大一高数期末考试题(精)

1、、单项选择题(本大题有4小题，每题4分，共16分) ).f (x)不可导.1.A设 f (x)f (0)设2.A 是等价无穷小;:C 无穷小.(x)sin x ),那么在x0处有(Bf (0)1Cf (0) 01X，(x) 3 3Vx，那么当 x1时(1 xCOS X(X2D(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(X)是比(x)高阶的无穷小;DB(x)与(x)(X)是比(X)高阶的3.假设 f (X)XF(X) 0(2t x)f(t)dt，其中 f(x)在区间上(1,1)二阶可导且0，那么 函数F(x)必在 函数F(x)必在 函数F(x)在xD函数F(x)在x4 设f (x)是连续函数

2、，且A2 B2丨.X 0处取得极大值；X 0处取得极小值；0处没有极值，但点© F(0)为曲线0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线f (X)y F(x)的拐点； y F(x)的拐点。12 0 f(t)dt ,那么 f (x)(5.6.7.2CxDx 2、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分2lim (13x)sin7x 0co空是f(x)的一个原函数X那么 f(x) cOdxXlimn(cos ncos2?cos3)n2 x arcsin丄 '12二、解答题设函数y求丄X(11 dx8.9.10.设 f (x)本大题有y(X)由方程e x7厂dx.x7)Xxe , 2

3、x x 2,5小题，每题sin( xy)8分，共40分1确定，求y (x)以及y (0)13 f(x)dx.g(x) f(xt)dt 血丄凶 A12. 设函数f(x)连续，0，且x 0 x, A为常数.求g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性.y(1)113. 求微分方程xy 2y xlnx满足9的解.四、解答题本大题10分14. 上半平面内一曲线 y y(x) (x °)，过点(01)，且曲线上任一点 M(x0，y。)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x X。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题本大题10分15. 过坐标原点作曲线y ln x的切

4、线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题本大题有2小题，每题4分，共8分16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q °,1，q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在0，上连续，且0证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f ( J f ( 2)0.提xF(x) f(x)dx示：设0、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题本大题有

5、4小题，每题4分，共16分1 COSX 26- () C5. e. 6. 2 x.7.2 .8.3三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9.解：方程两边求导x ye (1 y) cos(xy)(xy y) 0y(x)x 0, yex y ycos(xy) ex y x cos(xy) 0 y (0)110.解：u7 x7x6dx原式1(1u). du7u(1u)1-(In |u|2ln |u12In|x71 ln |11|) c1du1 1 2-()du7 u u 10311.解:3 f(x)dx03xd(xxexex | C；.2x x2dxxdx；J1 (x 1)2dx°3

6、cos2 d (令x2sin )12.解:2e34由 f(°)xtg(x)f (xt )dtg(0)0 。xf (u)duu0(x0)g(x)g(0)xf(x)limxxf (u)du02xxf(u)du0(x0)0x2xf(x)f(x)i!叫 g(x)limx 0 2xxf (u)du0 2 xA2 , gx在x 0处连续。dy13.解:dx2 y xInMdxe x l n xdx11xln xxCx 2391y(1)-,C0 y1 xln x1x939C)(y e2dxx四、解答题本大题10分x2 yd x014解：由且y将此方程关于X求导得y 2y y2特征方程：r r 20

7、 解出特征根:1, a 2.其通解为y C1ex C2e2x代入初始条件y(°)故所求曲线方程为：五、解答题本大题1°分y (°) 12y e3，得1e315解：1根据题意，先设切点为由于切线过原点，解出x°1(ey°A那么平面图形面积2三角形绕直线 曲线y |n x与x轴及直线 为V2V2C12x(x°,ln x°)D绕直线x = e 六、证明题16.证明：q(1 q) f(x)d x°1 0, q 2 q,1q(1故有：qf (x) d x°17.i' C2e，从而切线方程为:1ey)dy e

