求不定积分的方法及技巧小汇总~

1、求不定积分的方法及技巧小汇总1 .利用基本公式。(这就不多说了)2 .第一类换元法。(凑微分)设f(。具有原函数F(4则f(x),(x)dx=f：(x)d(x)=F(x)C其中中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:ln(x1)-lnx例1：dxx(x1)111【解(ln(x1)Inx)=二-x1xx(x1)1nx1-1nxdx-(ln(x1)-lnx)d(ln(x1)-Inx)-1(ln(x1)-Inx)2Cx(x1)2

2、例2：【解】(xlnx)=1lnx1lnxx(x1)21xlnx,dxlnxdx:2(xlnx)3 .第二类换元法：设x=9(t)是单调、可导的函数，并且中(t)=0.又设f呼(t)5(t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx=f(t)(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：(1)Ja2-x2：x=asint;x=acost(2)%x2+a2：x=atant；x=acott；x=asht(3)*x2a2：x=asect；x=acsct；x=acht(4)n：ax+b:ax+b=t(5):ax+blax+bn二t(6)当被积函数含有x,ma

3、x2+bx+c,有时倒代换x=；也奏效。4 .分部积分法.公式：d、.-工.-d、分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分具体选取氏V时，通常基于以下两点考虑:(D降低多项式部分的系数简化被积函数的类型举两个例子吧!例3:3xarccosxdx【解】观察被积函数，选取变换t=arccosx,则3xarccosx.dx二d-x23tC0St(-sint)dt=-1cos3tdt=sintt(sin2t-1)dsint=tdgsin3t-sint)=1313tsin-tsint-(sint-sint)dt=331.3.1.2.tsin-tsinti(sint-1)

4、dcost=331.3tsin-tsint-3132-x-x93213ccost-costC=39-1(x2-2),1-x2arccosxC3例4:arcsin2xdx【解】.2,.2-1,arcsinxdx=xsinx-.x2arcsinxdx1-x2xarcsinx_12arcsinxd1-x22-22,xarcsinx21-xarcsinx。.二1-xdx=-1x2xarcsinx21-x2arcsinx-2xC上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在Mdv=国-Pdv中，N、v的选取有下面简单的规律:.ax(1) 1-P

5、m(x),、=e,sinax,cosax(2) =Inx,arctanx,arcsinx,、=Pm(x)(3)=eax,=cos:x,sinl；x(3)会出现循环，注意巴Y选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnxarcsinx)Pm(x(aAxsinx)但是，当N=lnx,v=arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况，有两个通用公式：axaxe11 =esinbxdx=2(asinbx-bcosbx)Cabax12 =eaxcosbxdx=2(acosbxbsinbx)Ca2b2(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及lnx的不定积分中，常可以看到分部积分)5.几种特殊类型函数

6、的积分。(1)有理函数的积分有理函数叫先化为多项式和真分式之和，再把PUM分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In=12dx2n(a2x2)n时，记得用递推公式:x2n-3IIc1n_222n-1_2n-12a(n-1)(xa)2a(n-1)642o例5:【解】dxxx-4x2-23/222x(x1)x6x4-4x2-2=x6x44x22_x4x223/27723/2T_23/2T22372T-2x(x1)x(x1)x(x1)x1x(x1)2Xdx=-ln(x21)C4x2232x(x1)4x22dx-422x(x1)x212xdx=42，

7、12dx2:二x2x(x1)11111(22)d=C=CM(1)1Jx2(x21)故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分x2tan2sinx=-万能公式:1tan2-21Tan22cosx二J1tan2-2尸s1nx,cosxx可用变换t=tanx化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q(sinx,cosx)2应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成s1nx或cosx。再用待定系数cosxsinxA(acosxbsinx)B(acosxbsinx)一-来做。(汪：没举例题并不代表不重要)acosxbsinx(3)简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