262菱形的判定

1、本节内容2.6菱菱 形形2.6.2 菱形的判定菱形的判定 如图如图2-52，用，用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？四边形是菱形吗？动脑筋动脑筋图图2-52 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论. AD = BC， AB = DC，如图如图2-53，在四边形，在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA. 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 四边形四边形ABCD是菱形是菱形.图图2-53又又 AB = AD，结论结论四条边都相等的四边形四条边都相等的四

2、边形是菱形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理1 1：举举例例已知：如图已知：如图2-54，在四边形在四边形ABCD 中，线段中，线段BD垂直平分垂直平分AC，且相交于点，且相交于点O，1 =2.求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形.例例2图图2-54证明证明 由于由于线段线段BD垂直平分垂直平分AC ，因此因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.在在AOB和和COD中，中，有有1 =2，AOB=COD，OA=OC.所以所以OAB OCD. .从而从而AB=CD.因此四边形因此四边形ABCD是菱形是菱形.( (四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形) )所

3、以所以BA=BC= =DA=DC.图图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？吗？ 过点过点O画两条互相垂直的线段画两条互相垂直的线段AC和和BD，使得使得OA=OC，OB=OD. 连结连结AB，BC，CD，DA，则四边形则四边形ABCD是菱形是菱形，如如图图2-55.图图2-55动脑筋动脑筋 如图如图2-55，由画法可知，四边形，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线的两条对角线AC 与与BD 互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.

4、又已知其对角线又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？一定是菱形的道理吗？图图2-55我们来进行证明我们来进行证明.又由于又由于DB是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线， 由于四边形由于四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.因此，因此，DA=DC.从而平行四边形从而平行四边形ABCD是菱形是菱形.图图2-55结论结论对角线互相垂直的平行

5、四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理2 2：举举例例如图如图2-56，在，在平行四边形平行四边形ABCD中，中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求求AB的长的长.例例3图图2-56 AB=AD=5 .解解 四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形， DAO是直角三角形是直角三角形. DOA = 90，即，即DBAC. 平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形. .（对角线互相垂直（对角线互相垂直 的平行四边形是菱形）的平行四边形是菱形）113422OAAC,ODBD.又又 AD=5，满足，满足 ，222ADOAOD图图2-

6、56 1. 画一个菱形，使它的两条对角线长度分画一个菱形，使它的两条对角线长度分 别为别为4cm，3cm.练习练习提示：作一条线段长为提示：作一条线段长为4cm，再作该线段，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形邻顶点，所成四边形则为所求的菱形. . 4cm1.5cm1.5cm练习练习如图，在如图，在平行四边形平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于相交于点点O，过点，过点O 作作MNBD，分别交，分别交AD，BC于点于点M，N .求证

7、：四边形求证：四边形BNDM是菱形是菱形. 2.证明证明 由于由于平行四边形平行四边形ABCD，所以所以 MDBN， ADB=CBD， DMN=BNM， OB=OD.所以所以 ODM OBN. .所以所以NB=MD.又又 MDBN，MNBD，所以四边形所以四边形BNDM是菱形是菱形.中考中考 试题试题例例1 如图，如果要使如图，如果要使ABCD成为一个菱形，成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件需要添加一个条件，那么你添加的条件是是 .AB=AD或或ACBD等等解析解析考查菱形的判定定理考查菱形的判定定理. .中考中考 试题试题例例2 如图，已知等腰如图，已知等腰ABC中，中，AB=

8、AC，AD平分平分BAC交交BC于于D点，在线段点，在线段AD上任取一点上任取一点P( (A点除外点除外) )，过过P点作点作EFAB，分别交，分别交AC、BC于于E、F点，点，作作PMAC，交，交AB于于M点，连结点，连结ME.（1）求证：四边形）求证：四边形AEPM为菱形为菱形.（2）当）当P点在何处时，菱形点在何处时，菱形AEPM的面积为的面积为 四边形四边形EFBM面积的一半？面积的一半？（1）EFAB，PMAC， 四边形四边形AEPM为平行四边形为平行四边形. AB=AC，AD平分平分CAB， CAD=BAD，ADBC. 又又 BAD=EPA， CAD=EPA， EA=EP. 四边形

9、四边形AEPM为菱形为菱形.解析解析 则则 11=22AEPMEFBMSEP EN = EF EN = S.菱菱形形四四形形边边N.1=2AEPMEFBMSS菱菱形形四四形形边边（2）P为为EF中点时，中点时，四边形四边形AEPM为菱形，为菱形， ADEM，ADBC， EMBC.又又EFAB，四边形四边形EFBM为平行四边形为平行四边形.作作EN AB于于N，中考中考 试题试题例例3 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E为为AB上一点，上一点，ADE和和BCE都是等边三角形，都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论为怎样的四边形，并证明你的结论.四边形四边形PQMN为菱形为菱形.连结连结AC，BD. PQ为为ABC的中位线，的中位线，同理同理 四边形