8、 12y，切线方程：1y xeVi,那么ln x°1(x x°) x°x=e一周所得圆锥体体积记为x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积1(e ey )2dy°V旋转一周所得旋转体的体积 本大题有qf(x)dx°2小题，每题4分，共1q f (x)dx°qf (x) d x°V1 V26(5e2 12e 3)12分qq( f(x)dx°1f (x)dx)q1q f(x)dxqq) f( i)q(1q) f( 2)1) f ( 2)°f(x)dx证毕。F(x),°证：构造辅助函数：

9、上可导。F (x) f(x)，且 F(°)F()f (x) cosxdx cosxdF (x)由题设，有。其满足在°'上连续，在(°')F(x)cosx|osinx F (x)dxF (x)sin xdx 0有0，由积分中值定理，存在(°，)，使F( )sin 0即F ( )0综上可知F(0) F( ) F( )0，(0，).在区间0，【，上分别应用罗尔定理，知存在1(0,)和 2(,)，使 F(1)0 及 F(2)0，即 f(1) f(2)0高等数学I解答一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中(本大题

10、有4小题，每题4分，共16分)2.极限xa sin a的值是C.cot atan aA1BeCeDe2axsin xe1x0f(x)x3.ax0在x0处连续，那么a=DB 0C eD:1A14.设f(x)在点xA3f (a)(C) f (a)a处可导，那么叫HhDB1严)1.当X x0时，x，x都是无穷小，那么当x &时D丨不一定是无穷小.(A)%x(B)2 2xx2(x)(C)ln 1(x)1(x)(D)(x)sin x x a、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分limln(X a) lna (a 0)吐15.极限x 0 x的值是 a .xy6.由eylnx cos2x确定函数

11、y(x)， 那么导函数yyxyyexxexy ln x7. 直线l过点M (1,2,3)且与两平面x 2y zx 1 y 2 z 3线l的方程为11128. 求函数y 2x ln(4x)的单调递增区间为 三、解答题本大题有4小题，每题1lim (1 x)x e9. 计算极限x 02sin 2x0,2x3y 5z 6都平行，贝川8 分,上共32分，0和1，+1.(1 x)x e lim解：x 010.：|a丨解:coslln(1 x) 1.ex|b | 26a同|b|513sin11.设f(x)在a, b上连续,F(x)elim叫x 0 x30，求 | ax(xa2 cos121372a,b，试

12、求出F (x)。F(x)解：F (x)f (t)dt xf(x) xf (x)f(t)dtaF (x)f (x)cosx12.求厂sin xcosx ,x3dx 解： sin x1 .xsi n21 2 xd sin x21 2 sin xdx21xsin2!cotx2四、解答题本大题有4小题，每题8分，共32分2 _dx2 X# x213.求 3令丄tx原式1一(ry)d1 tarcsint 122xy r14.求函数 1 x 的极值与拐点 解：函数的定义域一 ，+22(1 x)(1 x)4x(3 x2)y2 2(1 x )y2 3(1 x2)解:3x x2,令y0 得 x 1 =:1, x

13、 2 = -1y (1)0 x 1 = 1是极大值点，y ( 1)0 x 2 = -1是极小值点极大值y(1) 1,极小值y( 1)1令y0 得 x 3 =0, x 4 =' 3 , x 5 =-.3x(-，-V3)(-爲,0)(0,矗)(",+ )y+_V3 爲故拐点-脳,-2， 0, 0码,23xy215. 求由曲线 与y 3x x所围成的平面图形的面积32小x 12x 4x 0,16.03 x26(43xx)dx433x2x)0(x6162311452-4733Sx(x 6)( x 2)0,设抛物线y4X16,X20,223 x0®x)dx43 23 x4x

14、、2(；x3“)0216X32.2x上有两点A( 1,3)，B(3, 5)，在弧a B上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.解：AB 连线方程：y 2x 10 AB 4/5点P到AB的距离2x y 15x2 2x 3亍5(1x3)ABP的面积S(x)1-4.52x2 2x 3 52( x2 2x 3)S (x)4x 4当x 1S (x)0S (x)4 0当x 1时S(x)取得极大值也是最大值此时y 3所求点为(1, 3)另解：由于 ABC的底AB定,故只要高最大而过C点的抛物线 的切线与AB平行时,高可到达最大值，问题转为求C(x0, 4 xf),使f (x0)2x05 33 12,解得

