数值分析知识点总结

1、数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。一、第1章数值分析与科学计算引论1.什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？答设上为准确值.为H的一个近似值，称丁上为近似值上.的绝对误差，简称误差.近假值的误差父与准确值才的比值1=匚/称为近似值#,的相对误差，记作M工通常我们无法知道误理的准确(tt.只能根据测城工具或计算情况估计出谡差绝对值的一个上界屋叫做近似值的误差限.一.,、一、,i一*.x的第一位非零数相对误差限：rer的一个上界。有效数字：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到字共有n位

2、，就说x*共有n位有效数字。即x*=±10mx(aOa一个比较好用的公式:*10-1+anx10-(n-1),其1中aw0,并且xx10mn1。其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如29.80的m值为0,n值为3,绝对误差限2102。f(x)的误差限_*f(x)_*f'(x)*(x)例题：5,计算球体程要使相对误差限为问度量半径K时允许的相府误差限是多少？解球体体根公式为丫=会炉，体租计算的条件数kl7=十二-V-ZT=*|1苗所以，±丁却(用)ur).又因为8(1一)一1%,所以度虱半程尺时允许的相对误差限；X】%0.0032JrJf二、第2章插值法L什幺是拉

3、格朗日稻值幕函数它们是如何构造的？枸何敢要性质？答若巾次多项式J.m）在r+1个节点壬式乃V，上满足条件1rkitijt.Xi）=（入+。0*1,*，孙i0天关”堪称这北十1个再次霎项式I工出工）为节点心，以，工*上的n次拉格朗日播值基函敷.以奴工）为例，由小公所润足的条件知4G）以工-曲Tf+1，用为零点，再考虑到人工）为时次多项式.故可设Z»（x）=Atr-xp?-+*（j-xj-t）（工一jh-i）*£*=二箕中A为常数，利用LQG-1得1A（37aJTq）.（上£Xt-1）（*-H什I卜一（符一W.）.故A1,5备）Q*Xi,-Jfji-h.7）Ch*-#

4、3即j.、_a一八）"，Cj互Mh二，e）g二L.iVk二k.1 XO4一由）工#q】乂工±一上1J（h*一招）总1*一匹,对于4Cf）（£=ai.用）,有£工皤（工=wa=o.】，口3特别当a=-。时.有:&Q)=L，T例题:2.给出兴工）=%工的敷值表Ijr0.i0.50.60.70,8Int-0.916291-0.693L17-0.510»«-d.mm-0.2J3144用缓性插值及二次插值计算In0.54附近似情.解线性插佰，由于=0.54,介于0.5和Q.E之间，故取-0.5,-0,6,这时桶值余项中的it（jJ=t.

5、i-oKhHj?_j71）的第对值最小.尸是y尸0»693147*=-0»5】0326.代人拉格朗日线性掐但多项式，得LiS.54)=JJ|2+二一乃Jn一为处一沏X(-0.693147)+2学二x(-0.510826)Ub6,53_D,54-0.6o.oTg%-0.62021S,所以InO.54七L/（L620219,当然正可以按其他方式取工厂工但近似程度可能差其.4二次插值.由于了=654与。.500及G4的距离较近.故瞰迎-Gd,ML=Q.5,g=。,6,这时捕世余项中的st,t-r）fd一毛,Q,一e）（j"4）的绝对值最小.于是心一U.SJ6291*凶=

6、-0.693I".5-Q.51Q8部.代入拉格明日二次辅做多项式，得£0,54)=尹1工口）（工一工?(x-tt?)(jr一4)厂"至1百F*J*-jt/Cj为)*(jCi-Xn)CxjXj)”二黑有"寿X立91)04Q.5)(。.40.6)+三2二：；？；1:丁)X(-0.510826)(U+O0.4MU.6-CL5)w一凡61532。听以InO.544(Q,54)也0.61532C.2 .什么是牛顿基函数？它与单项式基口,丁）有何不同号答称1,工一工口.（工一工*）,一与3，（工一）"""工一f1）;为节点工工上的牛幢基

7、函数，利用牛顿基函数.节点工，工一，丸上函数”G的R次牛顿插值多阐式FJ上）可以表小为Pn（X）=%-4（工一%）T,，十区.上-Hu（工Jtkj）*其中4=九0,心丹出（3。1,E）.与拉格朗日插值多项武不同，牛顿捕值基的效在增加节点时可以通过递推逐步得到再次的插值多项式，例如Phi（H）=P.（工）十。（工一Ho），*工一工.1其中G，,是节点内，8,炉人上的"1阶差商,这一点要比使用单项式基（匕工,"”方（得多，3,什幺是函数的弊阶均差？它有何富要性质？誓称兀4，由"匹"）三"冬）为函数八q关于点不血的一阶均筵称"事，芍卜兀英一

