自动控制系统期末作业

1、北京交通大学自动控制系统期末作业交通运输转动控制仿真大作业自动控制系统建模（2）第一部分：理论支持车辆跟驰仿真车辆跟驰模型（Car-Following Model）将交通中的车辆看成分散的、存在相互作用的粒子，在假设没有超车的情况下，通过研究后车跟随前车的动力学过程，进而分析单车道上交通流的演化特性。车辆跟驰理论将整个系统视为一种质点系动力学系统，它假设车队中的每辆车必须与前车保持一定的距离以免碰撞，通过考虑跟随车辆对头车间距、速度差等刺激因素的反应，建立描述车辆运动规律的微分方程，进而通过求解微分方程就可以确定车辆的演化过程。车辆跟驰理论着重讨论非自由行驶状态下车队的行驶特性，并用数学模型加

2、以阐明，对现代交通的模拟、评价及管理控制有着重要的理论价值和实际意义。1、 车辆跟驰模型的基本假设 主要进行单车道车辆跟驰仿真。基本假设条件如下： 1、道路平直，无交叉口或匝道，不允许超车； 2、当前方车辆较远时，车辆自由行驶，当车头间距在100200米时，车辆间存在相互硬性，后车处于跟驰状态。 3、在跟驰行驶时，后方车辆根据前方车辆的运行来调整本车的运动状态。从控制论的角度来看，单个车辆段额跟驰模型是一个不可分解的持续调整反馈控制系统（Feedback Control System）,而整个车队的跟驰模型是一个可分解为单个车辆模型的序贯级联系系统（Cascade System）； 4、驾驶人

3、根据当前时刻之前的信息进行判断，不能采取违反因果律的行为； 5、驾驶人可以有不同的驾驶习惯，驾驶人的驾驶行为不一定总是及时、精确或正确的。车辆跟驰模型是对驾驶人的反应特性深入分析的基础上，进行简化抽象得到关于刺激-反应的关系式： 反应=×刺激 （1）式中，为驾驶人对刺激的反应参数，称为敏感度系数。通常，驾驶人受到的刺激因素是指前车的加速或减速行为，以及随之产生的速度差和车头间距的变化。驾驶人对刺激的反应是指根据交通条件变化及车辆进行相应的操纵控制。二、线性车辆跟驰模型 图1线性车辆跟驰模型是基于刺激-反应关系原理的最简单模型。图一为线性跟驰模型原理示意图。图中，和分别表示t时刻车辆n

4、-1和其他跟随车n的位置，为t时刻车辆间的车头间距，T表示驾驶人的反应时间，表示驾驶人在反应时间T内车辆n行驶的距离，表示车辆n的制动距离，表示车辆n-1的制动距离，L表示停车距离安全。 根据图一，可以得到如下基本关系式： （2） （3）假设两车的制动距离相等，即，可得 （4）结合（3）和（4），得 （5）在式（5）两边对时间t求导，可得 （6）令=1/T，将式（6）整理为如下形式， （7）与式（1）对比，可以看出式（7）是刺激-反应关系的一种近似数学描述。的量纲为。3、 车辆跟驰一般过程的理论框图表示 图2由图看出，车辆跟驰过程包括三个部分：信息输入，驾驶人的反应和控制，以及状态输出。首先，

5、输入前车运行状态，通常包括前车的速度、加速度及车头间距等；其次，驾驶人感知前车的状态信息并进行分析判断，进而做出决策并控制车辆状态；最后，车辆根据驾驶人的控制跟随前车运行，输出跟随车的运行状态。在这个过程中，还存在一个反馈过程，即车辆运行的动力学特性会反过来影响驾驶人的信息感知和决策控制过程。4、 交通流的稳定性交通流的稳定性是考察当前处于平衡状态的车辆受到扰动后交通流状态最终是否会演化到初始的平衡状态。如果系统是不稳定的，小扰动会沿着车流向上游传播，逐渐使畅行车流演化为交通阻塞。如果系统是稳定的，小扰动在传播过程中会逐渐缩小并消失或最终控制在一定的小范围内，使得系统中的车辆仍然能够畅行。道路