15、x0 1,所求 C点为(1,3)六、证明题本大题4分17.设x 0 ,试证2xe (1x) 1x证明：设f(x)2xe (1x) (1x), x0f(x)e2x(12x)1 f(x)4xe2xx0, f (x)0 ,因此f (x)在0, +内递减。在0，+丨内，f (x) f (0)0, f(x)在o, +丨内递减,在0, + 丨内，f(x) f(0),即 e2x(1 x) (1 x) 0 亦即当x>0时，e (1 X) 1 X 。高等数学I A一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中 (本大题有4小题，每题4分，共16分)18. 函数ln(x 1)x 1

16、f (x) tan x, 0 x 12x sin x, x 0(A)(-，+)的全体连续点的集合是(B) (-,1)(1,+)(C) (-,0)(0,+ )(D) (-,0)(0,1)(1,+liml设x x 1ax b)0，那么常数a,b的值所组成的数组a,b为A 1，0B0，1C20. 设在0，1上f(x)二阶可导且f (x) af (0) f (1) f (1)f(0)1，1D 1，-10，那么(B) f (0)f(1) f(0)f (1)f (1) f (0) f (1) f(0)Df(1)f(0) f (1) f (0)"24Msin xcos x ,2 dx,1 xN21

17、.那么AM < N < PBCP < M < ND(C)P < N < MN < M < P2(sin3x cos4 x)dx P22/2.34(x sin x cos x)dx2填空题本大题有4小题，每题4分，共16分2 1 设 x 1 d(x arctan Jx 1)2 设 f(x)dx sinx c,那么f (n)(x)dx 3.直线方程2 m n6 P，与xoy平面，yoz平面都平行,4.那么m,n, p的值各为limxn i2ex叫1 12 21.计算sin x x2 1x cos, x0f(x)x2.设xx0试讨论f(x)的可导性，并

18、在可导处求出3.设函数y 图，给出f(x)在(，)连续，在x 0时二阶可导，且其导函数i 1 n三解答题本大题有3小题，每题8分，共24分f (x)f (x)的图形如下f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y f (x)的拐点。四 解答题本大题有4小题，每题9分，共36分1.求不定积分(x2 2 dx1)二2.计算定积分eIn x dx1e12 ：y 2 z 354,求过直线|1且平行于直线X y z 111 ： 3.直线123l2的平面方程。81_ 2 4.过原点的抛物线y ax及y=0,x=1所围成的平面图形绕 x轴一周的体积为 5，确定抛物线方程中的a,并求该抛物线绕 y轴一周所成的旋转体

19、体积。五、综合题本大题有2小题，每题4分，共8分21. 设F(x) (x 1) f(x)，其中f(x)在区间口,2上二阶可导且有f(2)0，试证明存在12丨使得F ( )0。x22nf (x) (t t )sin tdt (x 0)2. 0(1) 求f(x)的最大值点；1f(x)(2) 证明：(2n 2)(2n 3)、单项选择题B D5.、填空题本大题有4小题，每题x( dy 2 .x 11 4arcta njx 1 )dx4分，共16分6.7.f(n)(x)dxcos(x n)dx sin(xm 2, p 6,n01(e 1)2 .二、解答题本大题有3小题，每题8.8分，共24分ml。mo

20、H XX2n2XX2n2Xlim Xsin x xsin xlim3x 0xxO1. 1cosx12lim2x 03x321x cosx 0f(x)xx10. (8分)设f (x)x 0，试讨论f (x)的可导性，并在可导处求出11.解：当x 0，f(x)f '(0) lim1 1 2xcossinx21x cosxxx ；当12x cos-xx 0, f (x)10f '(0) lim101sin x 0 x故f (x)在x=0处不可导。(8分)设函数y f(x)在(f (x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线)连续，在x 0时二阶可导，且其导函数y f(x