8、/.工=为八二）关于点备，为，小的二阶均差.一般地，秫丸一Hi,rr”入*“，口3，工1一，配，Hl，"f/Lx（t，西”，事二一；，-为义工）关于点力，/,"*的rt阶均趋.均差具宥如下基本性质工“七）（1灯阶均差可以表示为函数值”行.）的线性组合.即fLO出T4V_七3一（工，一巧L）巧一工/、）*（/-该性殖说明均差与节点的排列次序无关,即均差具有时你性.3一上0（3若/（力在“田二上存在枕阶导效，旦节点后,与卜,心丘人句"则"阶均差与神阶-数的关系为”符必,/1二1：5)fEU同.J714 .写出1个点的拉格期日插值多项式与牛顿均差捕值密困式.它

9、们有何异同?答给定区间育,初上制十】个点&V近VVh*<'上的函数位y=/（W乂£=0'"），则这/1+1个节点上的拉格朗日播值多项式为等L（h）=£娟*（工）*7其中这7|+1个节点上的牛顿插值多项式为P<h）=afl-baLtx.一工口）Cx-mt）,其中a*=，,骷）为，（工）在点Jr<31】，才*上的4阶均差.由插值多项式的唯一性，心Q）与RGJ是相同的多项式其差别只是使用的感底不同,牛顿插值多项式具有承袭性当增加节点时只需增加*项,前面的工作依然有效，因而牛甄捕值比较方便计算,而拉格朗H插值没有这个优点.5 .给

10、出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？答殳在八允上连续，在储，占）内存在,节点a<Xo<J1<.<iii<ftTLG）是满足条件匚。,）=.。=0,】，1）的插值多项式，则对任何£|>51插位余项凡（宣）=f3-L”Q1=£旧心;如,5十这里F£（。中占）且与X有关事物十1（X）=（M-Hg）（=上1）（工一土.若有3乂|/叱”匕）户时则L<4）逼近义工）的截断误差IRQ）1<（言&I叫日£幻L6 .三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？9三次样条插值要求插值函数与工）

11、在整个区间上是一次连续可费的即5瓦且在每个小区间跖，工”上是三次多项式,插值条件为S（JLt）三乃,J=0*1，E.Y次分段埃尔米特浦值多项式18是插值区间口5上的分段三次专项式In。工）在整个区间上是一次连续可燧的.即L（）ECL.k.强值柒件为L（*），（A）f；Q*）=/QAA=D*l，.n.分段二次埃尔米特插值多顶式不但要使用被播函数在节点处的函数侑，阳U还需要节点心的依他.R场值怎式在插值区间；次旌续可微的.二次惮条温数只、需给噂节点处的函数值,但插值多项式的光滑性较高.在插值区间上二次连续可微.所以相比之下三次祥条辅值更优越一些（注意要添加边界条件工7 .确定n+1个节点的三次样条

12、插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答由于三次样条函数5（幻在每个小区间上是三次多项N,其形式为口+以+炉/+d，,所以在每个小区间毛耳.JI:要确定4个待定畲数eT1个节点共有森个小区间,故应嵋定输个蓼教，而根生拙值条件巧）=字口=。.1.e）和-次连续可假所隐含的条件（再一1+2立一13共有4比一2个条件，因此还需要加上2个条件,通常可在区间的战点口=%由=工.上善加一个边界条件，常用的边界条件有3种：（1）已知两端的一阶导数值，即SfCxo）八,（2）已知两端的一阶导数值.即9（/）=yl*s*（x«）=H，特殊情况为自然边界条件=QfS*5）=dC3）当是

13、以心一公为周期的周期函数时，要求SJ）也是周期函数,这时边界条件就满足5（%+5=5（与-G.£&匕+6-卬（工.一算,广（+0）=Se.一（D.这时6外称为周期祥条函数.8.三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数:这里.AffjO.l，灯）是未知的.为编定这,1,，犀）,对§（上）求导得由此可求得一3十3=一&M-3ML十呼二空，类似地可求出文心在区间二了一3二上的表送式.世向将57上，-0）='jV_jrM+'*-'.£，31Mj利用Hr/+（0-5*（均一6可得+2M%M，74jtw11其中_比L._4内

14、A,-1+元,*hj+A/a=g；二二!-t，）=仃，句片中-=1,2.同1,对于第一种边界条件，可导出两个方程：M.i+2Af,=7-（/H,rL3n=】应=在£一通如果令焉=1"41nmf/了口=/；汽J矩阵形式：公式1对于第二种边界条件，直接得端点方程：Mfl=/L=8,如果令北=辰=3&、=订：&="：,则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得：M皿M,AnMi+产JWi+2M.=（,其中f二£1匕八1出也可以写成如下矩阵形式:求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华

15、大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换l设同，写出三种常用范数ll/llitll/L答若人工)£C明小则il/'I1=J/(z)dr，II/IIj(|/(x)|d.r)I匹Hp2f<2）奇偶性p“（一金）=（一1）叩小工1（3）递推关系（tj+IK'N工）=f2昂十1）aPnGr）nP1（工，制=WPJ切在区间一,口内有社个不同的实军点.,rli/II«=max|/(je)|.2 .八££6看,口，它们的内积是什么？如何判断函数族的，评,，/JWCL*瓦在%&上线性无关？答若八工34匚>同,屋#是而上