6、上的一个车队按照相同的车头间距和相同的车速行驶，假定这种均匀的车流状态就是车队系统的平衡态。Herman等人（1995）最早研究了线性车辆跟驰模型的稳定性，给出了车辆跟驰模型稳定性的两种基本类型：（1）局部稳定性（Local Stability）:主要研究跟随车辆对前车速度波动的反应，关注两车之间的局部行为；（2）渐进稳定性（Asymptotic Stability）:主要研究车队的整体动态特性随头车速度波动的变化，关注车队中波动在所有车之间的传播过程。（1） 局部稳定性 基于式（7）给出的线性车辆跟驰模型，因为=1/T，则<（=T=1)<。根据Herman等人给出的局部稳定性条件

7、，可知，题设模型车头间距发生震荡，但振幅呈指数衰减。 考虑一般的跟驰现象，假定跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为和，则有 （8）式中，表示跟驰车辆的加速度。从式（7）可得 （9）即 （10）式中，表示车头间距的变化量，和分别表示头车和跟驰车辆的速度。（二）渐进稳定性以线性跟驰模型（7）为例，对稳定车队中头车的速度施行傅里叶扰动，之后分析扰动在车队中的演化状态。考虑N辆车组成的车队，每辆车的运动方程如下 n=1,2,3N （11）这些方程的任何解都取决于头车的速度，以及两个参数和T。对于任何车头间距的扰动，都可能在车队中传播；在此过程中，车头间距扰动的幅度可能增大、也可能减小，或者保持不变。渐进

8、稳定性分析的目的就是判断振幅变化趋势的参数条件。通常，车辆速度的任何模式都可以表达为傅里叶分析单频部分的线性组合，因此，头车的速度可以表示成为如下形式： （12）式中，是常数，是头车单频振荡的振幅，是频率。第n辆车的速度可以表示为 （13）式中，（n=1,2,3N）是第n辆车单频振荡的振幅。将式（12）和式（13）代入式（11），可得 （14）式中 （15）如果 >1,也就是说，如果 则F随着n的增大而减小。因此得到的稳定性条件如下 （16）根据理论分析的结果式（16），一列行驶的车队仅当时，模型是渐进稳定的，即车队中车头间距波动的幅度是逐渐减小。根据题意，当时，该跟驰模型不是渐进稳定的

9、。五，驾驶员认知结构基础框架示意图第二部分系统建模题一，问题：以前车车速为后车的输入，后车车速作为输出，构建后车车辆的驾驶模型分析：根据查阅的资料得到公式：在式子的左右两边有拉普拉斯变换得到Y(s)=R(s)Ts+1 传递函数G(s)= 1Ts+1V后(s)G(s)=1sT+1V前(s)R(s)是前车的车速，Y(s)是后车的车速输出值。如图：二， 问题：假设该系统有5辆车，以第一辆车的速度作为该系统的输入，以第5辆车的速度作为系统的输出，建立该系统的数学模型。分析：仿照第一个问题，令G1(s)= 1Ts+1则此系统的传递函数G(s)=G1s4系统建模如图V5(s)G(s)=1sT+1G(s)=

10、1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)三， 问题：假设该系统有10辆车，以第一辆车的速度作为该系统的输入，以第5辆车的速度作为系统的输出，建立该系统的数学模型。分析：仿照第一个问题，令G1(s)= 1Ts+1则此系统的传递函数对最后那一辆车G(s)=G1s9则此系统的传递函数对第五辆车G5(s)=G1s4输出V5系统建模如图V10(s)G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)四， 问题：分析5辆车的系统和10辆车系统的稳定性条件：利用Bode图，令a=0.2T=0.2 ; num=1;den=T 1;s

