复变函数第二章习题答案

1、第二章解析函数1-6题中：1只要不满足C-R条件，肯定不可导、不可微、不解析I 2可导、可微的证明：求出一阶偏导Ux,Uy,Vx,Vy，只要一阶偏导存 在且连续，同时满足C-R条件。3解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处 可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点 及其邻域内处处可导那么在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域 不可导那么在该点不解析。4解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为： 其实部和虚部满足 调和函数和C-R条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函 数或者C-R条件那么肯定

2、不是解析函数。解析函数求导：fux ivx4、假设函数f(z)在区域D上解析，并满足以下的条件，证明f(z)必 为常数1f Z °Z D证明：因为f(z)在区域上解析，所以令 f(z) u(x,y) iv(x,y)，即x由复数相等的定义得：-x yvuvuvf (z)i0 oyyxxyuv c0 -J0 oyxC2(常数)，即f(z) Ci G为所以,u(x, y) Ci(常数)，v(x, y)常数 5、证明函数在z平面上解析，并求出其导数。XX1 e(xcosy y sin y) ie (y cosy xsin y).贝y u x, yex (xcos y ysiny)v x, y

3、 ex(ycosy xsiny)u ex(xcosy ysiny) ex cos yx； yxxxe cos y ysin ye x cos yeuex(xsi ny si ny ycosy)y；v xe (ycosy xsin y sin y) x证明：设z u x，y iv x, y =ex(xcosy ysi n y) iex(y cosy xsiny).满足-x即函数在z平面上(x,y)可微且满足C-R条件，故函数在z平面上解析。xsin y sin y)y2xy , f(i)uvxxf (z)i e (x cos y ysin y cos y) ie (y cos yxx81由条件求

4、解析函数f(z) u iv , u x2解.Ux 2x y,uy 2y x由于函数解析，根据C-R条件得Ux Vy 2x y于是2v 2xy 殳(x)其中(x)是x的待定函数，再由C R条件的另一个方程得Vx2y (x)Uy 2y x ,所以(x) x，即(x)2xc2于是2v 2xyxc2又因为f(i) 1 i，所以当x 0,y所以22qf(z) x2 y2 xy i(2xy 倚爸1。9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数那么它就不能做为解析函数的实部或虚部。10、提示：求出实部和虚部对 x， y的一阶偏导，假设不满足 C-R条 件那么肯定不是解析函数，假设满足C-

5、R条件，同时满足一阶偏导存在 且连续那么为解析函数。14.假设 z x iy，试证：1sinz sin xchy icosxshy。证. sin z sin(x iy)sin xcosiy cosxsin iye"ysin x 一e i(iy)cosx£eiiy2iey e ysin xei(iy)e yi cosxsin xchy i cosxshy18、解方程1ez 1 i、3解：ez 1 i .3 2e°心 其中k 0, 1, 2,那么i( 2k )z Ln2e 3 In 2 吩 2k )2ln z 2解：ln z ln |z i arg z 0 ；即z 1

6、,argz 设z x iyi arg x iy -得 x 0,y 1，即 z i o20、23iiLn 3 eeiln3cos(l n3)isin (l n3)试求(1 i)i,3i,ii,e2i 及 Ln(1 i)。解：1(1i)eLn(1 i)iiLn (1 i) e因为Ln(1 i)In .2 i( 2k )4所以(1i)iiLn (1 i) eiln _2 ( 2k )e 40, 1, 2,3eiLniLniLnebk)2k ).iiLnii e(2 2k )ek 0,1,2,2e (cos1 i sin 1)5Ln(1i)i (2k )Ln .2e4 ln .2£ 2k )sin zsin(x