21、)的拐解：极大值点：x ax d 极小值点：x b拐点(0, f (0),( c, f(c)四 解答题本大题有4小题，每题9分，共36分12. (9分)求不定积分(x2)厶x(x 1)2dx(土戶否解：原式=X (X 1)dx4ln x3ln x 1 ce1 ln x dx13. (9分)计算定积分e.1e1 In x dx In xdx1 解：原式=e1xln x x 1 x In xe22 -y 2 z 354，求过直线l1且平行于ex y z 1h: 一 14. (9分)直线 123 ，直线12的平面方程.取直线l1上一点M1(0,0,1)于是所求平面方程为7x 2y (z 1)15.(

22、9分)过原点的抛物线812ax (a 0)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为512 2 (a x ) dx0a28155V解：a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.52 Xa 由得9x2a = 9抛物线为：y1 2V 2 x 9x2dx 180共8分绕y轴一周所成的旋转体体积：五综合题每题4分，216. (4 分)设 F(x) (x 1) f(x)，其中 f(x)在区间1,2证明：存在12丨使得F ( ) 0上二阶可导且有f(2)0.证明：由f(x)在1 , 2上二阶可导，故F (x)在1 , 2二阶可导，因 =0在1，2上用罗尔定理，至少有一点Xo,(1 Xo2)使F

23、F (x)2(x 1)f(x) (x 1)2f (x)得 F (1)在1，X0上对F (X)用罗尔定理，至少有点17. (4 分).解：1Xf (X)f (2)=0,故 F (1)=F(xf (x)(x(1(Xo)0X。2) F (2f(x)1为f(x)的最大值点。x )sin x，当 0x1， fX2)s in2nx 0。f(1)为极大值,X(t t2 )si n2ntdt f (1)2、. 2n(x)(x2、. 2nx )sin x也为最大值。f(1)10(tt2)si n2ntdt10(tt2)t2ndt(2n2)(2 n 3)高等数学上B 07解答2.填空题：共24分，每题4分dy2

24、2 2y sinsin( x ) 贝y dx 2xcossin(x )cos x 。 a-dxx 1e1 In x dx，a=_123.4.exy e过原点的切线方程为y ex。0 当 x 17I?5.f(x)3皿dxx =x c。6.点(1,3)是曲线 计算以下各题:cosx.求 y (sin x)cosx Insin x、解: y (e )时,3.2ax bx的拐点。y共36分，每题6分的导数。cos xlnsin x e( sin x In sin x cot x cosx)2 求 sin In xdx解.sinln xdxxsin In xcos In xdxxsin In xx co

25、s In xsin In xdx3.求丄(xsin In2x 5dx.x2 1x xcosIn x) C解:x 5 dx、X211 d(x2 1),dx2 x2 1x24.设f(x)5ln |xx e ,k x1|1,0在点0处可导，那么k为何值?解：f(0)klim x 0 x!irmxkf (0)xim05.求极限解：lim(n_1_n2122211ln(x、rV)|0 ln(1 .2)x 2y z 10 2x y z 06 求过点(2, 2, 0)且与两直线x y z 1 0和xyzO平行的平面 方程。解： 两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为S (1,2, 1) (1, 1,1)

26、 (1, 2, 3), S2(2, 1,1) (1, 1,1) (0, 1, 1)，平面的法向量n (1, 2, 3) (0, 1, 1)( 1,1, 1)。平面方程为x y z °三、解答以下各题:共28分，每题7分xRcostd2y1.设yRsint求 dx2 odycot t解：dxd2y1 12 (cot t)t3dxRsi n tRs in tF(x)2.求xt(t0 1)dt在匕2上的最大值和最小值。解: F (x)x(x 1)0,x0, x 1F(0)'0,F(1)1 10t(t "dt -,15 22F( 1)t(t01)dt6,F(2)0t(t 1