16、给定的权函数定义f与月的内积为CfC丁3xt)=Iptr)f(x)g(j")dxiJ特别常用的是我0)三l的情形I即/(x)雇工)di.a设屈加呼JFC人方3定义其格拉姆近阵为争（押，小）C砂，独）（甲I，於）（初，料）*（白，庐（协/3*（尸,中仲执1*，+#在"I/上戴性无关的充要条件是delG（秒评】+,外）q，3 .什么是a,b上带权（x）的正交多项式？什么是卜1,1上的勒让德多项式？它有什么重要性质?管设咨（工）是。田上苜项系数的制次多项式*产工）为一次包上的极函数，如果多项式序列弛（了）厚满足电中）_地口珈14>0一=K则称多项式序列（工）在应，切上带权p

17、（G正交*称物（3为。加1匕带板队工）的r次正交多项式.当区间叫以为-1,1权函数p（»=】时由门7,，工J-）11交化得到的第项式称为勒让德多璞式，通常用式工），用工）<6,*表示,其性质如下（1）正交性4 .什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质?答当权函数p=r±=.区同为-1时，由序列行行,，上。正交化得到的1/1一/正交第项式称为切比雪夫多项武可表示为Th）=coslnrccosx）»工|<*其重要性质如下：<1）递推关系T式）-11Ti（x）工，il+l（T）=2hT.5）T,l*h），n-1,2,，（2>正交性0.疗金硒.彳P

18、H-W0；TT»网=M-仇（3）T/工）只含工的偶次解，吐«1）只含金的布次寨，丁在区间-*口上有m个零点2k1Xi=CO*T7T,*L,2.,IT.2n丁丁用的首项系数为乎-乜*：,，）.（6）设%Q）是苜项系数为1的切比韦夫多项式,比为首项系数为I的次数不超过制次当朝式构成的集合，则m«丁.（力|4max|P（j）|»-WEI7d】rnax|frt（T）=/T/f1.£5 .用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？鲁切比雪夫多项式零点（切比雪大点）是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐你在接近区间一1的端点

19、处是密集的,利用切比雷夫点做插值.可使插值区间最大误差最小化，同时还可式避免高次拉格朗日插值所出现的龙格现象，在一定条件F可以保证插值多项式在整个区间上收敛于被瓶值函数，6 .什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？I一«在最小二票拟台中,利用求方元函数报值的总要条件痴Im:（佻，沟）=£电工：）6（品）*f/r强）=晶）/G。轴£斯山*QJ*皿则苒关于。=%1的雄性方程蛆Xf弛中乩，*白，】,*,而为法方程,也可以写成矩阵出式Ga-d,其中口=儡小.<?3.Lfdaid”）。际）（仍*仲）55L当拟合定项式

20、的次数网较大时，法方程的系数矩阵。股是病态的，数值求解法方程不稳定，因此不克接求解法方程.例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。四、第4章数值积分与数值微分1 .给出计靠枳分的佛形公式及中矩形公式.说明它fl的几何意义.答横胫公式宁访）1,其几何意义是用上底为八G,手底为"63裔为A一。的梯形面枳近似曲边梯形的面积（积分值）.中矩阵公式皿（£卢，其几何意义是用长为口”竟为不咒与的矩形面根近似曲边梯形面积（积分值）.2 .什么是求积公式的代数精硬度？掾形公式及中矩形公式的代数精确攫是多少？署着某个求积公式对于次数不超Em的多项式均能寇瑜成立，但对于审+1次多项式不准确成

21、立，则称该求积公式具宥m次代数精度.梯形公式的代数精度为1,中矩形公式的代数精度也为L3 .对给定求积公式的皆点,给出两种计算求积系数的方法.答绐定求积公式的节点5+1个）,可取代敷精度m=心令求积公式对人二）=】，工,工,都精确成立然后求斛关于皿十】个求积系数的线性方程组，确定求枳系数.也可以利用求和节点构造关于被积函数的描值多项式，用插值多项式的积分作为枳分的近似值，从而构造出持值瑁求积公式,事实上这种方法中的求积系数就是插值茶函数的积分.4什么是牛顿一轲特斯求积？它的求租节点如何分布？它的代数精确度是零少？答将积分区间作等分，由等即节点构造出的捕值型求积公式称为牛顿柯特斯公式,由于是播值

22、型的,所以我阶牛钺一轲特斯公火至少具有时次代数精度.但实际匕当我为偶数时,牛顿柯特斯公式至少具有莅卜1次代数精度.5 .什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？答常=2时的牛顿-柯特斯公式为辛普森公式，即其余项m=一需（宁）'r"5）qm辛普森求租公式的代数精度为3.6 .什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式.答为了提高精度，通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），在每个子区间上用低阶求租公式,这种方法称为品合求积法.若将积分区问分胧«个小区间.在每个小区向上使用梆形公式则为友合梯形公式.即rn-/），1-1余项乩3=一，耽小射