11、ys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);bode(sys4);margin(sys4);nyqiust(sys4);系统是稳定的。奈圭斯特图可知 ，图没有包含（-1,0）这个点，可以认为系统是稳定的。五， 问题：假定第一辆车按恒定的速度V0行驶，5辆车的系统的输出响应？10辆车系统的输出响应？分析：（1）因为假定第一辆车按恒定的速度V0行驶，根据拉普拉斯变换V1(s)=V0s, (在这道题中我们取V0=1)相当于单位阶跃响应为输入。（2）利用Matlab写程序代码

12、：T=0.2 ; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1)step(sys4);由图知，系统的最终稳定速度1m/s六， 问题：假定第一辆车按单位斜坡V0行变化，5辆车的系统的输出响应？10辆车系统的输出响应？分析：（1）因为假定第一辆车按按单位斜坡V0行变化，根据拉普拉斯变换V1(s)=1s2（2）利用Matlab写程序代码：T=0.2; num=1;den=T 1; sys1=tf(num,den); sys2=series(sys1

13、,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);impulse(sys4);七， 问题：假定第一辆车按单位加速度V0行变化，5辆车的系统的输出响应？10辆车系统的输出响应？分析：（1）因为假定第一辆车按按单位加速度V0行变化，根据拉普拉斯变换V1(s)=1s3（2）利用Matlab写程序代码：T=0.2; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);SYS=ss(sys4);t=

14、0:0.01:5;V=0.5*(t.2);lsim(SYS,V,t)必做仿真三题仿真作业1系统仿真实验步骤（1），分析题意，由于要画出开环对数频率特性图。因而先写出开环的传递函数。令f1(x)=1s+2(s+8) f2(x)=1sG1(x)=f1(x)1+5f1(x)=1s2+10s+21在K1=200时，系统的开环传递函数G(x)=K1*G1(x)*f2(x)=K1s3+10s2+21s=200s3+10s2+21s也可以用MATlAB中的函数写出sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys

15、3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到开环传递函数sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);(2)画出开环系统的Bode图由Bode图的闭环系统得稳定裕度：增益裕度0.424dB 相角裕度：1.29度Bode图结果分析：增益裕度和相角裕度太小，系统的稳定性不好（为了验证结论我们用simulink做了一次仿真，输入阶跃函数）当K=200时以阶跃函数为输入的输出响应可以看出系统的阶跃响应时间很长，K=200时系统不稳定。系统需要达到稳定值得时间很长。当K=150时K=150时达到稳定的时间变短了。超条量较的K=2

16、00时也变小了。当K=100时K=50时K=20时说明随着K值渐渐减小系统的稳定性渐渐加大。（3）闭环系统的根轨迹图1先写出闭环系统的传递函数G3=K1s3+10s2+21s+K1也可以用MATLAB得到：sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);sys9=feedback(sys8,1,-1)2得到得到特征方程是s3+10s2+21s+K1将方程化作1+K1s3+10s2+21s 再利用MATLAB中的rlocus函数得到根轨迹根轨迹图结果分析：由开环传递函数得K1ss+2(s+8)(i) 开环传递函数有三个极点0，-2，-8(ii) 由根轨迹图得：

17、根轨迹与虚轴的交点w4.57,得到增益K1209系统才可以出于稳定状态。仿真作业2系统仿真实验步骤K=5.3(1) 当人的反应时间为0时把e-ST用pade函数代替e-ST=-s3+120s2-6000s+120000s3+120s2+6000s+120000令f1(x)=e-sTs f2(x)=Ks2 f3(x)=s2+0.8s+0.32闭环传递函数G(s)=f1*f21+f1*f2*f3写出频率响应函数G(jw)=f1jwf2(jw)1+f1jwf2(jw)f3(jw)在w在0.1-103之间选200个点画出闭环系统的频率响应（2）开环传递函数F(x)=f1x*f2x*f3xF(x)=Ks

