第二章 误差分布与精度指标

1、第二章 误差分布与精度指标 本章主要内容本章主要内容 正态分布正态分布偶然误差的分布特性偶然误差的分布特性衡量精度的指标衡量精度的指标精度、准确度与精确度精度、准确度与精确度测量不确定度测量不确定度 一、数学期望一、数学期望 离散型离散型1)(iiipxxE连续型连续型_)()(dxxxfxE二二、方差方差离散型离散型)()(2xExExDiiipxExxD12)()(连续型连续型dxxfxExxD)()()(22-1 随机变量的数字特征三、协方差三、协方差)()(YEYXEXxy四、相关系数四、相关系数yxxy2-1 随机变量的数字特征 一、一维正态分布一、一维正态分布 222)x(exp2

2、1)x(f 其中其中 和和 是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为xN（ ）。）。 x xdx)x(f)x(E 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D 2-2 正态分布 一维正态随机变量出现在给定区间一维正态随机变量出现在给定区间 内的概率是：内的概率是： ),(kkdxxExdxxfkxkPkkkk222)(exp21)()(xtdttdttkxkPkkk0222exp222exp21)(2-2 正态分布二、二、N N 维正态分布维正态分布

3、服从服从N维正态分布的随机向量维正态分布的随机向量 的概率密度函数是：的概率密度函数是： TnxxxX),(21XXXTXnXXXDXDXf122121exp21)(XXdXXfXE)()(XXDdXXEXXfXEXEXD22)()()()(2-2 正态分布XnnxExExEXE)()()()(2121TXXXEXXEXED)()(2222122121211nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx2-2 正态分布一、真值与真误差一、真值与真误差1.1.真值真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。设进行了n次观测，各观测

4、值为L1、 L2、Ln，真值为 ，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即： iiiLL LnLL、L21用向量表示： TnnLLLL.211 ,TnnLLLL.211 ,Tnn.211 ,LLELL)(2-3 偶然误差的规律性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立

5、地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：iiLLL)(1803212-3 偶然误差的规律性， dnvi/ivnvi/dnvi/d误 差 的区间 为 负 值 为 正 值备注备注个数个数v vi频率频率v vi/n个数个数频率频率0.00-0.200.00-0.200.20-0.400.20-0.400.40-0.600.40-0.600.60-0.800.60-0.800.80-1.000.80-1.001.00-1.201.00-1.201.

6、20-1.401.20-1.401.40-1.601.40-1.601.601.60以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0000.0630.0630.5600.5600.4600.4600.3200.3200.2350.2350.1800.1800.0850.0850.0550.0550.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1

7、280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.0060.0060.0000.0000.0640.0640.5750.5750.4600.4600.2950.2950.2250.2250.1800.1800.0700.0700.0300.0300.0000.000 =0.02=0.02和和1811810.5050.505 1771770.4950.495 2-3 偶然误差的规律性1 1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；对值不会超过一定的界限；2

8、2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；的次数多；3 3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，于零，n即即Limn i=1n i=Limnn =0偶然误差的特性：偶然误差的特性：0)()()()(LELELLEEE三、偶然误差的表示方法三、偶然误差的表示方法1.表格法：见上页2.直方图： 3.误差分布曲线：2-3 偶然误差的规律性(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差概率密度

9、函数曲线概率密度函数曲线面积面积= = (K/n)/d(K/n)/d * * d d= = K/nK/n所有面积之和所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1=k1/n+k2/n+.=1四、偶然误差的概率分布密度函数四、偶然误差的概率分布密度函数式中 为标准差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。22221)(ef0)(E), 0(2N2-3 偶然误差的规律性 频数频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.630

10、 频数频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差提示：提示：观测值定观测值定了其分布也就确了其分布也就确定了，因此一组定了，因此一组观测值对应相同观测值对应相同的分布。不同的的分布。不同的观测序列，分布观测序列，分布不同。但其极限不同。但其极限分布均是正态分分布均是正态分布。布。22221)(ef2-3 偶然误差的规律性一、概述一、概述精度的定义：。 误差分布相同，观测成果的精度相同；若误差分布不同，则精度也就不同。 从直方图来看，精度高

