复变函数与积分变换期末考试题

1、1、A.2、A.哈尔滨工程大学本科生考试试卷2022-2022年 第一 学期得分评卷人lim Imz Imzoz z0z ZB.选择题(每题2分，共10分)c. 02022-01-04D.不存在假设nan(z01)n 在 Z3发散，那么它在z 1收敛B.2收敛C. z 2i发散D.均不正确3、函数f(z)1 coszA.二阶极点、孤立奇点$，那么z 0 , z 分别是f的zB.二阶极点、非孤立奇点C.可去奇点、孤立奇点D.可去奇点、非孤立奇点4、映射w 3-L在z iA. /2Z02i处的旋转角为B. 0C./2D.5、以下命题或论断中,正确的个数是I: Ln z Ln zU:设 f (z)

2、u(x,y) iv(x,y)解析，那么u是v的共轭调和函数III : f (z) u(x, y) iv(x, y)的导数f(z)存在的充要条件是u,v的偏导数分别存在IV: f(z) tan(1/z)在任意圆环域0R不能展开为洛朗级数A. 0B. 1C. 2D. 3得分评卷人填空题(每题2分，共10分)6 设ez i i，那么 Rez7、假设函数v(x,y) x3 axy2为某一解析函数的虚部，那么常数az8、设函数的泰勒展开式为cnzn，那么它的收敛半径为COS zn 09、设信号f (t) (t 1), J那么通过Fourier变换得到的频谱函数F()10、设 F(s)R，那么通过Lapl

3、ace逆变换得到f(t)得分评卷人计算题1(每题5分，共25分)11、函数f (z) 2x3 i3y3在何处可导？何处解析?13、计算积分OC (zn z)dz，其中C : z 1为负向，n为整数.计算积分门CCzdz(2z 1)(z 2)其中C： z3为正向.15、利用留数定理计算定积分d0 1 cos2四、得分评卷人计算题U 每题6分，共18分16、求函数f(z) z22在以下要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开:圆z 1内；环1 z 2 内;环1 z 1 内.217、设 f(z)e3 Sin 2 d , C:z 3正向，试求:2 i C z(1) f (z)在复平面上除去z 3的点处的函

4、数表达式；(2) f (i)及 f( i).18、按照要求逐步完成以下有关保形映射的问题.(1) Z平面阴影局部是角形区域/6 argz /6，如以下列图所示。通过何种变换，保形映射为W平面上的右半平面？在以下列图方框中填入该变换W i (Wi 1)，在以下列图中画出经过该映射后的区域得分评卷人应用题(8分)五、19、质量为m的物体挂在弹簧系数为k m 2的弹簧一端如以下列图所示，其中常数为固有频率，f(t)为作用在物体上的外力。假设物体从静止平衡位置x 0开始运动，物体的初始位移x(0)0,初始速度大小x(0)0，根据牛顿定律可得到方程：m x (t) f (t) kx(t)假设在初始时刻t

5、 0时，物体受到外力f (t)(t) (t)为单位冲击函数，应用Lap lace变换，求解物体的运动规律x(t)。f(t)得分评卷人证明题(5+4=9分)f(z)20、假设f(z)在给定区域D解析，且f(z) 0,假设| f(z)为常数，证明:为常数.21、假设 an收敛而级数an发散，证明：幕级数anZn的收敛半径为n 1n 1n 1题号-一-二二三总分哈尔滨工程大学本科生考试试卷2022年秋季学期得分评卷人填空题(每题2分，共20分)分数评卷人1. 3i =.2. 设 f(z) x3 3x2yi 3xy2 y3i，贝U f (z) =3. 幕级数(cosin)zn的收敛半径R =.n 04