23、,qEA给出更合辛普森公式及其余磔表达式.如何估计它的处妍谀差？答复合辛普森公式,ir1hI£=弥卜刀上）+z'/（工。一/余项表达式用/1=-*件1r05"歹6s，若0£仃访切,则复合辛普森公式的截断误差I/（T）rl.r-s,<mflI尸，hL44530m7A*g.什么是龙贝格求枳？它有什么优点？答龙贝格求枳是从郡形公式出发，将区间逐次二分.通过外推算法，逐步提高求职公式的精度,其优点在F通过一次次的加工，用阶数较低的求根公式得到高精度的结果，便于编程计算.轧什么嵬高斯型求租公式？它的求轨节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高

24、代数精确度的求机公式？答高斯型求积公式牯适当选取求积书点和求积系数=-46=0,1,，幻*使求枳公式具有2门丁1次代数精度,育斯求积公式的求枳带点称为高斯点.在点5.4.,网班高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式处小Q）一（XNJ）（工一H）+.G工/与任何次数不超过"的军呗式*CQ带极展公正交即PCz）叫h（Q.=0.J41所以通常将求积节点取为»11次带权正交多项式的零点.10.什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？在高斯求积公式中，若取权函数（X）1,区间为-1,1,则得公式:/(r)dz)：八JGe).公式3勒让德多项式的零点就是公式

25、3的高斯点。形如公式3的高斯公式特别地称为高斯-勒让德求积公式。若取Pi。）一的零点八-0做节点构造求租公式J,4口03令它对方-1准确成立即可定出小=2.这样构造出的一点高斯勒让德求积公式是中矩形公式.标取巳工）=3工工一口的祖个零点上L构造求树公式243J"M-升"（去卜在例8中已经得到A“=A=1.因此求税公式为"I/（,r）dx=5?J-i三点高斯勒让曹公式的形式是/(去4-7列出高斯鞫比德求积公式（6.11的节点和系数.表示7高斯能让彼乘积公式的节点和系依nX.4n力400.OOOODO02.000O0C03±0.861136,0.339981

26、0n：S47X5；S0.652U521±0.5773S03!LOUO0000:±0T9061798±0,53B4653fl.00000000.23692fi90.47862B70.5688889z±0.7745967(J.00000000.55555560.8888BH95士d9324695十0.6612094士0,238G1920.17132450.3607ftl60.4679139若i=-1,6=1且取权函数补公=一，-/I一则所建、工的高斯公式1F"=£AJ5)，S11)称为高斯切比夫求租公式.由于区间一1J1上关于权随数.J的

27、正交多项式是机/I比胃夫多项式（见3.2节）.因此求柢公式（6.14：的高斯点是，,+1次切比雪大多项式的零点，即为cos(2+2”卜0t1T*,71*通过计算（见文献打）可知（6.141式的系数4舟，使用时将门+。个节点公式改为«个节点于是高斯切比雪夫求积公式弓或71(6,15)JVT-rV(2A1-1)=CO5：2ft公式余项由（6.I。）式可算得,即帚权的苟斯求枳公式可用于计算奇异积分.11 .什么叫做中点方法？数也微分就是内函数俏的斑性组合近似南触在某点的导数信.按导故定义可以简单地用差商近似争敌.这杆立即将到几种数值域分公式其中*为增信，称为步长*后一科数值跟分方法栋为中点

28、方法.它其寞是前而种方法的算术平均，但它的误差阶却由日（人提高哥6产）.上面给出的三个公式是很实用的.尤其是中点公式更为常用,中点公式：C（A）=/（口上仙二公2h12 .插值型的求导公式：13 ）两点公式：设已给出的个黄点上1T以上的函数值/（J1.做线性插值得公式巳Q）=三江八心）十三二亘/（T1）.工亚4时_L式两端求建，记皿一工口一人，有；工），一八工。）+/XH1）,flr是有下列求导公式：尸；（工口）二/UE）-fF：*1）a内J内而利用余项公式（&5知*带余坝的网点公式是/小）一；"（工1）/：口），飞人h甚（2）三点公式:殳已蛤出三个竹点上,为一工34工|十外

29、工他函数值，版二次期值口.、Cx白乂一ft,-y"h)3，工)fir?<T>=-r-、；rf3)十T/5(j-j-i)(j-p-.rJO|-令i=,r+".卜忒可我不为卜出门=!口1)(/2)/(x6)-Z(/-2)/(.r,)+卜"-l)f啊L两端府/求易.有)心+tii)=-U(2f-3)"航)(4f4>/(.r,)+(力一HP7；).(乱5士h这里撇尔一表小时交比1求导数式分别取i=U,2.得到二用：总公衣士P,U=13/(+4/(j-15/<j-j>JtP'=?：L*/<Jd)+/CxjtF；(x>

