,0)；(-4,0） 已知当已知当x1时，抛物线最高点的纵坐标为时，抛物线最高点的

14、纵坐标为4，且与且与x轴两交点之间的距离为轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式，求此函数解析式yox设二次函数解析式：设二次函数解析式：ya(x1)2+4有有0a(21)2+4，得，得a94故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y= (x1)2494 动动 手手 做做 一一 做做 回回 顾顾 与与 反反 思思已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式通常选择顶点式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式通常选择交点式yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 已知四点已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12）试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时经过经过 这四个点？