6、设C为正向圆周z 3，那么积分O 2 dZ2.2c (z2 1)(z2 4)15. 设C为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，那么O与dz C z6. z二0是函数f(z) 攀 1的孤立奇点，其类型为 .z如果是极点，那么要说明阶数7. 函数f (z)1 2在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 .z(z 1)218. 映射w -将z平面内的圆域 z 11映射到w平面内的区域为 z9. 函数w sinz在z处的转动角为 .410.函数呛 11 0,，f(t)Tt A 那么U(t)* f(t)得分评卷人单项选择题(每题2分，共20分)说明：请将以下单项选择题的答案按题号写入下表中1234567891

7、01.方程Rez21所表示的平面曲线为(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线2 .极限lim J的值为0z z0(A)(B) 1(C)(D)不存在3.设wLn(1 i)，那么 Im w 为(A)(B)2k , k40, 1，(C)(D)2k0,1,4以下等式中，不成立的是.4(A) arg( 3 4i) arctan(B)arg(3i) arg(i)(C) arg( 3 4i)2 2arg( 3 4i)(D)|z|2(A) z ez(B) tan z ez(C) sin z6.在复平面内，以下命题正确的选项是丨.(A) eiz cosz isinz(B)z2(C) cosz是有界函数(D)

8、Lnz25 以下函数中，在整个复平面上解析的函数是|z|2Ln z7 以下积分中，积分值不为零的是.z e(D)sin z z2 1(A)(z3 2z 3)dz，其中C为正向圆周|z 1| 2C(B) ezdz，其中C为正向圆周|z| 5C(C) 遊dz，其中C为正向圆周|z| 1C(D) C0SZdz，其中C为正向圆周|z| 2C z 1z8设C为正向圆周|z| 4,那么积分J0dz的值为C(z i)(A)110!(C)9!(D)2 i9!9. z -是函数f的3z(A)可去奇点(B) 阶极点(C)本性奇点(D) 一阶零点F()，那么以下命题中正确的选项是(A) Ff(t 2) e2i F(

9、)(B) Fe2itf (t) F( 2)(C) Ff(2t)2F(2 )(D) F 1F(2) e2it f(t)得分评卷人计算题(每题5分，共30分)1.v exsiny为调和函数，求以v为虚部的解析函数f (z).内的洛朗展开式.2.求 f(z)在圆环域1 z 2和1(z 1)(z 2)3.利用留数计算积分2cosxx2 4xdx.54. 求分式线性映射w f (z) ，使下半平面映射为单位圆内部，并满足条件f( 2i) 0， f(0)1.5. 利用拉氏变换解常微分方程初值问题 yy(0) y1,y6(y0) 206.求函数f(t) u(t) (3 t)的傅氏变换，其中u(t)为单位阶跃

10、函数，(t)为单位脉冲函数.标准答案与评分标准一、填空题每题2k iln32k il n31.e 或 e2分,共20分2. 3z2 或 3x2 3y2 6xyi ；4. 0；5. 0；6.三阶极点;7. 0；8. Re w9. 0；10. 1二、选择题1. D；2. D；每题2 分,3. B；共20分4. C;5. C;6. A；7. D；8. D ；9. A；10. Buvxe cos y,那么 u(x,y)excosydxxy又由u，即ex sin yC (y)exsinyx那么1f(z)xe cosyi exsin yC .1.解答：因为vexsiny是调和函数，那么由分计算题每题5分，

11、共30分C-R方程，ex cosyC(y) , .2分y，故C (y)0,所以 C(y) C。.2分.12.解答：(1)在 1Z2内：111Z nf(z)Z(丿z(-()z 2z12 n 02在 1 |z 2| 内:11 zn 1 1一(一门(r _n) .3分Z n 0 Zn 02Z(z1)n(z 2)2分3.解答：被积函数分母最咼次数比分子最咼次数咼二次，且在实轴上无奇点， 在上半平面有一个一阶极点 2 i,故x2ix-dx4x 52cosxx4解答:ize4zdz5i Resy zizL2 i f(2i)zi)izez2 4z 5(cos2 isin2) e.2分2 Reixedx x2 4x 5cos2 ef(0),由对称