11、，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。 为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。 2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标1. 1. 方差和中误差方差和中误差误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：方差定义：方差定义：就是就是标准差：标准差：正态分布曲线

12、具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，对于偶然误差，拐点在横轴上对于偶然误差，拐点在横轴上，其大小可以反映，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。对于离散型：对于离散型：方差和中误差的估值：方差和中误差的估值：22221)(ef222)()()(EEDdfED)()()(222)(2E拐nEnlim)(2nnlimn2nxX拐22221n2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 例例 为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精度为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精度, , 现对某现对某一精确测定

13、的水平角一精确测定的水平角(=65(=652834.0)2834.0)作作 25 25 次观测次观测, , 根据观测结果算得各次观测误差为根据观测结果算得各次观测误差为( (单位单位: :秒秒): ): +1.3,-1.1,+0.8,+1.5,+1.1,-0.3,+0.2,+0.6,-0.5，-0.7,-2.0,+0.6,+1.2,-0.4,-0.9,-1.3,-1.1,-0.9，-0.3,+0.6,+0.8,-0.3,+0.8,-1.2,-0.8试根据试根据i i计算测角精度计算测角精度 和和 2解解: =22.61 22)(90. 025/61.22/ n95.090.0n2-4 衡量精度

14、的指标衡量精度的指标平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为。以 表示 。 平均误差与中误差的关系：所以 也可以作为衡量精度的指标。dfE)()( nnlim n547979. 0245253. 122-4 衡量精度的指标衡量精度的指标随机变量随机变量X X落入区间（落入区间（a,b)a,b)内的概率为：内的概率为：对于偶然误差，误差对于偶然误差，误差落入区间落入区间(a,b)(a,b)的概率为：的概率为：误差出现在误差出现在 之间的概率等于之间的概率等于 ，即，即 与中误差的关系：与中误差的关系： 实用上只能得到的将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大

15、小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。 badxxfbXaP)()(badfbaP)()(),(2121)(df326745. 0234826. 1.,321nmid2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标极限误差极限误差误差落在误差落在 、 和和 的概率分别为：的概率分别为： 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为，并称为极限误差极限误差。 ),()2,2()3,3(%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(PPP3限限%7

16、 .99)3(%5 .95)2(%3 .68)(PPP2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标相对误差相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏 。相对中误差相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。 例1-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25

17、000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。N12-4 衡量精度的指标衡量精度的指标N1观测值真误差相对真误差N1观测值中误差相对中误差N1观测值极限误差相对极限误差2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 注意：注意：1.1.只有当只有当n n较多时，较多时，才能够比较准确地反映测量的精度才能够比较准确地反映测量的精度2.2.当当n n较少时较少时 比比更可靠反映测量的精度更可靠反映测量的精度3.3.一定的测量条件对应确定的一定的测量条件对应确定的4.4.等精度观测是指每次的等精度观测是指每次的 相同，并非值每次观测的真误差相同相同，并非值每次观测的真误差相同5.5.一系列等精度观测结果求得的

18、一系列等精度观测结果求得的，反映了这一系列观测结果的精度，它又是每一观测值的精度反映了这一系列观测结果的精度，它又是每一观测值的精度2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 一一、精度：、精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测值与数学期望的接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。值与数学期望的接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。1 1、方差和协方差的基本概念、方差和协方差的基本概念 设两个随机变量设两个随机变量X X和和Y Y，其真值分为，其真值分为 真误差分别为真误差分别为 并且并且 那么它们的方差和协方差分别定义为那么它们的方差和协方差分

19、别定义为：)(XEX )(YEY YYEXXEYX)(.)(0)(, 0)(YXEE)()(222XXEXEXE)()(222YYEYEYE )()()(YXXYEYEYXEXE，2-5 精度、准确度和精确度 在相同测量条件下，随机变量在相同测量条件下，随机变量X X和和Y Y的方差和协方差的计算的方差和协方差的计算公式是：公式是：nnxxnxxxnXn limlim222221nnyxnyxyxyxnXYnn limlim2211表明协方差是两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均表明协方差是两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，其估值公式就是值，其估值公式就是 nxxX2nyxXY， 当