18、3*(s2+0.8s+0.32)得到开环系统的T=0时的Bode图得到增益裕度Gm=-22.4dB 相角裕度 Pm=81.3度（3）在T=0.1时得到开环函数F(x)=e-0.1sKs3*(s2+0.8s+0.32)得到增益裕度Gm=9.14dB相角裕度Pm=51度（4）当相角裕度Pm=0时用Bode图不断试验得到使Pm=0的T值。在T=0.2677s时Pm=0.00285度0由上图可知在T=2.651585时，Gm=2.23*10-5 Pm=3.9*10-50分析：根据查阅的资料人的反应时间一般为0.10.5s左右。而在复杂情况下人的反应时间是13s所以T0.2677s仿真作业3系统仿真实验

19、步骤假定司机的反应时间T=0.2s(1) 问题：确定增益K的取值，时闭环系统的谐振峰Mp2分析:1先写出系统的闭环传递函数f1(x)=e-sT f2(x)=Ks(0.1s+1)系统的开环传递函数：G1(x)=e-sTK0.1s2+s系统闭环传递函数：G(x)=G1(x)1+G1(x)2经过不断的尝试发现当K3.439时 画出闭环频率响应图，再利用公式计算最大幅值处的谐振峰Mp1.99962(2) 问题:根据Mp估计系统的阻尼系数分析：根据公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2589(3) 问题:根据相角裕度估计系统的阻尼系数分析：1根据自动控制原理的课本第325页第326页在典型的四节开

20、换系统中，系统的阶跃响应的超调量%与相角裕度以及谐振峰Mp之间关系的经验公式%=2000-20 100(Mp-1) Mp1.25% 50Mp-1 Mp>1.25假设在谐振峰附近，开环相频特性随频率的变化比较缓慢，择优文献证明：闭环谐振峰Mp与相角裕度之间有如下近似关系：Mp1sin2利用开环传递函数的Bode图得到相角裕度为=33.4409度3利用阶跃响应得到超调量%=43%利用公式Mp1sin，sin33.4409=0.5510765473Mp1.814629936,再利用公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2877023674分析：比较由Mp得到得1=0.2589和先由相角裕度

21、得到Mp再由Mp得到2=0.2877023674得到=1-2=-0.02880236738 两者相差不大，说明可以认为在谐振峰附近，开环相频特性随频率的变化比较缓慢。可以符合近似公式Mp1sin而且计算超调量%=2000-20=39.8070028%与43%相差不大。(4)问题:估计闭环系统的带宽分析：1系统带宽：闭环系统的输入信号，频率从零开始，从零频率衰减到0.707时频率范围。WB是系统可通过的频率带宽称为带宽。得到系统带宽w=6,64rad/s源程序代码系统仿真实验题目1 %做K=200的bode图sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);

22、sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到开环传递函数sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);bode(sys6);margin(sys6);grid on; %做根轨迹图sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);%闭环传递函数sys9sys9=feedback(sys8,1,-1)sys9 = 1 - s3 + 10 s2 + 21 s + 1%得到特征方程是s3 + 10 s2 + 21 s + Kp=1;q

23、=1 10 21 0;sys10=tf(p,q); rlocus(sys10);系统仿真实验题目2w=logspace(-1,3,200); T=0;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(sys4,sys5);%闭环函数sys7=feedback(sys4,

24、sys5,-1);%闭环函数频率响应bode(sys7,w); grid on%开环函数（计算增益裕度与相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on%当T=0.1时系统的相角裕度T=0.1;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(s

25、ys4,sys5);%开环函数（计算增益裕度与相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on系统仿真实验题目3pn,pd=pade(0.2,3);sys1=tf(pn,pd);K=3.439;num1=K;den1=0.1 1 0;sys2=tf(num1,den1);sys3=series(sys1,sys2);sys4=feedback(sys3,1,-1); w=logspace(-1,1,200);bode(sys4,w)grid onw=logspace(-1,1,200);mag,phase,w=bode(sys4,w); %计算谐振峰Mpmp,l=max(mag) mp = 1.9996l = 162%利用Mp来计算阻尼系数zeta=sqrt(0.5*(1-sqrt(1-1/mp2)z