27、)dt325最大值为3，最小值为6。2 23. 设 y y(x)由方程 x(1 y ) |n(x 2y) 0 确定，求 y'(0)2 2解：方程x(1 y) ln(x2y) 0两边同时对x求导(1 y2) 2xyy0x 2yc1x 0, y将2代入上式5y'(0) 84.求由y1解: V 02 2x与y x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积(y y4)dy10四、证明题：(共12分，每题6分)1证明过双曲线xy 1任何一点之切线与°X,°Y二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。证明：双曲线xy 1上任何一点(x, y)的切线方程为1Y y 2 (X x

28、)x、(0, y -),(2 x,0)切线与x轴、y轴的交点为x故切线与°X,°Y二个坐标轴所围成的三角形的面积为2.设函数f(x)与g(x)在闭区间a，b上连续，证明：至少存在一点bg(x)dx g( ) a f(x)dxas X(y 丄)2x使得f()bF(x) g(x)dx证明：令F(a) F(b) 0，由bXf(x)dx aRolle定理，存在一点a，b，使()0，即f( ) g(x)dx g( ) a f(x)dx高等数学上解答07、单项选择题每题4分，共16分1. f(x)|sinx| z、xcosxe(x)是 A。A奇函数；B周期函数；C有界函数；D单调函数2

29、当x0 时，f(x) (1 cos x) ln(1c2、2x )与B是同阶无穷小量。Ax3 ；Bx4 ；Cx5 ；Dx2x 2y z03.直线x y 2z0与平面x y z1的位置关系是C 。A直线在平面内;B平行;C垂直；D相交但不垂直。4.设有三非零向量a，b，c。假设 a b0, a c 0，那么 8-b c a。A0;B -1 ；C1;'D3、1 曲线y ln x上一点p的切线经过原点填空题每题4分，共16分(0,0)，点P的坐标为(e,1)。tan x x lim 2厂 2. x 0 x2(ex 1)y3 方程e4曲线y6xy2x 、-3。x2 1 0确定隐函数yx 1与x轴

30、所围图形绕y(x)，那么 y (0) _ox轴旋转一周所得旋转体的体积为5。三、解以下各题每题6分，共30分f (x) lim (1.ttt sin2 x t 的 f(x) lim ()解：ttt sin xt，求 fX。sin2xesin2 xf (x) esin 2x2 求不定积分ln(ln x)丄dxln x 。ln(ln x)解：丄dx lnxln(ln x)dxdxln xx ln(ln x)x ln(ln x)dxln xC1 o sinx1x (411 xdxln x3.计算定积分1 2 sin x21x (41 x )dx11 x1 (x. 1 x2 )dx 0x si nt2

31、解:x2 )dx。11(X2 1 x2 )dx1 2 sin xx 4dx11 x402si n2tcos2tdt4.求不定积分1 sin x dx 解： 1 cosx1 2 x , sec dx2 2xtanln |125 f (lnx)1 sin x , dx1 cosx 。1dx1 cosxsin x dx 1 cosxd cosx1 cosxcos x | Cx解：令 In x t , f (t) e f(x) ex C f (1) e 1 , f(x) ex 1且 f(1) et,求 fx。四、8分设f(x)对任意x有f(x 1) 2f(x)，且f (0) 解：由 f(x 1)2f(

32、x)，f (1) 2f(0)12。求 f (1)。(0f2X7时1nX六、七、证明：只需证明令 f (x)f (x)f(1) 08分(x(xIn x1)ln x x 1 o1)ln x x 1 丄x0 , f(x)在1,1时，f(x) 0o)单调递增。2 2即(x 1)ln x (x 1) ox 2 F (x) (x2 ' 丿0 '为等价无穷小量。求f.F (x) lim解：x 0F(x)F (x)t2)f(t)dt(0) o(x)连续,且当x 0时，F (x)与x22 1xx 220(/x2x0lim x 0 x(x)2f (0)8分 设有曲线y 图形的面积为 时，可使A解:

33、 A AA(c)(t)dtx2f (t)dt x2f (x)x2x c f (t)dt lim “x 04x2 (0AiA2x0f(t)dtx2f (x)2f (0)xt202xf (t)dtx0f(t)dt4) o记它们与y轴所围 ，它们与直线x 1所围图形的面积为A2。问c为何值 A2最小？并求出A的最小值。-dy ：(1 于dyx 1)和直线y c (01令 A(c) 、c 11A (1)02177min A- dy0 2 '0，得 c 1 oc 1为最小值点。4、. y1 (1 亍)dy 1八、设f(x)在(a,b)内的点X。处取得最大值，且丨f (x)| K (a x b)