30、;)=it/Q9)-4f(xi)+3f5汀而带余项的三点求畀公式皿Ft/<x5>=5I1/(rt)"r"!(&)；Ml3fQC-十门Hi厂一%0)t(8.6)，但)=)4/(ji)+3/()+4-/*Cfir七九J其中的公式仃是我们所熟悉的中点公式，布三点公式中，它由于少用了个函数值。汨)而引人注目，用插值多项式HU>作为JLC的近似函数，还可以建立高阶数值徽分公尺：尸"工)k=I*2.例如,秘电5)式再对，求导一次.有(+M)=*匚。工J2/(为)+/(jrs)»于是有匕此)=1/一'一2/(工j)+jXx+A)|,而

31、带余瑛的二阶三点公式如下:0rl.*-3】+/(X1+川一1-.相关例题在教材第4章作业题和课件中。五、第5章解线性方程组的直接方法L用高新消去法为什么要选主元。哪在方程组可以不选主元？答因为高斯消去过程中需要用主元素n#,/=八2,E一】）作除教，所以如果出现山，工口,那么消去过程都无怅进行.而且即使主元素口£壬0,但其值很小,那么如果用其他作除数.也会导致其他元常数最级的严重靖长和舍人误差的扩散，最后导致计算解不可靠，因此用高斯消去法需要选主元.当线性方程组的系数矩阵月正定对称时,高斯消去法不需要选主元，2 .高斯消去这与LU分解有什么关系？用它们解线性方程维力上一6有何不同？小

32、要嘀是什么条件？答当不需要选主元时高斯前去法实质上产生了一个将小分解为两个三角炬阵相乘的因式分解，即LU分解,“=LV.且这种分解是唯一的.当书要进行选主元£到主元）时，有即消去法相当于先对.*进行系列行交换，然后再逆行一般的高斯消去法即存在排列阵P,使F4=LU能遒行LU分解的条件是A非奇界.3 .楚列斯基分制与LU分解相比t有什么优点？答当力为对称正定矩阵时，町以进行楚列斯基分解，与LU分解相比，楚列斯基分解具有数值稳定，汁算属、存储量小的优点.4 .膘种线性方程组可用平方用法求解？为什幺说平方根法计算稳定？5 当线性方程组*一b的系数矩阵4为对称正定矩阵时，可以使用平方根法进行

33、求解，由于在川的葩列斯翦分解儿=LU中摘足口力j=1,2,*1-1即分解过程中元素益的数品级不会增长旦粕珀元素八恒为正数，所以不选主元的平方根法是一个数值稳定的方法.5 .什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？答当来数矩阵为对角占优的三对角矩阵时，可以用追赶法求解.由追赶法的计算公式可以存十算过程不会出现中阿纳奥数鼠级的巨大增长和舍人误差的严重枳累*所以追赶法是敏通稳定的.6 .何谓向最息数？给出三种常用的同盘的数.答如果向或的柒个实例函数N（r）-|4|,满足条件（1） IIjcII2且IIxII=必（2）|必|=周*iuiitVaeR（jaec）f|x+j|<I*IH-|

34、jr|,则徐NS）是RY或C"）上的一个向量池数（或模L常用的向切胞数有Ix|加=max|x,（2-范数3必tXIIt-2IX,|0-范教J,IIXII,-产（2-粒数）,何谓矩阵疱敢？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=1%）的三种范数IA|T|Af|aJ）AUUD，与IA%哪个更容易计算？为什么？答如果矩阵AW飞j的某个排负值函数N"）=II满足条件：IIA|130旦IA|kDu4*O*（2） i|3|=M-|A|"为实数,U+B|<|A|+）|B|tW'IAB|C|A|'I®.则秫Z（八）是附小上的一个矩降用数设xE/*W费门，给

35、出一种向量也数IIxk,相应地定义一个矩阵的非负函数则IMII.为Rhk”上的一个雨阵范数.我们称|八|。为的算子范数,也称从属范数.常用的死阵整数由7"3=I/I（称为A的列范数3底j*>IIIAH.=4174团（榔为A的2范数人A鼠=mnx£I期I（称为A的行范数），仁与1八打相比"MIt和II力M更容易计算，冈为|以心寤集求47的技模最大的特征值.比较困难，而II。1和IIA|.则不梯8,什么也矩阵的条件数？如何判断线性方程地是病态的？答设.4为非奇异矩阵,称数8同熊）、=|AUL|A|/o=1,2或8）为矩阵4的条fftt.首儿的条件数相对较大，即m

