度量空间的定义与极限

1、第一章度量空间假设在实数集R中点列xn的极限是x时,我们使用|xn_x|来表示xn和x的接近程度,事实上,|%_x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离,那么实数集R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着nj9而趋于.,即limd(xn,x)=0.于是人们就想,n艾在一般的点集X中如果也有距离,那么在点集X中也可借这一距离来定义极限,而究竟什么是距离呢？或者说距离的本质是什么？诗人顾城的一首诗?远和近?对距离的感受又如何呢？远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的,十分冷静,但细细品味,其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的

2、人际关系.现实距离和心理距离并不总是一致的.现实距离很远,但心理距离却可能很近,海内存知己,天涯假设比邻,即是此意.也可能现实距离很近,而心理距离却很远,所谓咫尺天涯大概就是指此而言了.那么如何给出距离这一概念？1.1 度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例定义1.1.1设X为一非空集合.假设存在二元映射d:XMXtR,使得仪,y,zWX,土匀满足以下三个条件：(1) d(x,y)0,且d(x,y)=0当且仅当x=y(非负性Positivity);(2) d(x,y)=d(y,x)(对称性Symmetry);(3)d(x,z),d(x,y)d(y,z)(三角不等式Triangle

3、inequality),那么称d为X上的一个距离函数,称(X,d)为距离空间或度量空间(MetricSpaces),d(x,y)称为x和y两点间的距离*口注1：在不产生误解时,(X,d)可简记为X.下面我们来看一些具体的例子n例1.1.1欧氏空间R.设RnW(Xi,X2,|,xn)|xiER,i=1,2,|,n,定义d(x,y)=枢(x-y)2i土其中x=(为,x2,l|l,Xn),y=(y1,y2,lll,yn)WRn,可以验证(Rn,d)是一个度量空间.在证实之前,引入两个重要的不等式.引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式)任名2n个实数a1a,W,an,bhb2MI,bn,有n

4、nn二aib_(.1a2)2(.二bi2)2(1.1)i3i+izi证实任取实数九,那么由nnnn0：b2+27bzaib+a2ii工i工i工知右端二次三项式的判别式不大于零,Wn2nn-：=2abi一4,bi2L?a20,i4i1i1于是可得(1.1)式成立.口进一步有H?lder不等式nnn、ab(-a丁biq“i二i工i工p,q为一对共轲数.11,其中p,q21且+=1,称这样的两个实数pq引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任名2n个实数a1,a2,|11问及n,b2j|l,b,有证实n由(1.1)式得n(aib)2(za2j+份b2ITki(1.2)+b)2=

5、%a22%abi、bi2i1.i1.i2116a：2、a2i112+b2i1bnbi2i土这就证实了(1.2)式.进一步可有Minkowski不等式的一般形式,其中k_1n-.k(.|aib)i19aik)kbj)例1.1.1欧氏空间Rn设Rn=(x1,x2,III,xn)阿WR,i=1,2,|,n,定义k之1d(x,y)=JE(x-y)2(1.3)其中x=(x1,x2,l|l,xn),y=(yi,y2,l|l,yn)wRn,可以验证(Rn,d)是一个距离函数.证实非负性(1)和对称性(2)显然成立,下面仅验证(3)也成立.对于任意的z=(z1,z2,|,zn)WRn,由闵可夫斯基不等式(1.

6、2)有11色(x-z八=(x-y+y-z21王-y广+11即d(x,z)1).设fWLpa,b,令A=E(|f|之1),B=E(|f|0,5NNN,当nN时,恒有d(xn,x)名成立.假设点列xn不收敛,那么称其发散.口例1.1.7设X是实数集,数列xn=1(n=1,2,用),假设在X上定义欧氏距离nd(x,y)=|x_y|(x,y.X),显然,数列xn在度量空间(X,d)中收敛于0.假设在X上定义离散距离0,x=y,do(x,y)(x,y-X),1,x=y那么数列xn在度量空间(X,d0)中是发散的.由于对任意给定的x0三X1一1n,所以无论n多么大,有1nim0,3NWN,当n时,有d(4

7、,x)d(xn,y),22故当n时,我们有d(x,y)0,3NN,Xnk%,X,%,|,|当naN时,有d(%,x)N,故d(xk,x)N时,d(xn,x0)a0=1.取M=maxdMoXd,2X(0X,)汹x0ex,呵,dnN,d(Xn,)M,于是Vn,mNd(Xn,Xm)Wd(Xn,X0)十dX.)0,3NN,当nN时,有d(fn(x),f(x)(名.其中d(fn(x),f(x)w,等价于d(fn,f)=max|fn(x)f(x)|名进一步等价于xa,bVxa,b,有|fn(x)_f(x)|0,3N三N,当nN时,VxWa,b,有|fn(x)-f(x)：怜,即fn(x)=f(x).口例1.1.9设d(x,y)是X上的一个距离,那么di(xy)=d(x,y)也是X上的距离.1d(x,y)证实显然非负性和对称性成立,下面仅证三角不等式.由于d(x,y)是X上的距离,所以Vx,y,zWX,有t._,、1一d(x,y)0)为单调递增函数,于是1t(1t)2d1(x,y)=卫皿d(X,Z)d(z,y)(f(t)单调递增