20、两个随机变量当两个随机变量X X和和Y Y随机独立，或者说两个（两组）观测随机独立，或者说两个（两组）观测值值X X和和Y Y的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的观测值，这样有观测值，这样有2-5 精度、准确度和精确度2 2、自协方差阵和互协方差的基本概念、自协方差阵和互协方差的基本概念 在实际测量和数据处理中，经常遇到由在实际测量和数据处理中，经常遇到由n n个不同精度个不同精度相关的物理量组成的向量（矩阵）的问题。也就是如何研相关的物理量组成的向量（矩阵）的问题。也就是如何研究随机向量和随机向量间的精度问题？究随机向量和随机向量间

21、的精度问题？ 设有随机向量设有随机向量X X和和Y Y，其矩阵表达式和真误差向量分，其矩阵表达式和真误差向量分别是别是 0)()()()()(YXYXXYEEEYEYXEXEnnxxxX211mmyyyY211nxxxnXXEX21)(1nyyymYYEY21)(1，2-5 精度、准确度和精确度这里这里 是是n n个不同精度的相关的随机个不同精度的相关的随机变量（物理量），变量（物理量）， 是是m m个不个不同精度的相关的随机变量（物理量）。则随机向量同精度的相关的随机变量（物理量）。则随机向量X X的自协方的自协方差阵是：差阵是：nxxx.2, 1myyy.,21TXXTnnXXEXEXXE

22、XED)()(nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEE2122212121112121)()()()()()()()()(2222122121211nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxEEEEEEEEE2222122121211nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx2-5 精度、准确度和精确度随机向量随机向量X X和和Y Y的互协方差阵定义为的互协方差阵定义为TYXTmnXYEYEYXEXED)()(mnnnmmmnyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxxEE2122212121112121)()()()()()()()()(212221212111m

23、nnnmmyxyxyxyxyxyxyxyxyxEEEEEEEEEmnnnmmyxyxyxyxyxyxyxyxyx212221212111TnmYXmnXYDD显然显然2-5 精度、准确度和精确度若有随机向量若有随机向量 ，组成新的随机向量，组成新的随机向量YXmn11,Zmn1)(即即YXZYYYXXYXXTTTTTZZmnmnZZDDDDYYXYYXXXEED)()()()()()()(二、准确度二、准确度准确度（偏差）：准确度（偏差）： 是指观测值是指观测值X(X(随机变量）的真值随机变量）的真值X)(XE的接近程度，是衡量系统误差大小程度的指标的接近程度，是衡量系统误差大小程度的指标。)

24、(XEX 与其数学期望与其数学期望2-5 精度、准确度和精确度三、精确度三、精确度 是精度和准确度的合成，是指观测值与真值的接近程是精度和准确度的合成，是指观测值与真值的接近程度，是衡量偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。衡度，是衡量偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。衡量精确度的指标是均方误差，设观测值量精确度的指标是均方误差，设观测值X X，它的均方误差，它的均方误差定义为定义为22222)()()()(XXXEEXEXEXXEXMSE)()()(XXXXEXMSET2-5 精度、准确度和精确度 测量数据的不确定性测量数据的不确定性即包含偶然误差，又包含系统误差即包含偶然误差，又包含系统误差和粗差，也包含数值上和概念上的误差以及可度量和不可度和粗差，也包含数值上和概念上的误差以及可度量和不可度量的误差。数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模量的误差。数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可视为不确定性问题。糊性，都可视为不确定性问题。 不确定度是度量不确定性的一种指标不确定度是度量不确定性的一种指标。衡量不确定性的。衡量不确定性的基本尺度是中误差基本尺度是中误差，称为标准不确定度。，称为标准不确定度。 可测不确定度的计算：设可测不确定度的计算：设 的概率的概率分布已知，则不确定度在给定值新概率分布已知，则不确定度在给定值新概率p p下可由下两式计算下可