36、mKA兀1时，然性方程组Ar=A是病态的.当4的条件数相对较小时.级性方程组/了二占是任意的，&的条件数越大，线性方程组的病态程度愈产氧附:1.LU矩阵的推导过程4一试推导矩阵力的Cnmi分解A=LU的计算公式.其中L为下三角矩阵也为单位上二角矩阵.解设包的Crcnit分解为力LU.即1UnM1J%A?1uitr4=,，* *喟7-i仆口1Ajua,i=】*2，i*,L",=产*，=2*3,*由* *，由矩阵乘法，知设已得到L的前4-1列和U的前4一1行.则I口信九加圜就*=e=*"+1广辱.“111=1、-IjqL因而L的第E列Q=a*££*随

37、&ti=rL又由”(I5二2=XL也百=X必“寸4%我，j=*+T/+2.，*立三土.二i.1=1所以U的第&行j-3，制.就此得到计算Craut分解的计笥公式为j=A+l"+2*皿例题:民用直接三角分解<杜利特尔分解）求线性方程维的解.解设则由对应元素相等.有4=切|，4=为1加=>&=。*：=跖式11=>%=2,4J3£存=如，=贽,T，iUnIu；3->ut32=ji«13IIUis-u)j1315故八的杜利特尔分解为解L,一心得解Ux=y,得_1_11n-i00TTTA=W=*100_±_j_T60

38、i5_2-361_0013设a-g.塾=41541X,-177.69tJj-476.92，工227.OH.9.用追且法鼾三对角方程蛆b，其中o000at一144-1岛1两I解设乂有分解'2-1121-12-1-12-1由公式=T。-23夕4+5.-a#.1-23*4其中%3=1.2.5）,*（*=】，2,，4）分别是系数矩降的主对角元素及其下边和上边的次对角线元索.具体计算，可得=2，ag34=至，ai=l艮二一系&.=一T-rro0Oj1"T112171TL5工T六、第6章解线性方程组的迭代法1.写出求解线性方程组Ar=b的迭代法的一般形式.并给出它收黄的充处必要条

39、件.答求解线性方程组4x二4的迭代法的一般形式为工"”=如如+八k=。,2,一，理代收敛的充分必瞿条件是之给出送代法三叫+/收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度.答对于迭代法工的+/R口果B的某种算子范数l!BL=qVl$迭代法收敛.且有误差估计|1-一¥同1|汇川|式一,II父工出II二丁4一|上阳父一,|,1Q选代法的收破速座R(H】=一ln"HL3.什么是矩阵4的分裂？由总的分裂构造解森上-占的迭代法，纶出雅可比迭代矩阵与高斯-塞德尔迭代矩阵.答称4=A4NC其中deiMWJ为A的一个分裂，利用A的分裂4=MN可以构造迭代法/hu=m】必,”+M/涓=0C.

40、若将A分裂为4=。工一U,Jt中卜”"1TiJ-o-I一做i°L=；I|>一&1/_*：,20_1一口-0.ro0一*31-*V=:05_0_则推可比迭代法的迭代矩浒为纳=/J7（L卜。），高斯塞德尔遇代法的迭代矩阵为乐一（口一上）”.1.写出解线性方程组的雅可比法代法与高斯塞德尔迭代法的计莫公式,它们的基本区别是什久？管雅可比迭代法的if算公式为?”=（，工”，M：r“=S-浮）/b。$-I*2产*计滑=。.1，;二；高斯一塞也尔迭代法的计算公43上"力=Ch-工即dWV,I«工/1，=（瓦一2Mll-24：*）*.，i=1.2”n比=0

41、,1,两种迭代法的基本区别4于雅可比送花在计算时没有使用变量的最新信息,而高斯一塞德尔迭代在计算的第i个变量幻E时.利用了已经计兑出的地新分量无*S（，=L2,，:一13所以高斯一窿德尔迭代法可以看作是稚可比迭代法的一种改迸.5,何谓矩阵A严格对角占优？何沿从不可约？等设A=（%）r，如果A的元崇满足HI*"I>SlaI*i=l,2，”明/-i则称A为严格对角占优矩阵.”当门>2时,如果存在置换矩阵P使-A”Aji"PT.IP=,-0A!3J箕中Au为，阶方阵,4必为M-r阶方阵ClrO3则称A为町豺隹阵.否则，如果不存在这样的置换矩阵P使上式成立，则称A为不可

42、约矩阵.6.给出解线性方程组的SOR迭代法计算公式，其松弛叁数切范围一般是多少？A为对旗正定三对角矩阵时最优松池参敝山吨?答求解线性方程组Am卜的SOR方法的计算公式为户-一2巴”，帚°>.工户”=上产+加（&-X/*广"一22"）/人,i01Sv,曰;*0,1,.Ll17+4松弛因子但的就围一般为只有在这T范朋内取松他因子mSOR方法才可能收敛.当,为时称IE定三对角矩阵时，最优松弛参数箕中“J）为解4H=占的雅可比送代法迭代用阵的普半径.工将推可比法代、高斯一寒德尔迭代和具布最优松弛套数的SOR迭代，按收敛快慢排列.答雅可比迭代、高新一客希尔迭代