34、证明：| f (a)| |f (b)| K(b a)证明：f(x0)0在a,X0对 f(x)应用拉格朗日定理f(X。)f (a) f ( 1)(X0 a)(a1 X0)f (a)f ( 1)(a X。)，|f (a)|K(X0a)在x0，b对 f(x)应用拉格朗日定理f (b)f (X0) f ( 2)(b X0)(X02 b)f (b) f ( 2)(b X0), |f(b)| K(b x0)一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中 (本大题分5小题，每题2分，共10分)1、x设 I-exd x,贝 UIe 1(A) In(ex 1) c ( B) In(ex

35、 1) c;(C)2l n(ex 1) x g(D) x 2I n(ex 1)2、/ 12n 1lim ，en en e n e(D)e2答()n(B)、e (C)e(A)13、f(x)(A)的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)1 x1n 1(n 1)(1x)n 1 x()(式中01)(C) -nxn 1(1 x)n 2(1)n 1(B) 一kX(n 1)(1 x)n1(1)nn 1nv xx)4、设f (x)在x 0的某邻域内连续，且f (0) 是f (x)的极大值点 不是f(x)的驻点(A)(C)(B)(D)f (x)0, lim x 0 1 cosx是f (x)的极小值点是f

36、(x)的驻点但不是极值点答()那么点x 05、曲线2y x图形的面积2x 4上点M0(0,4)处的切线M 0T与曲线y22(x 1)所围成的平面A(A)21449(B) G (C) 7(D)1312二、填空题将正确答案填在横线上本大题分5小题，每题3分，共15分设 y In h tanx 丄，贝V y 1、 x2用切线法求方程x3 2x2 5x 1 0在1,0内的近似根时，选xo并相应求得下 一个近似值xi 贝卩xo, Xi分别为x 1 y 1 z 13、设空间两直线 12与x 1 y 1 z相交于一点，贝y2ax .sinx e 1 当 x 0f xx',在x 0处连续，那么a /a

37、，当 x 04、bxdx，其中b是实数.5、0三、解答以下各题本大题4分设平面 与两个向量a 3i j和b i j 4k平行，证明：向量c 2i 6j 平面 垂直。四、解答以下各题 本大题8分讨论积分卑的敛散性.0 xp五、解答以下各题本大题11分导出计算积分In六、解答以下各题十+的递推公式，其中 n为自然数。x V x 1本大题4分x 2y z 5 h :求过P°4,2, 3与平面：x y z 10 0平行且与直线z 10 0直的直线方程。七、解答以下各题 本大题6分计算极限 lim 1 xsinx cos2xx 0xta nx八、解答以下各题本大题7分ee试求Inl nxndx

38、的递推公式n为自然数，并计算积分l nx3dx1 1九、解答以下各题本大题8分设f x在a,b内可微,但无界，试证明f x在a,b内无界 十、解答以下各题设 lim (x)u°,lim f (u)f(u°),证明:lim f (x)XX。u U0x x0十一、解答以下各题(本大题4分)在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高 十二、解答以下各题(本大题5分)f (Uo)。cos重量为P的重物用绳索挂在 A,B两个钉子上，如图。设12,cos1345，求 A, B十三、解答以下各题 (本大题6分)y x(10 x)运动,其横坐标随着 tit(t的单位是秒，x的单位是米 M

39、 (8, 6)处的变化速率.一质点，沿抛物线),时间t的变化规律为x求该质点的纵坐标在点十四、解答以下各题 (本大题7分)设曲线x 、.y,x 2 yx0 01X1一5及y 0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积； (2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中 (本大题分5小题，每题2分，共10分)1、C2、答：B3、C4、E5、C二、填空题将正确答案填在横线上 (本大题分5小题，每题3分，共15分)1 2 1(1)sec (x -)xx12(1 tan (x -)10分10分5分1、x3、4、4-15、20, b