43、和具有最优松弛参数的SOR迭代的倏做速度从慢到快依次为:雅可比迭代、高斯-寒德尔迭代、具有痫优松强参数的SOR选代.例题：L设线性方程期j5Hl+2xt+h»12,一1i+4工n+=20,12Hl-3z2+306=3.U）考察用雅可比迭代法.高斯一塞布尔达代法解此方程组的收敛性；用麻叮比送代法及高斯塞德尔迭代法解此方程组，要求当1|r<10T时迭代终止，解（L）因系数矩阵产格对珀占优.故雅可比他代、高斯一塞鎏尔迭代均收敛.雅可比迭代格式为。产”】_2_ot_1r«i_121 -52百，廿工产口=；工产Jh产+5.TTM_1_*）I'I3+而给十五，取V二门/，

44、】）'则迭代17次可达到幅度要求,即/»>=（4.00001gS«2t9999915,2.000QO121高斯塞德尔达代格式为=2常，产15田12H：-J.='”_±_1公磊+51了产一卷"口11+3j3记小十历.取？幻二门.1，则迭代8次可达到精度要求，即工=（-4.0030186,249gg9915."口OOOC121.1 .tl+2,r：-2,rj1.(2)“a1+3工+工3=1.-2j:j4上尸1.九设理性方程组M-rd.+0,Izi=1Cl)=G.4工：+*z+0.Sj7,i2fQ.4箝-r0.Sj(+jti3；

45、试考赛解此线性方程组的稚可比迭代法及高斯塞镌尔迭代法的收敛性.解“)措用比迭代法的迭代矩阵0一仇40.4R：-D(LtU一-0,40-0.80.40,B0IAI-Bj|=(A-O.S)U1-0r8A-0.H2),o(BJ)=1.092股M3】，斯以雅可比迭代法不收敛.高斯-塞德尔迭代法的送代矩阵0-0.4-0.4Rs=-00.16-0.6400.0320.673研公)&|%IIb=。评<1,故高斯塞德尔连代法收敛.(2)雅可比迭代法的迭代蛆阵f0-22，H-DLfL+S=-1。-1，220,IJJ-第I=*5(B)=Q<1.所以雅可比迭代法收敛,高斯一塞德尔迭代法的迭代来阵

46、。一22-<D-L)_1C=023,002lH-%=*a2)、P(EG=2>I,故高斯塞德尔迭代法不收敛.批注：判断迭代法是否收敛的条件如下:定理7设息h-B,其中一。-LU为非奇异矩阵，旦对阳矩阵。也非奇异，眠门)部线性方程用的雅可比送代法收敛的充要条件是爪J1<3,其中J=1>'m一).(2)第线性方程组的高斯塞德尔迭代法收敛的充要条件是球C：<t,其中。=(uiJ，S由定理6还可得到雅叫比送代法收敛的充分条件是|J|<1,高斯塞意尔迭代法典点的充分条件是IGO<1.2.7.用号。H方法解线性方程粗【分别取松弛国子a=L03m=l,妙=1.

47、L)4才I-工£=】,t一为4-4,x3=4t一工？-4j：i3+精确解*'=(y,l,-1)要求当|丁一苒川|<5、1。7时迭代终止,并且对每一个皿值确定迭代次败.岸SQR方雀迭代公式为工”一产一“十一H产+为科卜,工广”=工产+(1+十60-工产+:工拜卜了严卜=淄十"_|_十去工产-工产).当取w=1Z3i剪值一)=心储。A时,迭代5次可达到精度要求./=(0,5000044,1.fJOOOOl6,-4.99399尸产当取小一1,初值户-M"C)T时.送代6次可达到精度要求.3"W500COS&r1,0000019,-4.99

48、9995)当取出LL材值产=S40)T时t迭代&次可达到精度要求，H"=(0,500003«,699399H5,0500000(1)1七、第7章非线性方程与方程组的数值解法什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？答若“工】匚,见旦/5）/他）0,则根据连续函数的性质网知八*）=0在Q内至少有个实根.这时称N高二为方程汽工）=。的有根区间，方程求根应在有根区间内进行.2,什么是二分法？用二分法求人"=0的根J要满足什么条件？答若八行三匚信同且八口）八八口，根更连虢函数的性质可知八4一C在内至少青一个实根.这晡称“通二为方程的有根尺间.在有根区间内用以使用二分

49、法.考蒙有根区间八打,取中点或一Q+冷/2将它分为两半，叙设中点心不是人上）的零，点，然后诜行根的搏萦即椅/”上3与八。）是否同号,如果确是闻号，说明朋求的根，在右的古珠,这时令E=4辰=6三否则广必在4的左侧，这时令a：=fl,=xo.不管出现哪种情况新的有根区间明,机的长度仅为&,比长度的一半.对压缩的有根区同叫也又可施行同样的手续，即用中点回=Q：I由此特区间41再分为两华，然后诵过根的搜索判定所求的根在力的哪侧，从而又胸定一个新的有根区间9，瓦，其长度是可出长度的一半.如此反兄二分下士，即可得出一系列的有根区间X包D的*品'n的出una,/瓦n,其中号个区间都是前一个区

50、间的一华，因此当上一时的长度九一G=£6-a）/2"趋于零，就是说.如果二分过程无隔地进行下去，这些区间最箕必收聘于一点二.该点就是所求的根，这就是二分法.3 .寸必是函数中（工）的不动点？如何确定/工）使它的不动点等价于八小的零点？答若'、1J'.=：+而数1”，的丁士上，一-；：T；G，一，小|我示上$j（h，的必须满足/（丁）=口，此时求6工）的不动点与求fQ的零点等价.4 .什幺是不动点迭代法？职工）满足什么条件才能保肝不动点存在和不动点送代序列收敛于手（工）的不动点？答诜择,个初始近似值或*将它代人工二赋了）的右端，求得不一干（工），如此反复计算.

51、有工”|=即13在=（hl,如果对任何A£明打，由L述送代班得到的序列石有极限lirnH：=x't+wU则称迭代方程/-i=M5）收敛，且工.为以工）的不动点,谏港代称为不动点法代法.设pCOWCL,切，若满足工1）对任宜£曰小,右心£个（工）&ii.存在正常数L1使前任意乃丫£明犷都TT“工）一步（iqLIxy,则/工）在白$上存在嘀一的不动点上”.若孤幻6CJ,刈满足上述条件3）利0）,则对任意卷三*幻，由&a=N力）得到送枇序列工力必收敛到日了）晌不就点，.一_*.5.什么是求解f（x）0的牛顿法？它是否总是收敛的？若f（x

52、）0,x是单根，f光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。答过已知方程f5）=0有近似根丁乂假定rair。,将函数八外在点八展开,有/（r）/（工1）+f一工”卜门m=0近似地表示为f（JTt）+5乂工一a=Of记其根为我则与u的计算公式为这就是牛蟆法,亦林切黑法.当一是八公的,个单根时,中朝法总是收敛的.且为平方收敛.事实上山牛颠法的迭代函敬时公"工一gS'有q*、.#工）/1（工）当主是/"卜的一个单粮.即穴广）=0/（十）羊。时，有/（一）=0,所以牛顿技收敛，又因与L小；，故）二?二'由奉勒展开八工）TjHLu孑（x*）=+（JT*十中'fH.）&

53、#163;*工）+宁干”（¥）.'!一）*在*与H*之间.£a即编+】=1*+3中%E（h+一="¥,工HIH一1C5工工一ff?!于是配蓝二7=犷=%与即牛顿法是局部二次收敛的，7.什幺是弦域法”试从收敛阶及每小汉代计其量号牛顿法比较其差别.答设工八工是"幻=0的近似根.利用/“0.八4】）构造一次播值多项式部行），用内（工）=0蚪根作为八一二0的新的近似根父，汁真公式为_/g】H什1-M-7Fixk.1/?f（工*Jr（Xt-i）这就是弦截法.从收敛的上香，牛顿法的收敛阶为2,而弦能法的收敛阶均为Ltil8,牛顿法优于弦般法，但在牛

54、顿法中，每步除计算，（办）外，还要计算/5C,音函数人编比较宓杂时，计药/"）往往较困难.计算量也比较大，而技戡法划利用已求得的函数值“及）回避了导致/（MJ的计算，所限从计算量上看.弦觑法优于牛顿法一牛顿法与弦截法有着本质的区别，牛艳法属于，步法，弦截法属于两步法.&什么是解方程的抛物段法？在求娶项式全部零点中是否优于牛顿送？警改已知方程“工）=。的三个近似根47,以这三点为节点构是二次辅造窗项式上J）并适当选取色Q）的一个零点国力作为新的近似根，这样硬定的迭代过程称为批物蛾法.岫物线法是超然性收敛的，收敛速度不如牛镣法快.9.什么是方程的李根？跃根对牛帧泣收敛阶有何的痢？M给出具有二阶收敛的计声直根方法，答若f（）=（TTr尸目（工）*整数制2,科1工）,则族w*为方程f（n）-。的用电根，用牛顿法求里根只能达到线性收效.对于m重根的情形，若取叭工）=上一嵇毙则/Q'）=o,此时用迭代法加空M，A=o,l，计算具有一野收敛性.当然事先得要知道根工的m重数.注：由于埃特金加速方法和斯特芬森加速方法是否考察尚且未知，所以暂不列出。有需要复习的同学请到对应章节查看。附：简化牛顿法与牛顿下山法牛蚓技的优点是收敛快，缺点一是好做迭代要计算及，（北）计算量较大且药时计尊较因法；一是初始近似t只在根小附近才能保证收敛如心给的不合是可能不收敛.为克服这阿个缺点，