40、b2,b210分三、解答以下各题 本大题4分 4,12,2平面法向量n 2cn与c平行 从而平面与 四、解答以下各题 本大题8分c垂直。4分8分10分1时,1 dx001 dxlim0 p0 x丄)p 1 / x1lim (101 p11 p1 dx1时,1dx0lim In x01 dx0半当p 1时0 x五、解答以下各题本大题11分5分7分10分解法一.In -4rd x21xx21，x21百 (n 1) 代dx xx.x21n 1 x.x21n 1 x.x21(n(n1nX1)1)(n1)1x211(n 1)xInx21(n 1)xn 1法二x tan tInsec tdttann t

41、sectd sect tann 11 sectta nn 11secttann 11 X21(nInnInIn1 x2 dx xn2 x21dx2、x21(ndx1)InInn 2(n 2)2sec tdtsect(nInI11cx(n1)-3.sec t n 2 dt tan t3.sec t sect(n1)-n 2dt(n 1)n dttan ttan tIn)1)(In 2n 1(n 1)x(n 1)x2 ；In2(n12)nn 17分10分3分5分7分10分六、解答以下各题本大题4分I-的法向量为n 1,11于是I n e ne n(n 1)e(1)n n! 1dxe nen(n 1

42、)en 1(1) n(n1) 2e ( 1)n n!(e 1)所以e31(l nx)3dxe 3e 6e6(e 1)6 2e九、解答以下各题 (本大题8分)3分7分10分4分7分10分2分5分8分申*B-_ijk2, 1,0S1121.00111的方向向量为所求直线方向向量为S n S112, 3从而所求直线方程为x 4 y 2 z 31 210分七、解答以下各题 (本大题6分)1 xsinx cos2 2x 原式 limx 0 xtanx( xsin x cos2x)1xsin xsin2 2xlim(2x0x tan xxtanx15-(14)-22八、解答以下各题(本大题7分)eIn 1

43、 (l nx)ndxe1xlnn x e n 1 (ln x)n dxe n In 1证明：反证设f (x)在(a,b)内有界，即M 0那么x (a,b)有 f (x) M取Xo (a,b)那么对 x (a,b),x x°在以x°与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理 的条件,那么至少存在 介于X。与x之间，使f (x) f(x°) f ()(x X。)即 f(x)f(X。)f ( )(b a)f(x0) M(b a)记为 K即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f (x)在(a,b)内无界.10分 十、解答以下各题(本大题5分)由 li

44、m f u f u0u Uo任给 0,存在 0使当U Uo 时，恒有f (u) f (uo)又lim (x) Uo，取i ，存在 0 x Xo使当0x xo时，(x) uo故当0x x0时，就有f (x) f (u0) 成立10分因此 lim f (x) f(uo)X Xo十一、解答以下各题(本大题4分)设内接圆柱体的高为h,那么圆柱体的底面半径r . R2( h )2其体积为hR2 占2RR2唯一驻点3h2才2、一3R38分10分12f1 cosf2 cosP135f1 sinf2 sin0，即13f1解得3956p,25f2 56p、解答以下各题1145If2故h 空3 R时圆柱体体积最大

45、3十二、解答以下各题(本大题5分)按点O受力平衡，应有(本大题6分)当 x 8时，t 44分8分10 分dxdtt2t23(米/秒)4dydx计(10 2"不 X 818(米/秒)x(t) 3答：质点的纵坐标在M8, 16处的变化率为18(米/秒)10分十四、解答以下各题 本大题7分解：1x y1 2 .x dx0xJ2y2 交点(1,1).2 211313x2 dx2(x 2 x221 _ _2241J61 x4dx0xarcs inV22 (2 x2)dx1-2( . 254.222、( )3151)3(2 21)3分5分8分10分一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中 本大题分4小题，每题3分，共12分1、2secxlim( 1 cosx)xB e2答D.-4)2、lim g(x)xxo设f(x),g(x)在x0